ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2007, том 43, № 2, с. 279-288
УДК 551.463
К ВОПРОСУ О ПРОФИЛЕ ВЕТРА У ВЗВОЛНОВАННОЙ
ПОВЕРХНОСТИ
© 2007 г. Ю. А. Волков, В. Г. Полников, Ф. А. Погарский
Институт физики атмосферы им. А.М. Обухова РАН 119017, Москва, Пыжевский пер., 3 E-mail: polnikov@mail.ru Поступила в редакцию 09.11.2005 г., после доработки 04.07.2006 г.
Обсуждается проблема формирования профиля среднего ветра у поверхности взволнованной жидкости. Приводятся классические определения характеристик профиля, рассматриваются трактовки параметров логарифмического профиля и уточняется смысл основных понятий. На основе численной модели динамического приводного слоя Макина-Кудрявцева рассчитывается профиль среднего ветра для различных стадий эволюции волнения. Обсуждаются отличия расчетных профилей от классического логарифмического профиля. Дается трактовка установленных отличий.
1. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Проблема описания формирования профиля ветра у границы раздела сред и расчет этого профиля представляют собой важную научную задачу. Ее решение служит исходной точкой для выполнения сопутствующих научных и прикладных расчетов циркуляции жидкости в трубах, слоях, руслах рек, в атмосфере Земли и т.п. Решение данной задачи осложнено необходимостью одновременного учета движений, имеющих сильно отличающиеся масштабы: пристеночная турбулентность и средняя циркуляция. В случае подвижной границы раздела сред, например, граница воздух-вода, сложность проблемы возрастает в связи с появлением стохастических волновых движений границы раздела. В данной работе нас будет интересовать именно последний случай.
В связи с тем, что обсуждаемый вопрос изучается уже почти сотню лет, некоторые базовые понятия постепенно теряют свою четкость и переходят на формальный (интуитивный) уровень. В данной работе мы попытаемся освежить основные определения, касающиеся вопроса о профиле ветра у взволнованной поверхности, и дать трактовку тем новым его особенностям, которые следуют из применения современных моделей для расчета профиля приводного слоя ветра, формирующегося над ветровыми волнами.
Прежде чем приступить к обсуждению вопроса исследования, рассмотрим ряд классических определений основных понятий теории и результатов описания профилей течений у твердой стенки.
Как известно, поток жидкости (в нашем случае воздуха) при больших числах Рейнольдса всегда содержит турбулентные флуктуации, существующие на фоне средних характеристик движения. Поэтому, например, трехкомпонентное поле ско-
рости ветра U может быть представимо в виде U = = u + u', где первое слагаемое означает среднюю величину скорости, а второе - ее флуктуации (или пульсации). В турбулентном потоке существует тензор турбулентных напряжений т,j = {u'uj), где индексы i, j принимают значения, соответствующие осям координат x, y, z, а угловые скобки означают осреднение по ансамблю пульсаций. Наличие таких напряжений означает возможность передачи импульса от среднего движения в различные направления за счет корреляции турбулентных пульсаций. При наличии границы раздела сред наибольший интерес представляет расчет передачи импульса от среднего движения именно в направлении границы раздела. При этом профиль средней скорости по направлению к границе раздела сред, предположим, вдоль вертикальной оси Oz становится неоднородным. Именно о такой неоднородности профиля скорости приводного ветра далее будет идти речь.
Основным уравнением, определяющим профиль средней скорости турбулентного течения u(z), является закон сохранения вертикального потока горизонтального импульса [1]
т( z) = pv ^^^ - р( u' w') = const. (1)
az
Здесь приняты общеизвестные обозначения: p и v -плотность и кинематическая вязкость жидкости; (u'w') - турбулентные напряжения Рейнольдса, определяющие вертикальный поток горизонтального импульса турбулентных движений. Согласно классической теории пограничного слоя, профиль стационарного среднего течения u(z) вблизи прямой и гладкой твердой стенки должен определяться следующими параметрами: плотно-
стью жидкости р, ее кинематическои вязкостью v и напряжением трения у стенки т0 = t(z = 0):
du
Т0 = pv dz •
(2)
z+ =
zu.
Характерная величина
z* = v/u*,
(6)
(7)
имеющая размерность длины, называется динамической длиноИ". Она определяет естественный масштаб шероховатостей стенки: стенка является динамически гладкоИ, если высота характерных шероховатостей h0, присутствующих на неИ, удовлетворяет условию
h0 < z* = v/u*. (8)
В случае невыполнения условия (8), формула (4) должна быть обобщена к виду
К z ) = u* zu*, hf*,a,ß, ...),
(9)
v
du ( z )
dz
> К u' w '>1,
(10)
профиль скорости принимает вид линеИноИ функции
u ( z ) = —z. v
(11)
Вне вязкого подслоя, т.е. при г > zv = т*, в силу
размерностных соображений о градиенте скорости, следует выражение [1]
При этом напряжение т0 и плотность р должны входить в соотношение т0/р.
С использованием понятия "динамической скорости" (или "скорости трения")
и* = (То/р)1/2 (3)
общее представление для профиля средней скорости может быть записано в виде
и+(г) = Ж), (4)
где - искомая универсальная функция профиля,
и+(г) = и(г)/и* (5)
и введена специальная безразмерная вертикальная координата
dz
z =
(12)
которое приводит к выражению для профиля среднеИ скорости вида
u(z) = u*| AIn — + B |.
z*
(13)
При этом существенно, что параметры интегрирования А и В в формуле (13), а также область ее применимости по величине г определяются экспериментальным путем. Именно этот закон принято называть "логарифмическим профилем" потока у твердой стенки. Более распространенная запись закона (13) имеет вид [1]
u (z ) = ^ln-, к zn
(14)
в котором приняты новые обозначения. Постоянная к = А-1 получила название постоянной Кармана, а величина г0 называется "высотой шероховатости". В ряде случаев применяется запись г0 = вг*, где соответственно
в = е-кВ. (15)
Первые тщательные измерения средней скорости и напряжения трения были произведены Никурадзе (см. ссылку в [1]) в потоках воды в прямых гладких трубах различных радиусов при чис-
и
лах Рейнольдса ке = —-—, меняющихся в преде-
где а, в и т.д. являются дополнительными характеристиками неровностей.
Для динамически гладкой стенки из условия постоянства вертикального потока горизонтального импульса (1) для вязкого подслоя, в котором вязкое напряжение превышает напряжения Рей-нольдса, т.е.
лах от 4 х 103 до 3.2 х 106. Полученные им данные показали, что, действительно, для части течения,
V
расположенной на расстоянии порядка г = 30 —
и*
от стенки и продолжающейся почти до центра трубы, распределение средней скорости может быть с очень большой степенью точности описано формулой вида (14). В дальнейшем подобные же измерения выполнялись различными авторами как для течений в трубах и плоских каналах, так и для пограничных слоев на пластинках. Средние численные значения постоянных к и в, определенные по данным экспериментов с ошибкой не более 10%, имеют величины [1]
к = 0.41, в = 0.09. (16)
Эмпирические данные для множества различных случаев пристеночных течений собраны на сводном рис. 1, взятом из [1]. Анализ этих данных показывает, что линейный профиль вида (11) реализуется при < 5, а логарифмический профиль по формуле (14) имеет место лишь при значениях
2
104 ^
Рис. 1. Универсальный безразмерный профиль средней скорости турбулентного течения у гладкой стенки по данным измерений в трубах [1].
г+ > 30. Тем самым определяется область применимости приведенных соотношений для случая гладкой твердой стенки.
В случае стенки с шероховатостями ^ > г* формула (14) сохраняет свой вид, но величина высоты шероховатости задается соотношением [1]
го = рйо, (17)
в котором величина в может меняться в зависимости от структуры шероховатостей. В виду такой изменчивости в однозначная привязка г0 к характерной величине физически реальных шероховатостей ^ теряется.
Итак, подводя промежуточный итог, можно сказать, что высота шероховатости г0 для твердой стенки, действительно, определенным образом связана с реальными размерами шероховатостей. При этом применимость формулы (14) всегда ограничена величинами г, намного превышающими размеры реальных шероховатостей. Однако в виду того, что нижняя граница области применимости закона (14) заранее не известна, в каждом конкретном случае значение г0 должно определяться из эксперимента как некоторый эффективный формальный параметр профиля, отвле-
ченный от реальных физических размеров шероховатостей поверхности.
2. ОСОБЕННОСТИ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА НА ВЗВОЛНОВАННОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Теперь, следуя книге Китайгородского [2], рассмотрим модель приводного слоя атмосферы в системе ветер-волны, характеризуемой стохастической взволнованной поверхностью раздела сред. Для описания состояния последней обычно используется спектральная функция распределения энергии волновых колебаний. В простейшем случае - это одномерный частотный спектр энергии ветровых волн ^(ш)1. Типичный вид £(ш) хорошо известен [3, 4]. Он представляет собой функцию с узким и резко выраженным максимумом на определенной частоте шр, которая соответствует легко наблюдаемому характерному периоду Тр колебаний поверхности воды. Модель, рассмотренная в [2], позволяет оценить величину высоты шероховатости, используемую для вос-
1 В более общем случае следует рассматривать двумерный спектр волн, например, 0).
становления профиля приводного ветра, через параметры спектра 5(ю). Суть ее заключается в следующем.
В рамках рассматриваемой модели предполагается, во-первых, существование, хотя бы на некотором удалении от гребней волн автомодельного режима развитой пристеночной турбулентности. Во-вторых, полагается, что основной невязкий механизм передачи импульса поверхности моря связан с торможением воздушного потока у гребней волн, которые можно рассматривать как подвижные шероховатости твердой стенки. При этом соотношение для постоянства потока импульса (1) считается справедливым для масштабов времени t, удовлетворяющих условию
Тъ > t > Гр,
(18)
215 (ю) ехр (- итк!)
1/2
(19)
личины
и*ю р
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.