научная статья по теме К ВОПРОСУ О ВЛИЯНИИ ШЕРОХОВАТОСТИ ПОВЕРХНОСТИ НА ПРОВОДИМОСТЬ ТОНКИХ ПЛЕНОК Электроника. Радиотехника

Текст научной статьи на тему «К ВОПРОСУ О ВЛИЯНИИ ШЕРОХОВАТОСТИ ПОВЕРХНОСТИ НА ПРОВОДИМОСТЬ ТОНКИХ ПЛЕНОК»

МИКРОЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 33, № 3, с. 198-203

СВОЙСТВА МИКРОЭЛЕКТРОННЫХ СТРУКТУР

УДК 621.382

К ВОПРОСУ О ВЛИЯНИИ ШЕРОХОВАТОСТИ ПОВЕРХНОСТИ НА ПРОВОДИМОСТЬ ТОНКИХ ПЛЕНОК

© 2004 г. С. Д. Ананьев, В. В. Вьюрков, А. А. Орликовский

Физико-технологический институт Российской АН Поступила в редакцию 19.12.2003 г.

Рассматривается проводимость тонкой металлической пленки и квантовой ямы с учетом рассеяния на шероховатостях поверхности. Развивается регулярный квантовомеханический подход к решению задачи. Получены различные показатели степенной зависимости проводимости от толщины пленки. Приводится сравнение с экспериментальными результатами.

1. ВВЕДЕНИЕ

Наноструктуры привлекают внимание исследователей в связи с возможностью их применения в приборах микроэлектроники с высокой степенью быстродействия и высокой степенью интеграции, квантовых лазерах, устройствах на основе различных магнитных эффектов, таких как эффект гигантского магнетосопротивления (ОМК), приборов спиновой электроники и даже в твердотельном квантовом компьютере. Достижения технологии позволяют в настоящее время изготавливать металлические и полупроводниковые образцы таких малых размеров и такой высокой степени чистоты, что позволяют напрямую наблюдать квантовые эффекты. В таких структурах электроны начинают проявлять волновые свойства и становятся в значительной степени зависимыми от граничных условий. Как в тонких металлических пленках, так и в квантовых ямах, рассеяние на шероховатостях поверхности оказывает решающее влияние на проводимость наноструктуры.

Для исследования подобных задач применялось два подхода: первый на основе метода функций Грина [1, 2]; второй на основе связанных уравнений Больцмановского типа [3, 4]. Авторы [1, 2] производили унитарное преобразование над квантовыми состояниями невозмущенного Гамильтониана (с гладкими поверхностями) для того чтобы получить эффективный Гамильтониан, учитывающий шероховатость поверхности. Затем строились ряды теории возмущений для функции Грина и рассчитывалась проводимость по формуле Кубо. Строгий анализ был проведен в работе [5], где использовались каноническое преобразование Мигдала шероховатых поверхностей в плоские и диаграмная техника Келдыша для вывода транспортного уравнения.

В данной работе для расчета проводимости используется метод волновода. Предыдущие исследования проводились для квантового канала с

учетом лишь внутриподзонного рассеяния, которое могло бы привести к 4 или 6 степени зависимости проводимости пленки от ее толщины [6, 7]. Отличие от работ [1, 2, 5] в том, что используется "искусственно растянутый" полный ортогональный набор состояний. Преобразуются волновые функции, а не гамильтониан. Очевидно, что эти два подхода эквивалентны, но если в гамильтониане присутствуют различные типы рассеяния или магнитное поле, то более удобно воспользоваться нашим методом, который оставляет гамильтониан неизменным.

2. ТЕОРЕТИЧЕСКИИ АНАЛИЗ

Мы используем в данной работе наиболее простую модель тонкой пленки с отражающими стенками, на границах которой волновая функция электрона обращается в ноль. Профиль шероховатостей задается функцией:

Б (I) = Яо + X),

(1)

где Б0 - средняя толщина пленки. Для упрощения расчетов нижняя поверхность пленки предполагается плоской. Символы х = (х, у), к, р = йк обозначают соответственно двумерные в плоскости пленки координаты, волновой вектор и импульс электрона, г - координата, перпендикулярная плоскости пленки. Символы а и I обозначают среднеквадратичную глубину и длину корреляции шероховатостей. Предполагаются достаточно гладкие шероховатости, для которых выполняется соотношение

Бо

< 1.

(2)

Точная волновая функция может быть представлена в виде:

Т = £ап(к, г)-1= е

¡(кх )|

й2т

I 2 ^ ( тп_ \ а/п ( х )ап V П ( л у

¡п й п й2тОп

ап(к, г?(л, г, г).

п, к

(3)

Здесь п = 1, 2, 3, ... нумерует подзоны поперечного квантования, 5 - площадь пленки. Данное представление соответствует разложению произвольной функции в ряд Фурье. При этом автоматически учитываются граничные условия, накладываемые на волновую функцию электрона. Подставляя это разложение в нестационарное уравнение

Шредингера, мы получаем как матричные элементы межподзонных переходов, так и выражение для вероятности этих переходов (золотое правило Ферми).

В случае п = п\ внутриподзонного рассеяния, матричный элемент принимает вид:

» » й г

У„,(*к) = 2т 1

-¡(к' - к)л

—— йх X ■

22 П п I —— +

^ grad х £( Л))2 - 2 п2 п2 П3 £( Л)

(4)

В этой формуле при

1

П0а

> 1

(5)

по порядку величины преобладает член с х), а в случае, если выполняется обратное соотно-

шение (шероховатости такого типа принято называть "рябь"), преобладает квадрат градиента.

Для межподзонного рассеяния мы получаем (несущественный общий знак мы опускаем):

> >

* * й Г

Уп, п( к) = ^ 1

й гехр (-г (к - к)х) »

5

йх X \ ¡кgradx£(х)4П

1 пп

0 2" п - п

(6)

ngrad х) П-

з ,

, п п о п п 6—-= + 8-

|2 2 „ ,2 2^2 V п' - п (п' - п )

+ Ах £(х)2Д

-1_п_п_

0 = п - п

Для нижних подзон (п, п' ~ 1) второй член с квадратом градиента дает существенно меньший вклад по сравнению с линейными членами в случае выполнения условия -====- <§ 1 и может быть опущен. Для П0

верхних подзон он может доминировать, однако, как мы покажем в дальнейшем, основной вклад в проводимость дают нижние подзоны. Член с п3п' не является эрмитовым, что ведет к неравенству

Уп, п(к, к) Ф У* п(к, к).

Тем не менее, это не играет особого значения, поскольку оператор рассеяния унитарный, так как

» » > »

вероятности переходов Wщ п ( к, к') и п ( к', к) остаются равными.

После того как выполнено интегрирование, мы получаем для матричных элементов межподзонного рассеяния:

й 2 | ^ | ' Уп,п'(I) = -Л-Т\ 4гк¥,(gradлх)) + 2^(А^(I))1 п п

2тПо [ ^ " ^ ^ ¡п2- п2 (7)

й2 -(-4к| -212)х^(х)- п'п

2тП0 п'2- п2'

Здесь | = к' - к и ^^ (f (х)) обозначает преобра- образом, вектор |, мы можем переписать выра-зование Фурье функции f (х). Определив, таким жение в форме:

уп, n( q) =

X В t2s п'п

2mD,

2q)(k - k )

,2 2'

n - n

(8)

Закон сохранения энергии позволяет существенно упростить это выражение:

22 П в

Уп, п'(q) = —з £( q) п 'п.

mD0

(9)

Вероятность переходов определяется формулой:

2п в

> » 2П| ^ i2 dk' dWn,п(k, k) = 2i\Уп,п(q)\ 5(e ,t - £ >)(10)

п' , k

п, k

( 2п)

2.1. Тонкие металлические пленки

Используем полученные матричные элементы для расчета проводимости сверхтонких (5-10 нм) металлических пленок с учетом только рассеяния на шероховатостях поверхности. Поскольку Фер-миевская длина волны для электронов в металлах

имеет порядок величины 0.1 нм, в пленках толщиной (5-10 нм) число заполненных подзон поперечного квантования достигает 50-100.

Воспользуемся для дальнейшего расчета методом кинетического уравнения. Введем для каждой подзоны свою функцию распределения двумерного

импульса / >. Для каждой подзоны может быть зап, к

писано стационарное кинетическое уравнение, определяющее изменение функции распределения с учетом того, что в результате рассеяния электроны могут переходить в другие подзоны:

* вhdfo

m

д£

= Ic(5f),

(11)

где 5f=f - f0, есть отклонение функции распреде-

ления / от ее равновесного значения /0, Г - обозначает электрическое поле. Интеграл столкновений, учитывающий внутри- и межподзонные переходы, вызванные поверхностным рассеянием:

Ic(5 f k) = ¿f wn, п (k, k )(5 f k - 5 f,p) -^-2+ f Wn^ п (k, k )(5 f k - 5 f,p) -d-2, (12)

п, k ^^ J ' n, k n, k (2 п )2 J n, k n, k (2n)2

п

здесь птах = кР00/к число заполненных подзон, кР -вектор Ферми.

Мы предположим, что первый член в правой части этого уравнения, отвечающий за межпод-зонное рассеяние, является доминирующим. Необходимые для этого условия могут быть выявлены прямым сравнением формулы внутриподзон-ной проводимости с формулой межподзонной проводимости.

Следуем методу кинетического уравнения. Первый шаг: получить т-приближение для интеграла рассеяния. Запишем функцию распределения в виде:

5!г = -(к, Г)у(е к, п), (13)

п, к п, к

учитывая, что электрическое поле направлено перпендикулярно плоскости пленки. В отличие от объемного рассеяния функции £ >, п) зависят

от номера подзоны п, что ведет к дополнительному интегральному уравнению. Однако в двух важных предельных случаях этого усложнения можно избежать. Интеграл столкновений для функции распределения может быть переписан в виде:

Xf nmax ,

К U 5fn.k 5r V (ш Л Ь\(л k¥(£n ' ,k> п) A еТк пл,

Ic(п, k) = -—-- = -5f t Wn,п(k, k )l l-T—7£--rcos0 ---(14)

T > n,V k —(£n,Ь n) )(2П)2

n, k n' Ф n

здесь 0 - угол между векторами k и k , в отличие от обычного объемного рассеяния [8] множитель Cos 0 не равен 1. Согласно теореме Винера-Хин-чина квадрат модуля фурье образа случайного поля равен фурье образу корреляционной функции, примем в качестве модели экспоненциальное затухание корреляций, тогда корреляционная функция:

/($) = Г(X, X) = XЖX)) = а2е_г. (15)

Здесь угловые скобки обозначают усреднение по

случайному полю и введено обозначение $ = X - X. Преобразование Фурье этой функции:

/(\) = |($)(& = па2!2(1 + д2!2) 2. (16)

Согласно кинетическому уравнению функция При низких температурах д^, к/де ~ 5(еп, к - еР), где распределения имеет вид: еР - энергия Ферми. Электрический ток, вызван-

5f > = -т Д **)Ц?

■> к п, к[ ' т ) де

ный электрическим полем Р, может быть вычис-(17) лен с помощью следующего выражения:

> »

) = -Ц2ейк еР]т к5(еп, к - ер)= РО = Р£ Оп,

т V т ) п,к (2п)2

п = 1

где 0п - парциальная проводимость п-й подзоны.

Проводимость в таком случае можно записать в виде:

о = а £ К

п = 1

2п

£ п'21-1-3( 1- Уп',псо^9)

п = 1 0

2 2 2

(1 + дГ)

й9 (2П)2

где мы обозначили для сокращения записи:

а = I е-2! Л- „ =

1 " 1 6 2,2' 1п', п

п а I

1 -

к2п'2 й2 п2 2теР

Г 2 2 .^У2

1 -

22 п п й

п2 2теР

//

(18)

(19)

Рассмотрим межподзонное рассеяние в пределе кР1 < 1, в этом случае проводимость нечувствительна к форме корреляционной функции и рассеяние изотропное:

/ пт

2п

о ~ £ к2 п £ п'21

й9

Ч 2

-1

/

п = 1 V п = 1 0

Проводимость можно записать в виде [3]:

(20)

0 = ' й

П

5 Л

п2 а2

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком