ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2010, № 6, с. 80-85
УДК 550.312:551.509.313
К ВЫЧИСЛЕНИЮ УКЛОНЕНИЙ ОТВЕСНОЙ ЛИНИИ И ПРЕВЫШЕНИЙ ГЕОИДА ПО ГРАВИТАЦИОННЫМ АНОМАЛИЯМ
© 2010 г. Э. А. Боярский, Л. В. Афанасьева, В. Н. Конешов, Ю. Е. Рожков
Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва Поступила в редакцию 14.05.2009 г.
Рассмотрены особенности расчета уклонений отвесной линии и превышений геоида в Арктике по аномалиям гравитационного поля. Описаны основные требования к исходной модели аномального поля. Уточнена методика вычисления уклонений отвесной линии с любой детальностью. Предложены пути совершенствования моделей аномалий гравитационного поля при решении указанных задач.
Ключевые слова: уклонение отвесной линии, гравитационные аномалии, разложение потенциала силы тяжести, Арктика.
Расчет уклонений отвесной линии (УОЛ) и превышений геоида актуален для всех регионов планеты, но вызывает особый интерес для полярных районов, и для Арктики особенно. Здесь исходными данными могут быть только аномалии гравитационного поля, так как нет возможности определить превышения геоида по данным спутниковой альтиметрии. Ниже описана уточненная методика для вычисления УОЛ и превышений геоида с учетом современных возможностей вычислительной математики и необходимой точности расчетов, в частности, для определения УОЛ с погрешностью 0.5''—1''.
Современные гравиметры позволяют измерить модуль вектора силы тяжести g с погрешностью не хуже 0.2 мГал даже на поверхности океана. В большинстве расчетов вертикальную компоненту вектора g можно считать равной измеренному модулю — относительное различие между ними нигде на Земле не превышает 1 х 10-7. В труднодоступных районах, в том числе в Арктике, в изучении гравитационного поля основную роль играют спутниковые методы и аэрогравиметрические измерения. Таким образом, аномальное поле силы тяжести Земли известно достаточно детально.
С определением уклонений отвесной линии дело обстоит значительно хуже. Уже с тридцатых годов прошлого века триангуляция в СССР включала в себя пункты Лапласа, где измерены координаты: геодезические В и Ь, относящиеся к некоторому ре-ференц-эллипсоиду, и астрономические ф и X, которые привязаны к отвесной линии в данном пункте. Но такие астрономо-геодезические пункты располагаются только на суше, и их настолько мало, что они не позволяют получить подробные карты уклонений отвесной линии, тем более, в Арктике.
Для определения УОЛ в Германии и в Швейцарии сравнительно недавно были разработаны транспортабельные зенит-камеры [Hirt, 2003], которые объединяют в себе зенит-телескоп и GPS-приемник. Первые измерения этими приборами сделаны в 2003 г. и оказались исключительно успешными. За полчаса наблюдений зенит-камера определяет УОЛ на пункте с погрешностью около 0.1''. Но пока это лишь несколько приборов для измерений на суше. В Арктике их применение проблематично, так как там мало участков суши, а кроме того, измерениям препятствуют в летние месяцы свет, а зимой сильный мороз и частая облачность.
В свете сказанного единственный путь для определения УОЛ и превышений геоида в Арктике — это вычисления. Значения УОЛ можно получить по известным аномалиям силы тяжести одним из трех способов [Шимбирев, 1975; Грушинский, 1983]:
— вычислить разложение потенциала силы тяжести по сферическим функциям;
— аппроксимировать реальные аномалии притяжением фиктивных масс;
— непосредственно интегрировать аномалии силы тяжести ("внешняя задача Неймана").
Каждый способ имеет свои достоинства и недостатки, кратко рассмотренные ниже.
Представление гравитационных аномалий разложением возмущающего потенциала по сферическим функциям
В настоящее время для моделирования гравитационного поля Земли доступны коэффициенты нескольких разложений потенциала, из которых авторы остановились на разложении Венцеля 1800-го
порядка [Wenzel, 1998]. Для вычисления разложений привлекаются как спутниковые данные, так и непосредственные измерения силы тяжести методами наземной, морской и аэрогравиметрической съемки. Спутниковый метод дает информацию о гравитационном поле в труднодоступных районах и более точно представляет гравитационные аномалии большой протяженности (сотни километров и более). С другой стороны, измерения на поверхности обеспечивают большую детальность там, где они удаются.
Отметим, что, аномальное гравитационное поле, вычисленное по разложению возмущающего потенциала, в слабоизученных районах нередко противоречит реальным надежным измерениям, если эти измерения не участвовали в расчете разложения. Вообще, в районах с редкими наземными данными разложения по сферическим функциям представляют гравитационное поле Земли в сильно сглаженном виде.
Представление гравитационных аномалий источниками возмущения
В качестве источников аномалий выбирают либо набор точечных источников, либо простой и двойной слои, распределенные на некоторых поверхностях. Подбор источников относится к категории обратных задач геофизики и потому неизбежно носит приближенный характер и далеко не всегда имеет единственное решение. Приемлемое решение достигается только с привлечением дополнительной геолого-геофизической информации. В рассматриваемой задаче число источников аномалий измеряется десятками тысяч, но с увеличением числа неизвестных гравитационный эффект каждого из них будет приближаться к погрешностям исходных данных, вследствие чего решение становится неустойчивым.
Вычисление уклонений отвесной линии прямым интегрированием
Для Арктики только этот метод оказывается возможным. Пусть на всей поверхности а эллипсоида заданы аномалии силы тяжести Ag (ф, А, h). Тогда аномальный потенциал силы тяжести в вычисляемой точке с координатами (ф0, А0, h0) представляет собой интеграл
Г(фоДо, ho) = ^ Ц^З^dpdA, (1)
ст
где D — расстояние от вычисляемой точки (ф0, А0, h0) до текущей точки интегрирования (ф, А, h). Искомые уклонения отвесной линии: в меридиане (в направлении S—N) и в первом вертикале (в направлении W—E) — вычисляются по разностям
соседних значении аномального потенциала ДФо, *о, h):
tu = -
( t+1 .. j - T - 1 .. j) p;
(Фг + 1.j - Ф i- 1.j)L g '
(2.1)
(2.2)
_ ( TLi +1 - TL j - 1 ) p",
(К j +1- К j -1) Lx g '
где i и j — индексы узла координатной сетки; Lф и Lx — длина одного градуса широты и долготы на широте ф(-.
Как показали наши неоднократные сравнения реальных измерений с аномалиями Ag0, опубликованными Д. Сендвелом и У. Смитом [Sandwell, Smith, 1997] на сетке 2' х 2', эти аномалии вполне можно привлечь для вычислений УОЛ по формулам (1) и (2). К сожалению, остался открытым вопрос, какие именно аномалии: чистые или смешанные — даны этими авторами.
Особенность решаемой задачи в том, что общее число исходных данных измеряется десятками миллионов, а число вычисляемых точек только для арктических широт от 65° до 90° — более четверти миллиона даже на сравнительно редкой сетке 6' х 15', и это только для одного уровня по высоте. Задача становится слишком громоздкой даже для современной вычислительной техники. Поэтому аномалии силы тяжести на сетке 2' х 2' были пересчитаны на сетку 6' х 6' путем предварительного осреднения. Потенциал был вычислен по формуле (1) с радиусом интегрирования 5000 км. По значениям потенциала были найдены составляющие УОЛ.
Практически тот же результат получаем прямым интегрированием по формулам:
£(Ф„, A„, h„) = _ р'' 1 f fAg^, A, h) sin v cos A
P__L ff g 2я JJ
йф dA,
(3.1)
П(Ф„, 4 h0) =
р ' ' 1 f fAg( Ф , A , h) sin v sinA
g 2 n
ЯА
D
йФ dA,
(3.2)
где V — угол между отвесом в вычисляемой точке и направлением на точку (ф, А, И); А — азимут проекции этого направления на горизонтальную плоскость, в которой лежит вычисляемая точка (фо, Ао, И0).
Формулы (1) и (3) носят приближенный характер, поскольку в них предполагается, что аномальные массы сосредоточены в "простом слое" вблизи поверхности эллипсоида и пропорциональны известным аномалиям силы тяжести в этих же точках. Напомним, что аналогичное допущение делается во
ст
ст
многих расчетах, где участвуют аномалии в свободном воздухе.
Выражения (3) представляет собой видоизменение формулы Венинг Мейнеса [Уешп§ Мете28, 1928, формула 5], который отметил, что в этой формуле влияние аномалии Д^(, X, И) убывает с расстоянием Б быстрее, чем в известной формуле Стокса. Выражения (3) позволяют получить более точный результат, чем по формулам Венинг Мейнеса, если располагать аномалии Д(, X, И) на разных высотах И. Конечно, при таком подходе требуются некоторые допущения и дополнительная информация.
В формулах (3) расстояние Б и угол V могут относиться как к сфере, так и к эллипсоиду. Для сравнения мы рассчитали составляющие УОЛ для сетки 30' х 30' в северном полушарии от 0° до 120° долготы. В этой области значения изменяются от —40'' до +50''. Но результаты, вычисленные на сфере и на эллипсоиде, разнятся не более, чем на 0.2''. Такое различие, по-видимому, меньше влияния ошибки представительства, и в дальнейшем мы ограничились вычислениями на сфере, которые выполняются значительно быстрее.
Определение Б, V и А составляет основную часть машинного времени. Чтобы значительно ускорить счет, нужно сетку вычисляемых точек задать кратной исходной сетке. В этом случае перед вычислением уклонений по формулам (3) для каждого ряда вычисляемых точек с одинаковой широтой ф0 следует рассчитать двумерные массивы с величинами Б, V и А как функции ф0 — ф и |Х0 — Х| в пределах, обеспечивающих радиус интегрирования.
Любой алгоритм расчета УОЛ и превышений геоида учитывает, что влияние аномалии Д(ф, X, И) тем слабее, чем дальше она от вычисляемой точки (ф0, Х0, И0). Поэтому для аномалий, находящихся на другом конце Земли, можно применить какой-либо упрощенный способ и тем ускорить счет. Зато для аномалий, расположенных в непосредственной близости к вычисляемой точке, точность вычислений должна быть существенно выше. Соответственно, область интегрирования обычно подразделяют на три зоны: центральную, ближнюю и дальнюю. Границы зон: радиус Я ближней зоны, он же радиус интегрирования, и радиус Яс центральной зоны — зависят как от требуемой
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.