МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 3 • 2015
УДК 531.3
© 2015 г. А. П. БЛИНОВ
К ЗАДАЧЕ О РАЗВЕРТЫВАНИИ В НЕВЕСОМОСТИ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СВЯЗКИ ТЕЛ
Рассматривается задача о развертывании в невесомости пары динамически идентичных тел (космических аппаратов в форме гантели), связанных между собой нерастяжимой и невесомой пленкой, которая намотана в виде рулона на цилиндрические поверхности тел. В предстартовом положении оси этих поверхностей параллельны и равноудалены от оси вращения связки. Направление намотки пленки согласовано с направлением вращения связки так, что после снятия фиксаторов под действием центробежных сил тела будут удаляться друг от друга, натягивая и разматывая пленку. Предполагается, что средняя линия пленки проходит через центр масс связки. Вместо пленки может использоваться пара тросов как бы окаймляющих пленку.
Получены основные соотношения между параметрами движения связки в процессе развертывания.
Предложена схема развертывания связок любого количества динамически одинаковых тел в форме многоугольника.
Ключевые слова: связка тел, кинематика, траектория.
1. Стартовое движение связки. На фиг. 1 изображено предстартовое положение тел I и II (круги радиуса К) в сечении неподвижной плоскостью системы координат ОХУ, нормальной к оси вращения связки (с угловой скоростью ю), проходящей через центр масс связки, точку О. Направление намотки пленки (как и в случае связки нескольких тел (фиг. 2)) изображено жирной линией.
По условию динамической симметрии системы тела I и II будут удаляться друг от друга при неизменном положении центра масс в точке О.
О движении системы достаточно судить по движению тела I.
Положение тела I определяется расстоянием его центра О: до начала координат О — величиной г, полярным углом у и углом поворота точки предстартового контакта М0 с
телом II в положение МО, вызванное натяжением отрезка пленки ОЛ".
Переход в такое положение можно осуществить:
1) качением тела I по оси У при разматывании куска пленки ОА длиной 5. При качении радиус О10М0 повернется в положение О'10М'0, описав угол ф в направлении, противоположном направлению ю. Между лучами ОО10 = г и О10 Л (Л' — точка касания круга с осью У) образуется угол у. При этом начальная точка контакта МО опишет эвольвенту и попадет в точку М0;
2) вращением конфигурации треугольника ОО10 Л, склеенного с кругом, против часовой стрелки (при выбранном направлении начальной скорости ю) на угол у + у + п/2.
Фиг. 1
Таким образом, кинематику движения можно описать следующими соотношениями: ф = л/r2/R2 - 1 - arccosR /r (соотношение для эвольвенты круга), ф = Г~2 2. .
= 4Г — R r/(Rr), ((ф = dф/dt); R — радиус барабана, на который намотана пленка. Пусть р = A O = j2Rs — радиус кривизны эвольвенты, где
s = R (ф + Y)2 / 2, cos y = R/r, r = JR (R + 2 s), г = r( cos y, sin y) Г = R(scosy — (2s + R)sinyy, ssiny + (2s + R)cosyy)/r r2 = Rs2/( 2s + R) + R ( 2 s + R )y2
Кинетическая энергия системы представляется выражением T = m (r2 + r2y2) + /(y — (ф )2
(1.1)
где I — момент инерции тела относительно своей оси вращения. После исключения циклической координаты у через постоянный момент количества движения связки
K = 2( mr + I) y — 2 /ф
и перехода от ф к r получим
T=
mr2( mR2 + I) л + K R (mr + I) 4(mr + I)
(1.2)
(1.3)
Фиг. 2
Фиг. 3
Переходя к безразмерным координатам и параметрам г = Яд, ? = т/ю, ю = у (0), I = тЯ2Е, д = юд' (д' = йд/йт), г = Яюд', К = 2тК2ю2(1 + Е) на уровне энергии
к = (I + тЯ2)ю2 = тЯ2ю2(1 + Е), получим уравнение фазовой траектории
(д )2 = 1 - 1 /д2
(1.4)
Как видно (после упрощений, сделанных рецензентом), это уравнение от параметров не зависит.
2. Стартовое движение связки в более общем случае. Рассмотрим более общий случай старта, когда в начальном положении тела не обязательно касаются друг друга, а удалены на некоторое расстояние друг от друга с сохранением центральной симметрии и натяжения связующей пленки (фиг. 3).
Фиг. 4
Неподвижную систему координат ОХУ с началом в центре масс связки выберем так, чтобы ось У прошла через предварительно натянутую пленку между цилиндрами. Пусть а — обозначает расстояние от центра О до точек касания пленки с цилиндрами.
Повторяя рассуждения в п. 1, после отпускания цилиндров, получим следующие кинематические соотношения
АМ0 = р = „ДЯ, ^ = Я (ф + у)2 / 2, ео8 у = Я //
ф = V/2/Я2 - 1 - агеео8Я//, / = М0О'10 = *]г2 + а2 - 2а*/г2 -Я (ф = V/2 - Я2•/(Я/) = ---(л/Т-Я2 - а)ЛГ-Я2гг
Я12,!ГГ-Я2
Далее (как в п. 1)
К = 2(тг + I)уу - 21ф = еои81, у = 1/2(К + 2/ф)/(тг + I)
Т = т (г2 + г2 уу2) + 1(у + (ф)2 =
т+
/т(7г2 - Я2 - а)2(/2 - Я2)г4 Я2/4(тг2 + /)(г2 - Я2)
.2
г +
К2
4 (тг + I)
После перехода к безразмерным величинам г = Яд, ? = т/ю, ю = у (0), I = тЯ2Е,
Ь = а/Я, = юд' (д' = йд/йт), г = Яюд', К = 2тЯ2ю2(1 + Е)ю, I = Ял/д + Ь2 - 2^л/д2 - 1, Т = тЯ2(1 + Ь2 + Е)ю2, получим уравнение семейства фазовых траекторий, зависящее от параметров Ь и Е
2
1+
/:'(Vд2 - 1 - Ь) (д + Ь - 2п*]д2 - 1 - 1)д4
д'2 = Ъ2 + (1 + Е )(д2 - 1) / (д2 + Е)
(д2 + Е)(д2 - 1)(д2 + Ъ2 - 2Цц1 - 1)
На фиг. 4 изображены траектории при некоторых значениях параметров.
2 Механика твердого тела, № 3
33
3. Стартовое движение связки с противоположным направлением обмотки пленки.
При ином направлении (чем в п. 1) обмотки пленки, направление угловой скорости ф качения цилиндра по пленке совпадает с направлением скорости ю.
Уравнение фазовой траектории при этом будет иметь вид
л = R2[ 4T( mГ + I) - K] r2 m( mR2 + I) r4 + 412( r2 - R2)
или в безразмерном виде
q'2 = 4 (E + 1)-( q2 - 1 ) q2-
(E + 1) q4 + 4 E2 (q2 - 1)
При Е = 1 соответствующая траектория изображена на фиг. 4 и отмечена знаком q'.
Можно отметить, что независимо от моментов инерции тел, q' ^ 2, тогда как q' ^ 1 в случае п. 1.
4. Маятниковое движение связки. Когда в процессе размотки пленки вся ее длина будет выбрана (точка A" совпадет с точкой крепления пленки на цилиндр), движение связки можно представить как движение пары двойных физических маятников по инерции с известными начальными условиями. Уравнения движения подобной системы и устойчивость стационарных решений (с учетом упругости связи) исследованы в книге [1] и (с учетом нелинейной упругости) в статье [2]. Отличие от аналога состоит в сдвиге значений силовой функции на постоянную величину пропорциональную r0, где r0 — длина пленки в нерастянутом состоянии. Условие устойчивости относительного равновесия, когда центр масс тела находится дальше от центра О, чем точка крепления, сводится к ограничению скорости вращения развернутой связки критическим значением жесткости связи. (Стационарность движения достигается приложением тормозных моментов к телам связки в момент времени, когда плоскость натянутых пленок пройдет через оси обоих цилиндров. При отсутствии торможения может пойти процесс свертывания связки.)
Определенные характеристики движения связки в этом режиме можно получить из работы [3] и др. Заметим, что рассмотренный способ решения задачи о развертывании связки двух тел можно распространить на случай развертывания вращающейся связки многих тел (фиг. 2).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. ЧетаевН.Г. Устойчивость движения. М.; Л.: Гостехиздат, 1946. 204 с.
2. Журавлев В.Ф. Об устойчивости стационарных движений плоского тела в поле центральной
силы // Изв. РАН. МТТ, 1983. № 4. С. 71-76.
3. Акуленко Л.Д., Лещенко Д.Д. Относительные колебания и вращения плоской шарнирной
связки двух твердых тел // Изв. АН СССР. МТТ, 1991. № 2. С. 8.
Москва Поступила в редакцию
E-mail: blinovap@gmail.com 20.11.2012
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.