научная статья по теме КАЧЕСТВЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭВОЛЮЦИИ ОРБИТАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ПЛАНЕТНОМ РЕЗОНАНСНОМ ВАРИАНТЕ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ В СЛУЧАЕ РЭЛЕЕВСКОЙ ДИССИПАЦИИ Космические исследования

Текст научной статьи на тему «КАЧЕСТВЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭВОЛЮЦИИ ОРБИТАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ПЛАНЕТНОМ РЕЗОНАНСНОМ ВАРИАНТЕ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ В СЛУЧАЕ РЭЛЕЕВСКОЙ ДИССИПАЦИИ»

КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2013, том 51, № 5, с. 402-411

УДК 521.13

КАЧЕСТВЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭВОЛЮЦИИ ОРБИТАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ПЛАНЕТНОМ РЕЗОНАНСНОМ ВАРИАНТЕ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ В СЛУЧАЕ РЭЛЕЕВСКОЙ ДИССИПАЦИИ © 2013 г. Б. Р. Мушаилов, В. С. Теплицкая

Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга МГУ им. М.В. Ломоносова

Поступила в редакцию 09.07.2012 г.

В планетном варианте задачи трех тел для резонансов первого порядка при учете рэлеевской диссипации проведены качественные исследования эволюции орбитальных элементов гравитирующих тел. Рассмотрены стационарные решения, проведена классификация фазовых траекторий. Получены выражения для девиации орбитальных параметров.

БО1: 10.7868/50023420613050075

ВВЕДЕНИЕ

В рамках концепции частичной детерминированности [10] для планетного варианта задачи трех тел в случае орбитального двухчастотного резонанса первого порядка и диссипации рэлеев-ского типа в [14] было показано, что интегрирование эволюционных уравнений задачи (после исключения короткопериодических слагаемых на основании метода Цейпеля) сводится к разрешению канонической системы с двумя степенями свободы:

йХ

_1 = д£ йг ду

1

йу± = йг

д¥ дх1

(1 = 1,2),

(1)

Ж = х3С3

(Х22 + У22 ) + С (Х22 + У22) + С2Х2 + С4

+ ЧХ1)У1Х1,

где коэффициенты С1 (I = 1...4) определены в [14].

Моделирование диссипации в виде функции Рэлея

Ф = v(t)Г (Я), (2)

в которой Т — кинетическая энергия исследуемой системы, характеризуемая вектором обобщенных скоростей <Я, v(t) > 0 (случай рассеяния энергии), позволило путем соответствующего выбора переменных, сохранить каноническую форму описания уравнений движения гравитирующих тел.

Выбор случая орбитальных резонансов первого порядка обусловлен максимальной амплитудой эффекта [3, 7], а базовая модель фундаментальной задачи трех тел во многих задачах планетной (экзопланетной) и звездной динамики позволяет выявить основные закономерности динамической эволюции гравитирующих тел [4, 11-13, 15].

На основании [14] удается получить явные аналитические выражения, описывающие эволюцию всех орбитальных элементов исследуемых гравитирующих тел Р1 и Р2 с массами т1 = ца1, т2 = ца2, соответственно. При этом предполагается, что ц <§ 1, а масса "центрального тела" — звезды принимается за единицу масс. Единица времени выбирается так, чтобы гравитационная постоянная обращалась в единицу.

Для больших полуосей, эксцентриситетов и угла а = sin(// 2) взаимного наклона оскулирую-щих орбит Р1 и Р2 из [14] имеем

а/г) = Ц [1 + (х2 + у 2)]2,

¿г)

.1

= ( Е*Х2 + Рб/СОЬ 5*1 +

(3)

+ (Е*У2 + р^мп 5*) , = + ^01 (Х22 + У22) + ^02б12 + асзб22, 1 = 1,2.

Здесь

■П0

т — Сз ехр (|v(t)dt)

= а^/ Ь120,

йг.

а = а аЕ ь 2 а20 — а0 b20,

а1 /

а — (1 + ца^к а0 = ^^

+ 7^ (Е0(1 - 2) + 1- 1)

.41 + Е0

2

Т7 — а1

Е0 --

а2

к +1\ 1 + ц(а1 + а2>

1/з

к I (1 + ца1)2 Х1 - ехр [ ], Е* - Е/Фд/Фк,

фк -vЕ1Ф1 + е2Ф2к,

Е = уЛ/1 + VЕо, Е2 = у-Ц (1 + Ео),

\к +1

Ф1к = (-1)к (1 + к + Б/ 2)4+к)(а о), ф 2к = (-1)к (к + 1/2 + Б/ 2)4к2(ао) + 2ао5и, й

Б = а о

-, а о =

_ а1

й ао а2Ео

^о/ = (-1)У+1Е3-у^"о2 + Vо2, (/ = 1,2),

5* = 50 + 5, 50 = яг^Би°,

ио

5 = -2С^ - 4Сз&,

0 = йот—^ 1п, 12 =-1,

1 1о 2С3 ст(т + V)

Сто = В0 + Вь Сто! = ^^ 4 2

СТ о2 = СТ02 + СТоз, СТоз = СТ02 + СТоз,

СТот = ■

1 к

8Ео к + 1

к + 1\ ет2

- Ео

СТоз =

1 к (1 + Ео)2 с 2

8 Ео(1 + к) у ,

Во = 1 +1- к 1

2 4 к + 1Ео в = 1 (1 + Ео)

^(1 + Ео)2 - Ео2 - 1к + 12

. У

4 к + 1 ТуЕ,

в которых инварианты р-функции определяются в виде

g2 = 3^22 - 4ь1ьз, gз = 2ь1ь2ьз - Ь^ - ь1 (5) Здесь Ь = 2С2, Ь2 = (2/3)(4и - С2), Ь3 = -С1С2, Ь4 =

и =-(x22 + >>22)2 - Cl(x22 + У22) - С2Х2 - постоянная, входящая в первый интеграл (1).

Для долгот П- линии узлов и аргументов перицентров щ орбит Р- (- = 1, 2) будем иметь [14]

01 = О10 + П11т + ^12б1, О2 = 01 - п,

®1 = ql - - ^1), (6)

«2 = (5* - 5о + kql) - - /„а). к +1

Здесь ^п = Qо0Ц02, Ц12 = Ц00Ц03,

О оо = ^-^(а о) С(1±Ео)!,

оо 4С3 к +1 3 уЕо

О 02 —

. + С1 к 1 - Ео о _ кСз ( _ Е2/)

+' о оз _ 2 г*(1 Е о )г 0,

2л/?

в _ а^ + Ео)

Ро _ ,-,3,, , : у Ео(1 +

, ql = qlо + Ф1Т + Ф 201 + Фз02, Щ = ЩоаТХ13 [1 + Ь/о (Х22 + У22 /] 3, / = 1,2,

П1о =41 + щ2о =

^2

+ ца1

Ф1 =- СЁ (аГ'о +Г3 /, Ф 2 = -2^ (го1Г 02 + Г 01Г02 /,

Фз = -^/уС2(у), 02 = -тг[ + £(х + V + 2,(х - V)], 2Ь1

Г о = Сз(у), Г 01 = -^Врфао), Г 02 = 2 Иво,

Гз =щ + + г 02Г оз + ^ Сз(у),

х2 2а1 4

Ео2 - ((к1/ + ^ - Ео2/, Гоз = Х102(ао)-ао41)2(ао) (во + к^/,

81 к — символ Кронекера, а — соответствующая Ц1о и Яю — интегральные постоянные, ^ — °дн°-

ф^нкция Вейерштрасса, 01о, С, С1, у, Ж, а также именная функция Bейерштрасса, операция диф-

(т) ференцирования по у отмечена штрихом. и0, и0 — интегральные постоянные, С/т — коэффи- _

0 0 ^ . , . л%2 Первыми интегралами, как следует из (2), так-

циенты Лапласа (т = к, 1 + к), к е N—кратность же являются

резонанса.

Для переменных х2 и у2 из (1) удается получить в р-функциях Вейерштрасса следующие выражения [14]

и0 = е* ео8 ю1 - е* ео8 ю2, и0 = е* ю1 - е* 81п ю2,

(7)

Х2 = -1 [^(Х + V) + ^(Х - V) - Ь2], 2Ь1

У2 = — [[ + V) - р(х - V)] , 12 = -1, 2Ь1

где е/ =

(Е*- /1Е1 / / = 1»2>

(4)

так что

- 2е: е2 ео8(ю2 - ю1) + е2 = и0 + и0. (8)

(a)

(б)

А > 0

У2

А < 0

*2

Рис. 1

0

Интеграл вида

—а—= yjal (l - вЦ) cos i1 +

+

Vi + ма

а 2Л/1 + ца1 Vl + и(а1 + а 2)

C

cos i2 = —

(9)

ч

позволяет определить абсолютные значения углов ^ и ¿2 оскулирующих орбит тел Р1 и Р2, отсчитываемых от фиксированной (неизменяемой) плоскости Лапласа и определяемых выражением

1

2G,

C + (-1)

j+1G12 - G 2 с

, j = 1,2, (10)

в котором

G = kC1 VYEc + 1 1 4 1 + E0 2

E )2 + k (( + л2)

G2 =

1 I в 2

21 E

(k + 1)C1

k+WL-k+i (x2+2).

k 1 + E0 2 v 2 >

= с3 Jxjdi,

(11)

так что при v = v0 = const будем иметь

т - т0 = Х1оСз exp[3v0t], x1 = x10exp(v0t),

3v

4x23 + 2C1X2 + C2 = 0, y2 = 0.

(12)

3 2

Если А = —(8С1 + 27С2) > 0, то будут существо-

,(1К J2)

вать три действительных корня Х21 > х2' > 0 > Х2 . При А < 0 — единственный действительный ко-

Д3)

рень х23), а в случае А = 0 корни х^ и х22) будут равны между собой.

Как установлено в [5], стационарные точки (х22), 0) и (х23), 0) являются устойчивыми по Ляпунову (эллиптические точки типа центра), а (х2\ 0) — неустойчивая стационарная гиперболическая

точка. В случае А = 0 решение (х23), 0) будет отвечать устойчивой стационарной точке, а (х212), 0) — неустойчивой (гиперболического типа). При С1 >

> —(3/2)С23 стационарная точка (х23), 0) будет являться устойчивым центром.

Фазовые траектории на плоскости х2, у2 приведены на рис. 1 (две ветви сепаратрисы выделены жирными линиями). Как показано в [14], уравнение А = 0 в переменных С1 и С2 характеризуется локальной геометрической структурой типа сборки Уитни, обладающей структурной устойчивостью.

Согласно (3) и (12), соотношение между стационарными эксцентриситетами определяется уравнением окружности:

(еЫагМ)2 + (б2Лаг/Е2)2 = Е2, (13)

т-, Г~2 2 2 с радиусом Е = ->/«0 + и + Х2^.

Таким образом, стационарными решениями на плоскости (е1/Е1, е2/Е2) являются концентрические окружности с радиусом Е, при этом поскольку преобразование, определяемое вторым соотношением (3), не является особенным, то

указанные окружности при х2 = х22) и х2 = х23) определяют множество точек, соответствующих устойчивым стационарным эксцентриситетам орбит гравитирующих тел Р1 и Р2, а окружность с

I

СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ

Для нахождения стационарных решений канонической системы (1) перейдем от переменной t к

и тогда для стационарных решений, поскольку С2 Ф 0, получим

радиусом E =

б!* sin Ю1

yjuo + + [x

.(1) j2

задает область

(множество точек) неустойчивого стационарного

решения, равно и как при А = 0, когда х® = х22).

С другой стороны, из интеграла (8), с учетом (12), имеем

л2

Ei

"1stat

- eistate2stat cos Аю-

Ej

Ei E

E1E2

2

(14)

e2stat

2 Uo

2

Uq.

aj =

=aj [1-

h 2 l2 ' bj0 X2i st at J ,

(15)

—2- _,_ 2 a i — CTq + aQ1X2i stat

,22 + a02eii stat + a03e2i stat,

= Ej

2

X2i stat

eji stat

E¡ + 2x2i statE jp0j COS Sstat + p0j

1/2

, (16)

j = 1, 2; i = 1, 3

e2*sin ю2 fi U2

1

U2 и1 б2* cos ю2

6i cos ®1

Геометрическая интерпретация нормированных эксцентриситетов приведена на рис. 2.

Из (3) для стационарных решений (12) также непосредственно находятся явные выражения для стационарных значений больших полуосей и угла взаимного наклона орбит тел Р1 и Р2:

Рис. 2. Геометрическая интерпретация нормированных эксцентриситетов e* = (E*_j¡Ej)ej. При этом

Po = д/uo + uo, Uj = e* cos юj, uj = e* sinюj, j = 1, 2.

орбит Py- (/ = 1, 2) будет определяться неравенством

Ы -

E *

E j X2i stat

<

^ ji stat "j

<

E *

E j X2i stat

О j|

j = 1, 2; / = 1, 3.

Если рассматривать стационарные решения по переменной времени t, т.е. для системы (1) с двумя степенями свободы, то поскольку х1 Ф 0 стационарные решения тогда будут, помимо (12), определяться дополнительными условиями вида: y1 = 0, u = C4, v(x1) = 0. Последнее уравнение согласно [14] реализуется, например, при x1 = x10 = const,

когда v(x1) = i/ln(X|/x10)2, то есть v(t) = t. Следовательно, в этом случае в первом уравнении (15) следует положить x1 = x10.

С другой стороны, равенство x1 = x10 может ре-ализовываться и при функции v(t) такой, что

lim \v(t)dt = const. t J

Наряду с (13), (14), для стационарных эксцентриситетов из второго уравнения (3), с учетом (12), получим также

j = 1,2; i = 1, 3.

При S* = 0 и i = 1, 2 стационарные значения эксцентриситета орбиты Р1 принимают макси-

мальные значения e

1i stat

= X

l2i stat

Ej

+ M) E1, а

эксцентриситет орбиты Р2 — минимальные значе-

ния e2i stat =

При S* = п и i = 1, 2

"1i min

E1

r,j

X2i statE1 + p01

L 2 i max

В случае i = 3 при S* = 0

с13 min

E1

23 stat

Ej

+ P01

K2i stat

23 stat

P

02 ■

+ Po2

Согласно (3) и (12) является линейной функцией от т. Следовательно, диапазон изменения стационарных значений эксцентриситетов

а при = п стационарные значения эксцентриситетов орбит Р1 и Р2 достигают соответственно максимального и минимального значений. Чем больше |х2 , тем б

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Космические исследования»