ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2015, № 1, с. 41-49
ОПТИМАЛЬНОЕ ^^^^^^^^^^^^^^ УПРАВЛЕНИЕ
УДК 531.552
КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В СОПРОТИВЛЯЮЩЕЙСЯ СРЕДЕ И ЗАДАЧА О БРАХИСТОХРОНЕ*
© 2015 г. А. В. Зароднюк, О. Ю. Черкасов
Москва, МГУ
Поступила в редакцию 21.05.14 г., после доработки 18.08.14 г.
Исследуются задачи максимизации горизонтальной дальности и быстродействия для материальной точки, движущейся в сопротивляющейся среде. Рассматриваются различные модели сопротивления среды. С помощью принципа максимума Понтрягина задача оптимального управления сводится к краевой задаче для системы двух нелинейных дифференциальных уравнений. Качественный анализ полученной системы позволяет установить неизвестные ранее характерные свойства оптимальных траекторий для достаточно общей модели силы сопротивления. Проведенный анализ проиллюстрирован численным моделированием.
Б01: 10.7868/80002338815010138
Введение. Рассматривается движение материальной точки в вертикальной плоскости в однородном поле сил тяжести и в однородной сопротивляющейся среде. Задача состоит в определении формы траектории, обеспечивающей максимизацию горизонтальной координаты точки при переводе ее из заданного начального состояния на заданную высоту за фиксированный промежуток времени. Наряду с задачей максимизации дальности рассматривается задача быстродействия — задача выбора формы траектории, соединяющей две заданные точки вертикальной плоскости, время движения по которой будет минимальным. Предполагается, что зависимость максимальной дальности от времени носит монотонный характер. Тогда при соответствующем выборе параметров "конечная дальность" — "время процесса" указанные задачи являются взаимными, и оптимальные управления, и траектории задачи максимизации дальности, и задачи быстродействия совпадают.
Задача определения формы траектории движения на максимальную дальность при фиксированном времени и свободном значении конечной высоты исследовалась в [1, 2]. Использовался закон сопротивления среды, квадратичный по скорости. В этих же работах обсуждены модели объектов, движущихся в атмосфере, для которых эта задача имеет прикладное значение.
Задача быстродействия в рассматриваемой постановке носит название задачи о брахистохроне [3]. Различные обобщения классической задачи о брахистохроне исследовались в [4, 5], где изучалось влияние сухого трения. В [6] анализировались случаи сухого трения, линейной и нелинейной зависимости силы сопротивления от скорости. В [3] при помощи метода Охоцимско-го—Понтрягина найдены необходимые условия оптимальности, аналитически построены параметрические формулы для брахистохрон при действии и сухого, и вязкого трения, исследованы их свойства, установлены области достижимости. При этом предполагалось, что время достижения каждой внутренней точки траектории минимально для этой точки. В [7] варьировались начальные и конечные условия по скорости. В [8] рассмотрена задача о брахистохроне для диска, скатывающегося по траектории без проскальзывания, в [9] изучались свойства брахистохрон для неоднородных полей сил тяжести, в [10] описывалось влияние релятивистских эффектов.
Целью настоящей статьи является качественный анализ задачи при наличии силы сопротивления достаточно общего вида. В результате такого анализа удается установить неизвестные ранее характерные свойства оптимальных траекторий без численного моделирования.
1. Постановка задачи. Запишем уравнения движения материальной точки в безразмерных переменных:
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 14-08-01130).
x = v cos 0,
y = v sin 0, (1.1)
v = -f (v) - sin 0.
Здесь x, y — соответственно горизонтальная и вертикальная координаты точки, v — скорость, 0 — угол наклона траектории к горизонту, рассматриваемый в качестве управления, f (v) — сила сопротивления — заданная функция скорости, f(v) е C1, f(0) = 0, f '(v) > 0.
Начальные и конечные условия для системы (1.1) в рассматриваемой задаче имеют вид
x(0) = xo, y(0) = yo, v(0) = vo, y(T) = yT, (1.2)
x(T), v(T) — свободны, x0, y0, v0, yT, T — заданные параметры. Целью управления является минимизация функционала
J = -x(T) ^ min (1.3)
в
на траекториях динамической системы (1.1) с краевыми условиями (1.2) при помощи управления 8. Предполагается, что ограничения на управление отсутствуют. Иначе говоря, нужно максимизировать горизонтальную координату точки в момент окончания процесса.
Наряду с задачей (1.1)—(1.3) рассмотрим задачу, отличающуюся набором краевых условий и целевой функцией:
x(0) = Х0, y(0) = y0, v(0) = v0, x(T) = Xt , y(T) = yT, (1.4)
v(T) — свободно, x0, y0, v0, xT,yT — заданные параметры,
J = T ^ min, (1.5)
0
или задачу достижения заданной точки в вертикальной плоскости за минимальное время. Сформулированная задача (1.1), (1.4), (1.5) представляет собой задачу о брахистохроне, причем начальная скорость необязательно равна нулю. Как отмечалось во Введении, задачи (1.1)—(1.3) и (1.1), (1.4), (1.5) взаимосвязаны в следующем смысле. Если полученное в результате решения задачи (1.1)—(1.3) значение дальности x(T) принять в качестве конечного условия для задачи (1.1), (1.4), (1.5), то минимальное время, полученное в результате решения последней, совпадает с тем временем, которое было фиксировано при решении задачи (1.1)—(1.3), совпадают и оптимальные траектории.
2. Сведение задачи оптимального управления к краевой задаче. Для исследования поставленной задачи (1.1)—(1.3) применим принцип максимума Л.С. Понтрягина [11].
Функция Понтрягина для этой задачи, уравнения относительно сопряженных переменных и условия трансверсальности имеют следующий вид:
H = уxvcos 0 + уyv sin 0 + yv(—f (v) - sin 0) = C, (2.1)
где C — неизвестная константа,
У x = 0,
У y = 0, (2.2)
У v = f '(v)Vv - Vx cos 0 - Vy sin 0,
y x(T) = 1, y y (T) = fl, yv (T) = 0. (2.3)
Из соотношений (2.2), (2.3) следует, что
y x(t) - 1, y y (t) - fl, (2.4)
где a — неизвестная константа.
Максимизация функции H по управлению 8 приводит к соотношениям
дН = 0 ^ -wv cos 0 + avcos 0- vsin 0 = 0, (2.5)
50
и
д 2 H
—- < 0 ^ ш sin 0 - avsin 0 - vcos 0 < 0 ^ cos 0 > 0. (2.6)
д02
Дифференцируя соотношение (2.5) по времени в силу систем (1.1), (2.2.), (2.4), получаем уравнение для управляющей переменной 0:
0 = (1 + (f (v) + f' (v)v) (sin 0 - a cos 0)}.
v
Соответствующее граничное условие вытекает из условий (2.4), (2.5): 0(T) = arctg(a).
Итак, задача оптимального управления (1.1)—(1.3) сведена к следующей краевой задаче: найти решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений
¡V = -f (v) - sin 0,
= cos0 (1 + (f (v) + f '(v)v)(sin 0 - a cos 0), (2J)
v
удовлетворяющие краевым условиям
v(0) = v 0, 0(T) = arctg(a). (2.8)
После того, как решения v(t), 0t) краевой задачи (2.7), (2.8) найдены, траектория в плоскости (x, y) определяется из первых двух уравнений системы (1.1) при помощи квадратур.
3. Случай свободного значения конечной вертикальной координаты. Вначале рассмотрим случай, когда значение координаты y(T) свободно. При этом условии решение задачи (1.1)—(1.3) дает достижимую верхнюю оценку максимально возможной дальности. Соответственно решение задачи (1.1), (1.4), (1.5) дает нижнюю оценку времени перевода материальной точки из заданных начальных условий x(0) = x0, y(0) = y0 в точку с заданными финальными координатами x(T) = xT, y(T) = yT. Краевая задача (2.7), (2.8) примет вид
[v = -f (v) - sin 0,
= ^ (1 + (f(v) + f '(v)v)sin 0), (3Л)
v
v(0) = V0, e(T) = 0. (3.2)
Однопараметрическое семейство кривых
v(1 + f (v)sin 9) = C cos 0 (3.3)
представляет собой интегральные кривые системы (3.1). Задание значения C определяет интегральную кривую системы (3.1). Это значение соответствует величине v(T) на оптимальной траектории в момент окончания процесса или, что то же самое, при достижении траекторией прямой 0(T) = 0.
Анализ краевой задачи (3.1), (3.2) осложнен неявным видом функции f (v). Тем не менее, даже в этом случае удается установить наличие двух стационарных решений. Стационарные решения системы (3.1) v(t) = v*, 0(t) = 0*, где v*, 0* — константы, определяются из системы уравнений:
í-f (v*) = sin 0*,
jcos0* (1 + (f(v*) + f '(v*)v*)sin 0*) = 0.
1 v*
Заметим, что правые части системы (3.1) представляют собой 2п-периодические функции аргумента 8, поэтому фазовое пространство системы является цилиндром. Система (3.1) имеет три стационарных решения на фазовом цилиндре. Рассмотрим развертку фазового цилиндра на плоскость (v, 0), ограничившись в соответствии с (2.6) значениями 0 е [-я/2, п/2]. В этой области имеются две точки покоя:
0* = -п, f (v*) = 1 (3.4)
и
f/(v*) = - sin е*, (35)
(f(v*) + f '(v*)v*) sin е* = - 1. '
Характеристическое уравнение системы (3.1), линеаризованной в окрестности стационарного решения (3.4), имеет вид (к + f '(v*))2 = 0, следовательно, точка (3.4) является устойчивым ди-критическим узлом. Этому стационарному решению в плоскости (x, y) отвечает движение вертикально вниз с постоянной скоростью. Из системы (3.5) получаем уравнение
ф^т 0*) = sin2(0*) - f'(v*)v* sin 0* - 1 = 0.
Легко убедиться, что квадратный трехчлен ф(а) = а2 - f' (v*)v* а -1 удовлетворяет следующим условиям: ф(-1) = f (v*)v* > 0, ф(0) = -1 < 0, ф(1) = -f (v*)v* < 0. Следовательно, уравнение ф^т 0) = 0 имеет единственное решение на промежутке (-п/2, 0), а система (3.5) — единственное решение (v*, 0*), которому соответствует наклонное движение точки в плоскости (x, y) с постоянной скоростью.
Характеристическое уравнение системы (3.1), линеаризованной в окрестности стационарного решения, удовлетворяющего системе (3.5), записывается в виде
^ - f (v*) + 2f wV) + v*f"(v*)f V)) = 0,
v*f (v*)
откуда следует, что особая точка, удовлетворяющая системе (3.5), является седлом или центром. Условие того, что эта точка является седлом, задается неравенством
f (v*) + 2f(v*)f V) + v*/"(v*)f 2(v*) > 0.
В частности, если сила сопротивления является выпуклой вниз функцией скорости, то точка, удовлетворяющая системе (3.5), представляет собой седло.
Дальнейш
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.