ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2009, том 45, № 3, с. 64-77
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Посвящается 125-летию со дня рождения Йозефа Шумпетера (1883-1950)
КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ДЕЛОВЫХ ЦИКЛОВ НА ЭКОНОМИЧЕСКИЙ РОСТ
© 2009 г. А. А. Акаев
(Москва)
Дан качественный анализ решений дифференциальных уравнений, описывающих циклические колебания деловой активности и экономический рост, исследована устойчивость системы. Рассчитана точка бифуркации, где система теряет устойчивость и становится восприимчивой к структурным изменениям и инновациям. Следствием бифуркации является возникновение в системе самоподдерживающихся незатухающих автоколебаний. Показано, что в условиях неустойчивости происходит смена уровней равновесия, что определяет возрастающий экономический рост. Выявлен механизм влияния краткосрочных циклических колебаний на формирование траектории долгосрочного экономического роста.
ВВЕДЕНИЕ
В ХХ в. теория циклов и теория экономического роста были двумя центральными проблемами в экономической науке и получили огромное развитие. Авторы общепринятого определения экономического цикла, ставшего классическим, американские ученые У. Митчелл и А. Берне (Burns, Mitchell, 1946) исходили из гипотезы о том, что динамика рядов выпуска и занятости обусловливает экономический рост, известный как возрастающий тренд, а циклы деловой активности представляют собой колебания вокруг тренда. Причем тренд есть результат действия факторов, обусловливающих долгосрочный рост в экономике, — уровня сбережений, прироста трудовых ресурсов, технологических сдвигов и т.д. Поскольку исследования У. Митчелла и А. Бернса опирались на результаты анализа огромных объемов статистических данных, наиболее достоверных для начала ХХ в., вполне естественно, что их выводы способствовали формированию взгляда на экономические циклы как на колебания, происходящие вокруг трендовой траектории экономического роста. Предполагалось также, что циклические колебания деловой активности являются колебаниями, происходящими вокруг положения равновесия. Большинство последующих исследователей были согласны с тем, что факторы, определяющие вид деловых циклов, почти не влияют на формирование тренда долгосрочного экономического роста.
Однако наряду с этим основным направлением развития взглядов на природу деловых циклов и экономического роста были работы, в которых утверждалась идея об их тесной взаимосвязи. В первую очередь здесь следует указать на выдающийся труд Й. Шумпетера (S^umpeter, 1939), где он утверждал, что циклические колебания есть составная часть долгосрочного экономического роста.
И все же вплоть до 1980-х годов преобладающей точкой зрения на характер деловых циклов была их трактовка как колебаний, независимых от долгосрочного экономического роста. Вот что писал по этому поводу один из известных российских исследователей этой проблемы С. Аукуци-онек (Аукуционек, 1990): "Фактор долговременного развития всегда считался одним из важнейших при исследовании механизма циклических колебаний. И длительное время два типа движения — колебательное и поступательное — рассматривались взаимосвязанно. Как стороны единого процесса. Глубокое размежевание между теориями цикла и роста наметилось только в 1950-е годы. Созданные к тому времени теоретические модели обнаруживали любопытную общую черту: колебательные механизмы, которые они описывали, оказались одинаково "работоспособными" как в статике, так и в динамике. То есть были логически независимы от трендового движения. Сначала эта особенность моделей воспринималась как их крупный недостаток. И немало сил было потрачено на его исправление. Но безуспешно. Совмещение двух видов движения до сих
пор достигается не теоретическим, а скорее, инженерным путем — механическим наложением тренда, взятого со стороны, на бестрендовую модель колебаний. А исключение долговременной составляющей стало одним из самых распространенных приемов при исследовании циклов. Можно сказать, что ныне колебательное и поступательное движения все чаще трактуются как равнофундаментальные".
Вместе с тем уже в 1980-е годы целый ряд американских исследователей (Р. Лукас, Ф. Кюд-ланд, Э. Прескотт, Ч. Плоссер, Р. Кинг и др.) пришли к выводу о том, что деловые циклы играют значительную роль в формировании тренда экономического роста. На основе идей Нобелевского лауреата Р. Лукаса (Lucas, 1977) сформировалась новая концепция "теории циклов роста". Отталкиваясь от этой концепции, Ф. Кюдланд и Э. Прескотт разработали теорию реального делового цикла (РДЦ), объединившую механизмы циклических колебаний и экономического роста (Kydland, Prescott, 1982). В основе этой теории прежде всего лежат идеи Й. Шумпетера о том, что циклические колебания возникают как результат воздействия технологических нововведений (Шумпетер, 1982). Ф. Кюдланд и Э. Прескотт показали, что именно факторы совокупного предложения, связанные с технологическими шоками, являются причиной колебаний в совокупном выпуске и занятости, самое главное, что эффект долгосрочного роста есть следствие краткосрочных циклических колебаний. На основе своей теории Ф. Кюдланд и Э. Прескотт создали дискретные модели реального делового цикла и экономического роста, которые стали базовыми в численном макроэкономическом компьютерном имитационном моделировании различных сценариев экономического развития.
Следующим логическим шагом в этом направлении является создание непрерывных моделей. Надо ли говорить о необходимости и важности непрерывных моделей реального делового цикла и экономического роста, которые позволяют проводить не только количественный анализ с помощью компьютера, как в случае дискретных моделей, но и качественный анализ с помощью аналитических методов, наглядно иллюстрирующих механизмы взаимного влияния циклических колебаний деловой активности и экономического роста. Именно эту цель и преследует настоящая работа, являющаяся продолжением предыдущей работы автора (Акаев, 2008).
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Характер влияния деловых циклов на формирование траектории долгосрочного экономического роста до сих пор недостаточно изучен. Пользуясь общим уравнением макроэкономической динамики, описывающим совместное взаимодействие долгосрочного экономического роста и краткосрочных деловых циклов, полученным в (Акаев, 2008), можно в значительной мере прояснить этот важный вопрос. Для этой цели наиболее подходящим средством является качественный анализ дифференциальных уравнений, описывающих циклические колебания деловой активности и траекторию долгосрочного экономического роста.
Нелинейное дифференциальное уравнение, описывающее циклические колебания деловой активности вокруг трендовой кривой роста, имеет вид (Акаев, 2008):
d 2y dt2
- v3 (( dt
dy , 2 i+Юо
1 -
s(1 - s).
ж
У = Ф(0,
(1)
где ст0 = -[^ + ж - жк^ - ^(1 - /у]; ®0 = кж; у = У - У; У^) — текущий объем выпуска продукции (текущий уровень ВВП); У(1) — уровень выпуска соответствующего траектории долговременного роста; ф(?) — квазипериодическая функция, выражающая действие внешней вынуждающей силы; V — мощность акселератора; X — скорость реакции запаздывания предложения от спроса; ж — скорость реакции запаздывания фактических капиталовложений от момента принятия решения об индуцированных инвестициях; ж — коэффициент сбережений; в — эластичность выпуска по труду; у — параметр Оукена; I — норма процента. Для дальнейшего анализа примем следующие типичные численные значения параметров: X = 4; ж = 1; 5 = 0.25; / = 0.1; р = 2/3; у = 2.5. Мощность акселератора V является основным управляющим параметром и оказывает существенное влияние на динамику исследуемой системы. Поэтому будем менять его в определенных пределах.
Дифференциальное уравнение, описывающее траекторию экономического роста, имеет вид (Акаев, 2008):
№ + а0 йУ + Ш27 = Х (йЛ + ял), (2)
йг2 0 йг \йг !
где ст0 = ^ + я - яXv; ю^ = Л — трендовая составляющая независимых инвестиций
(Л( г) = Л (г) + ф (г)). Отметим, что при выводе уравнения (1) циклических колебаний была учтена циклическая безработица, которая возникает в периоды спадов, что позволяет рассматривать реальную экономическую систему с неполной занятостью, тогда как в большинстве моделей используются только схемы с полной занятостью. Как известно, колебания уровня безработицы связаны с колебаниями фактического выпуска согласно закону А. Оукена:
(УР - У)/Ур = у(и - и*),
где УР — потенциальный объем выпуска при полной занятости; У — фактический объем выпуска при наличии циклической безработицы; и* — естественный уровень безработицы, соответствующий полной занятости; и — фактический уровень безработицы; у — параметр Оукена.
Отсюда следует, что решения уравнения (1) определяют не только колебания выпуска, но и одновременно колебания занятости. Поскольку циклическая безработица имеет негативные экономические и социальные последствия, очевидно, что экономическая политика должна быть направлена на ограничение уровня циклической безработицы, а следовательно, амплитуды колебаний выпуска. Таким образом, при сокращении амплитуды колебаний совокупного выпуска одновременно сокращается уровень циклической безработицы.
Поскольку уровень выпуска продукции влияет на величину капитала, необходимого для ее производства, изменения объема выпуска воздействуют на объем потребного капитала и, следовательно, влекут чистые капиталовложения. Итак, если поток выпуска меняется, то трансформируется также необходимый наличный капитал и имеют место положительные или отрицательные чистые индуцированные капиталовложения, которые представляют собой производную от величины всего наличного капитала (основного и оборотного) К = I - цК, где ц — коэффициент выбытия; I — фактические капиталовложения; К — наличный капитал. Данное уравнение также было учтено при выводе уравнений (1) и (2).
Рассмотрим динамическую систему (1). Если ввести переменную х = йу/йг, то (1) сводится к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка:
у = х; X = (а0 - 4я^2/3)х - ю0 [1 - 5(1 - 5)//я] + ф(г). (3)
Нам важно изучить ф
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.