КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 76, № 6, с. 711-716
УДК 544.7+541.18
КАПСУЛА С ФРАКТАЛЬНОЙ ОБОЛОЧКОЙ В ОДНОРОДНОМ ПОТОКЕ ЖИДКОСТИ © 2014 г. С. И. Васин*, Т. В. Харитонова**
*Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина 119991 Москва, Ленинский проспект, 65 **Институт физической химии и электрохимии им. А.Н. Фрумкина РАН 119071 Москва, Ленинский проспект, 31 E-mail: s.vasin@rambler.ru Поступила в редакцию 17.04.2014 г.
Решена задача об обтекании однородным на бесконечности потоком жидкости капсулы, состоящей из фрактальной оболочки и содержащей внутри жидкость, идентичную внешней. Течение во фрактальном слое описывается уравнением Бринкмана, причем вязкость эффективной среды считается отличной от вязкости чистой жидкости. Найдены распределения скорости и давления, вычислена сила гидродинамического воздействия на капсулу.
DOI: 10.7868/S0023291214060184
ВВЕДЕНИЕ
Создание пористых полиэлектролитных капсул [1] открыло перспективы их широкого практического использования в разных областях. Они стали использоваться в качестве средств доставки лекарств, способных их высвобождать в нужном месте, микрореакторов, каталитических систем и т.д. [2—6]. Созданные на основе капсул материалы обладают уникальными свойствами, которые придаются ей за счет достаточно тонкой настройки структуры оболочки капсул, введения в поверхностные слои активных материалов (функциональных групп, наночастиц), могущих обеспечить одновременное протекание нескольких реакций. Пористая структура оболочки может также быть подстроена должным образом для обеспечения повышенной селективности каталитических реакций. Оболочка может служить и защитой для ряда активных веществ от внешних загрязнений. Специальными приемами можно придать оболочке гидрофильные и гидрофобные свойства в зависимости от природы дисперсионной среды. Но одной из основных ценных особенностей оболочки является зависимость ее проницаемости от природы пенетранта.
Технология получения капсул отработана достаточно надежно, поэтому основное внимание в последние годы все больше уделяют внимания либо использованию капсул в различных прикладных исследованиях [5], либо более тонкой настройке проницаемости их слоев [7, 8]. Следует заметить, что проницаемость капсул является важной характеристикой как на стадии их полу-
чения, так и в различного рода приложениях. По этой причине гидродинамические свойства микрокапсул представляют самостоятельный интерес. В предыдущих работах [9—11] нами было исследовано обтекание сферических капсул, состоящих из однородной пористой оболочки и содержащих внутри жидкую фазу или фрактальный агрегат. При этом оболочка пористой капсулы считалась однородной. Это является в некотором смысле приближением, поскольку создание из полимеров капсул с однородной проницаемостью является достаточно сложной задачей. Известно [12, 13], что и самим полимерам, и образующимся из них агрегатам более присуща фрактальная структура. Да и сам процесс формирования капсул на твердых частицах неявно предполагает, что их пористость будет расти по мере удаления от поверхности затравочных частиц (см., например, [2, 3]). Это позволяет заключить, что для оболочки капсул более естественной является фрактальная структура, когда плотность полимерных цепей убывает к периферии. Известно [11, 12], что фрактальные пористые структуры характеризуются особым гидродинамическим поведением, отличным от поведения однородных пористых тел. В силу сказанного представляет интерес рассмотреть гидродинамическое поведение капсулы с неоднородной пористой оболочкой.
В данной работе мы рассмотрим задачу об обтекании гидродинамическим потоком капсулы с фрактальной оболочкой, содержащей внутри жидкую фазу, идентичную дисперсионной среде. Основное внимание будет уделено распределе-
Рис. 1. Схематическое изображение капсулы с фрактальной оболочкой.
нию гидродинамических потоков в капсуле, а также воздействующей на нее вязкой силе.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим процесс обтекания капсулы радиуса 3, состоящей из проницаемой оболочки с фрактальной структурой толщиной 8 (Я = а -5) и содержащей внутри жидкость, идентичную по свойствам с внешней средой. Внешняя жидкость втекает через фрактальную оболочку внутрь капсулы, протекает внутри нее и вытекает через оболочку (рис. 1).
Направляя ось £ вдоль заданного на бесконечности однородного потока и, выберем сферическую систему координат (Г, 9, ф) с началом в центре частицы.
Движение жидкости при малых числах Рей-нольдса внутри капсулы (0 < г < Я, область 1) и вне капсулы (а < г < да, область 3) будем описывать уравнениями Стокса и неразрывности:
'Vр(0 = ДДу(0, V • V(0 = 0.
(1)
I = 1, 3, а во фрактальном слое (Я < г < 3, область 2) — уравнениями Бринкмана и неразрывности [14]
[VР(2) =Д(2)ДV(2) - ¡V(2), ^ -V(2) = 0.
(2)
ются различными, р(() — давление в области /, V= {т? — векторы скорости, к — параметр
Бринкмана, обратно пропорциональный удельной проницаемости пористого слоя.
Плотность фрактального агрегата (область 2) с размерностью Б (2 < Б < 3) определяется соотношением [11, 15]
р(г) = сош1
(Я Г
(3)
Параметр Бринкмана к, характеризующий сопротивление фрактального агрегата, предполагается пропорциональным плотности р(г):
к = ¡0 (ЯГ',
(4)
где к0 — значение параметра Бринкмана на внутренней поверхности фрактального слоя (г = Я).
Чтобы сформулировать краевую задачу для уравнений (1), (2), необходимо задать граничные условия.
Вдали от капсулы задаем однородный поток:
V(3) ^ и, г ^ да. (5)
На межфазных границах жидкость-фрактальный слой (г = Я и г = 3) задаем условия непрерывности скорости V, нормальных ст гг и касательных (7г0 напряжений (/ = 1, 3):
В уравнениях (1), (2) и далее знак тильда обозначает размерные величины, верхний индекс (/) указывает номер области, к которой относится
величина, р, р(2) — коэффициенты вязкости жидкости и среды Бринкмана, которые предполага-
у (') = у (2),
с(0 = с(2)
^ гг ^ гг > _ ~ (2) с гв - с г в .
(6)
Уравнения (1), (2) с граничными условиями (5)— (6) образуют замкнутую краевую задачу для на-
хождения распределений скорости и давления в областях течения.
МЕТОД РЕШЕНИЯ
Для удобства анализа перейдем к безразмерным операторам, переменным и величинам:
г = г, Я = Я 5 = 5 = 1 - Я,
а
а
а
V = Vа, А = М2, V = -X; р = р
И ~
Ро
ид д Ро =~г, т = _ а ц
(2)
(7)
а =
Я
50 = а Я (3-Л)>2, 5 5
и при Я < г < 1
[Vр(0 = Av(0, [у • V(0 = 0,
Ур(2) = Av(2) - Ц;,
Г
V • V(2) = 0,
(8)
(9)
где к = 3 - Д
Граничные условия (5)—(6) в сферической системе координат записываются следующим образом (/ = 1, 3):
V г
(3)
л (3) соб 0, Vд = - БШ
при г ^ да.
т(2)
V О - V (2) у 0 - v 0 ,
Я (') (I) . лOVг
-р() + 2-
Я (2)
ду
дг
(2) , 0 дv. - -р + 2т
дг
(10)
(11)
, Я (') Я (') (') Л Я (2) Я (2) (2
1 дvг , дvе 1 дvг дуе v0
г д0
■ +
дг
— т
г д0
дг
(1)
= (с + с2г2) еоБ 0, Vд1) = (—с1 - 2с2г2 )п 0,
(12)
р(1) = 10с2г соб(
(3)
V,
(3) V 0
¿2
г г Ь1 Ь
1 ) ео8 е,
- Ь2 -1)
2г3 2г
Б1П (
(13)
р(3) = (( ) е.
Общее решение системы уравнений (9), описывающее течение во фрактальной среде (Я < г < 1), представляем в виде рядов [17]:
т(2)
= X а!-?! (г)еоэ 0, 1=1
0
4т
где ЯЬ = -\/Д/к0 — характерная толщина фильтрационного слоя (радиус Бринкмана).
Системы определяющих уравнений (1) и (2) в безразмерной форме приобретают вид (/ = 1, 3)
(2)
1 д 2г дг
(
\
2
г X а1?}(г)
V 1=1
Б1П 0
4
р(2) =тХ а1 (г)соб 0,
1=1
где при 1 = 1,2
ж
/ (г) = г'1 X а15 2"г(2-;)п,
п=0
ж
/ \ ¡1 ,11 2п (2-к)п
V1 (г) = г1 X гХ ',
п=0
2
'1 = 2, '2 = -1, а0 = 1, =
11 -1
й1 =
каП-1
((2 - ;)п +11 )((2 - ;)п +11 + 3)
а при 1 = 3, 4
1 2п (2-к)п
ал г ,
/у (г) = г'1 X а
п=0
Ж
V1 (г) = 5 г' X гК ' ,
Общее решение системы (8) внутри капсулы (0 < г < Я) с учетом конечности скорости в центре частицы было получено в работе [16] и имеет вид
'3 = 0, '4 = -3, а0 = 1, =
а0 к
(14)
(15)
((2 - к)п +11 -1)((2 - к)п +11)-2' ((2 - к)п + ¡1 -1) + ап-1
а1 _
((- к)(( -;+3) _ ((2 - к)(п -1) + ^ + 1 - к) ¿1-1 + ап-1
((2 - к)п + 11 )((2 - к)п + ¡1 + 3)
, (16)
й1 _ " и
кап
Общее решение системы (8) вне капсулы (1 < г < да) с учетом граничного условия (10) записывается в виде [15]
((2 - к)п ++1 - к) - к)п ++ 2 - к) - 2
Для частных случаев фрактальной размерности (к = 0 и к = 2) система уравнений (9) допускает
4
0
а
п
Ж
п=0
Рис. 2. Линии тока при различных значениях параметров течения: 5 = 0.5, Б = 2.7, т = 2, ст = 3 (а), 10 (б).
аналитические решения, выражающиеся через элементарные функции, которые приведены в работах [18,19].
Для нахождения констант интегрирования üj, bj, Cj общие решения (12)—(14) подставляем в граничные условия (11) и получаем систему восьми алгебраических уравнений с восемью неизвестными. Решение системы имеет громоздкий вид, и здесь мы его приводить не будем.
РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
Важной характеристикой рассматриваемой задачи является сила F, действующая со стороны жидкости на капсулу [15]:
F = < (ст® cos 0 - стГе sin 0)ds = -4nb2üp Ü, (17)
где интегрирование производится по внешней поверхности капсулы, b2 — константа, определяемая из решения системы (11).
Безразмерную силу Q определим как отношение силы F к силе Стокса Fst = бтсйД Ü, действующей на твердую частицу радиуса ü:
П = -
3
(18)
Сила О (5, т, а, Б) является функцией четырех параметров. Параметр 8 — толщина фрактального
слоя, m — отношение вязкостей, а — безразмерный коэффициент Бринкмана, характеризующий сопротивление фрактального агрегата, D — фрактальная размерность.
На рис. 2 изображены линии тока при различных значениях параметров течения. При малом значении безразмерного параметра Бринкмана а =3 (рис. 2а) фрактальный агрегат оказывает слабое сопротивление течению, жидкость легко проникает через фрактальную оболочку и протекает через внутренность капсулы. С ростом параметра а (рис. 2б, а = 10) сопротивление фрактала возрастает, линии тока искривляются, меньшее количество жидкости проникает внутрь капсулы. Интересно проследить движение жидкости во фрактальном кластере вблизи внутренней повер
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.