ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 6, 2011
УДК 534.1
© 2011 г. Асташев В.К., Крупенин В.Л.
КАРТИНЫ СТОЯЧИХ ВОЛН С ИЗЛОМАМИ ПРОФИЛЕЙ В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ОБЪЕКТАХ, СОУДАРЯЮЩИХСЯ С ТОЧЕЧНЫМИ ОГРАНИЧИТЕЛЯМИ1
Даны результаты экспериментов с распределенным ударным элементом — струной, движение которой сопровождается ударными взаимодействиями с точечными ограничителями хода. Изучены динамические эффекты, сопровождающие возникновение в таких системах периодических трапециевидных стоячих волн, характеризующихся изломами их профилей, которые могут быть составлены из отрезков прямых.
В работах [1, 2] развиты элементы теории распределенных виброударных систем (струн) с точечными ограничителями хода. Потребность в такой теории возникает в связи с расчетами разнообразных элементов конструкций, а также различного рода измерительных приборов, например, электроакустических (струнных) тензометров [2]. До последнего времени модели, с которыми оперируют расчетчики, не полны, так как не всегда учитывают возможные соударения струн с жесткими частями конструкций. В последнее время получила развитие теория виброударных систем с распределенными ударными элементами [3—5] (обзорные статьи [6—8] содержат ряд библиографических указаний).
В системах с точечными ограничителями хода протяженность преграды пренебрежимо мала по сравнению с длиной колеблющегося объекта. Поэтому виброударный процесс сопровождается выстоем соударяющейся точки около точечных ограничителей, а время соударения оказывается соизмеримым с периодом колебаний струны. В отличие от этого в системах с протяженными ограничителями хода длина соударяющегося участка струны соизмерима с ее полной длиной, обладает определенной массой, и время соударения оказывается пренебрежимо малым по сравнению с периодом колебаний. Наконец, возможны и комбинации точечных и протяженных преград, примером которых служат тавровые ограничители хода [9].
В настоящей статье описываются и систематизируются результаты экспериментальных исследований динамических явлений, возникающих вследствие взаимодействия вибрирующих струн с точечными ограничителями. Показано, что наличие точечных ограничителей вызывает возникновение периодических трапециевидных стоячих волн, а также стоячих волн других типов, характеризующихся изломами их профилей. Эксперименты были выполнены на разработанном в ИМАШ РАН стенде "Аллигатор-Т" и его модификациях, в своем первоначальном виде предложенном А.М. Веприком [10].
Точечные ограничители. Динамические модели стоячих волн в распределенных системах, взаимодействующих с точечными ограничителями, строятся по следующему образцу [2]. Рассмотрим модель линейной одномерной распределенной системы,
1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (Проект 10-08-00500).
¥
г-
0 Г/2 0 \J\AJ- г 32 "/2 2 Г --
Рис. 1
Рис. 3
представляющей собой, например, натянутую струну или балку длиной I, определяемые оператором динамической податливости Ь(х, у, р) [11], причем х, у е I, где р — оператор дифференцирования. Вид этого оператора определяется, в частности, геометрической и (или) динамической структурой системы и граничными условиями.
Пусть искомое перемещение u(x, у, Г) ограничивает помещенный в точке (а, А) точечный ограничитель так, что u(a, Г) > А. Предполагая, что движение осуществляется под действием Г-периодической распределенной силы, запишем представление, определяющее Г-периодические виброударные процессы, в виде
в
и(х, г) = ^(х, г) - ^(5)%(х, а, г - 5)ds,
(1)
где х(х, а, Г) — Г-периодическая функция Грина линейной системы, полностью определяемая оператором Ь. Г-периодическая стоячая волна ^(х, Г) определяется решением соответствующей линейной задачи. Моменты времени а, в е [0, Г], определяющие время Г* = |р - а выстоя струны на ограничителе, а также сила реакции ^(г) подлежат определению из некоторых дополнительных условий [2].
В приведенных работах при помощи представлений вида (1) получены, в частности, аналитические выражения для искомых стоячих волн, имеющих изломанные профили. Далее рассматриваются именно такие волны, полученные опытным путем.
Опытная установка. Эксперименты по изучению волновых процессов при колебаниях струны с точечными ограничителями проводились на стенде "Аллигатор-Т", схема которого показана на рис. 1.
В качестве распределенного упругого элемента в экспериментальной установке использован резиновый жгут 1. Один конец жгута жестко связан с установленным на станине датчиком силы 2, измеряющим составляющую натяжения жгута в направлении, перпендикулярном его оси. Сигнал с датчика, пропорциональный углу поворота жгута в заделке, регистрировался электронно-лучевым осциллографом 3. Второй конец жгута связан со столом электродинамического возбудителя 4 поперечных колебаний жгута. Питание возбудителя осуществляется от генератора 5 электрических колебаний. Конструкция креплений жгута допускает регулировку натяжения жгута с целью изменения его собственных частот. Точечные ограничители 6 выполнены в виде тонких стержней, установленных перпендикулярно плоскости колебаний жгута на каретке 7, позволяющей изменять зазор между жгутом и ограничителями. Кроме того, конструкция стенда допускает изменение количества ограничителей и их положения относительно жгута вдоль его оси.
Форму колебаний жгута и их трансформацию в процессе колебаний фотографировали фотоаппаратом 8 в освещении вспышек стробоскопической лампы 9, получающей питание от анализатора движения 10. Конструкция стенда позволяет также использовать фиксацию движения жгута посредством видеокамеры. Приводимые результаты отвечают случаям, когда первая собственная частота струны длиной I = 52 см
г
а
Г__
А
И- '
V *
Рис. 2
в отсутствие соударений составляет / = 33 Гц, а ограничители установлены с зазором А = 12 мм.
Картины стоячих волн. В экспериментах обнаружены частотные зоны возбуждения нелинейных волн, профили которых составлены из прямолинейных отрезков. В числе прочих, приведем результаты экспериментов, которые были опубликованы ранее, так как наша цель хотя бы частично продемонстрировать общий взгляд на стоячие волны с изломанными профилями, определяющие свойства которых идентичны и, кроме того, в определенном смысле идентичны свойствам простейшей виброударной системы (ударного осциллятора [11]).
Рассмотрим фотографии, демонстрирующие изменение конфигураций волны в различных фазах движения при различном числе и расположении ограничителей.
Конфигурации на рис. 2 получены при возбуждении жгута с частотой / = 39 Гц. Единственный ограничитель расположен в середине жгута с зазором А = 12 мм. В момент максимального отклонения от ограничителя, когда все точки струны неподвижны, конфигурация волны имеет вид равнобедренного треугольника (рис. 2, а). При движении в пределах зазора форма волны принимает вид равнобочной трапеции (рис. 2, б), боковые стороны которой неподвижны, а малое основание движется с постоянной скоростью, увеличиваясь по длине при движении к центральному положению и уменьшаясь при движении от центрального положения. Заметим, что аналогичные волны наблюдались в экспериментах при анализе движений распределенных систем с протяженным ограничителем [11] и многомассных дискретных систем с множественными параллельными ударными парами [7, 12]. После достижения малым основанием трапеции ограничителей точка касания останавливается, и конфигурация волны изменяется: трапеция раздваивается, как бы обтекая ограничитель. В конечном положении (рис. 2, в) все точки жгута останавливаются, а его форма принимает вид треугольных зубцов с боковыми сторонами, сходящимися к точке расположения ограничителей. Далее процесс происходит в обратном порядке. При этом форма жгута всегда симметрична относительно его середины.
Такое поведение форм жгута подтверждается осциллограммой сигнала с датчика силы, приведенной на рис. 3. Эта осциллограмма дает составляющую силы натяжения струны в направлении колебаний. Видно, что в моменты прохождения нейтрального положения регистрируемая сила, а следовательно и угол поворота струны в точке заделки изменяются скачком, оставаясь постоянными в течение половины периода колебаний.
В экспериментах с одним точечным ограничителем исследовалось влияние асимметрии положения ограничителя относительно середины жгута на конфигурацию
Рис. 5
стоячей волны. Установлено, что по мере смещения ограничителя вдоль жгута его профиль становится все более асимметричным, сохраняя при этом прямолинейные участки с угловыми переходами от одного к другому. Сказанное иллюстрируют приведенные на рис. 4 фотографии конфигураций жгута в различных фазах движения при той же частоте возбуждения / = 39 Гц.
Ограничитель расположен на расстояниях 29 и 23 см от точек закрепления жгута. При максимальном отклонении от ограничителя профиль жгута (рис. 4, а), все точки которого неподвижны, близок к треугольному с вершиной, смещенной от середины в сторону, противоположную смещению ограничителя. При движении к ограничителю вершина волны "размывается" и образуется прямолинейная полка (рис. 4, б), которая, расширяясь по мере движения, при подходе к ограничителю занимает относительно него симметричное положение. При дальнейшем движении струна огибает ограничитель, образуя в финальной позиции (рис. 4, в) острые зубцы по обе стороны от ограничителя.
Два точечных ограничителя. Серия экспериментов, проведенных с системой, содержащей два точечных ограничителя, выявила аналогичное поведение волновых процессов. Фотографии на рис. 5 иллюстрируют трансформацию профиля волны в различных фазах движения струны, взаимодействующей с двумя точечными ограничителями, несимметрично расположенными на расстояниях 22 и 14 см от точек заделки струны.
a
/1 /о /2 /3 /
Рис. 6
И в этом случае при движении в пределах зазора жгут изменяет свою форму от треугольной в начальном положении (рис. 5, а) до трапециевидной с возрастающей по мере движения длиной малого основания (рис. 5, б). Как и ранее, после достижения ограничителей струна огибает их, и образуются характерные острые зубцы
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.