ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2014, том 54, № 1, с. 114-125
УДК 519.634
КАТЯЩИЕСЯ ВОЛНЫ В КОЛЬЦЕВОМ КАНАЛЕ
© 2014 г. М. А. Истомина*, Е. В. Юшков**
(*125047Москва, Миусская пл. 4а, ИПМ РАН;
**119992Москва, Ленинские горы, МГУ, физ. ф-т) e-mail: m_ist@mail.ru;yushkov.msu@mail.ru Поступила в редакцию 01.08.2013 г.
Целью работы является аналитическое построение периодических ветровых возмущений в кольцевом канале, численно получаемых при счете модели с регуляризацией. С помощью техники Р. Дресслера в приближении мелкой воды доказано отсутствие гладких периодических решений и построены разрывные решения, родственные катящимся волнам на наклонных поверхностях. Получены ограничения на разгоняющие и тормозящие силы, при которых могут существовать периодические решения. Проведен численный анализ задачи и представлено качественное сравнение численных результатов с теоретическими. Библ. 20. Фиг. 7.
Ключевые слова: кольцевой канал, система уравнений мелкой воды, одиночные волны, регуляризация модели, существование периодических решений.
Б01: 10.7868/80044466914010086
1. ВВЕДЕНИЕ
В 60-х годах прошлого века в Московском гидрофизическом институте под руководством В.В. Шулейкина был построен один из самых больших кольцевых штормовых бассейнов, в котором волны, разгоняясь потоками воздуха, двигались, не встречая препятствий на своем пути. Основной целью строительства этого бассейна являлось изучение волновых процессов, происходящих в условиях открытого моря, среди которых немалый интерес представляли уединенные волны — солитоны (см. [1], [2]).
Механизм образования таких волн до сих пор остается неясным, хотя современные эксперименты позволяют не только зафиксировать сам процесс формирования, но и получить условия возникновения уединенных волн — ограничение на глубину канала, силу ветра, скорость и размеры солитона (см. [3]—[5]).
В большинстве случаев кольцевые каналы строятся так, что их длина существенно превышает и ширину, и глубину жидкости. При таких условиях разумным является приближение мелкой воды для плоского одномерного течения, в котором процесс образования волн с учетом силы ветра и трения жидкости о стенки канала описывается системой двух уравнений (см. [5]):
Н, + (Ни)х = 0, (1)
(Ни), + (Ни2)х + gННx = /Н - ци|и| (2)
и периодическими граничными условиями.
Здесь высота несжимаемой жидкости и ее скорость характеризуются неизвестными функциями Н(х, 1) и и(х, 1), параметр / задает ветровую силу, действующую на поверхность, а параметр ц — трение жидкости о стенки и дно канала — силу сопротивления. Приближение мелкой воды хорошо изучено и численно, и аналитически; вопросы строгого обоснования модели, однозначности и разрешимости можно найти, например, в [2], [6]—[8]. В частности, для численного анализа разработан метод регуляризации, который позволил получить решение системы (1), (2) в виде одиночного горба, бегущего с постоянной скоростью в кольцевом канале. При сравнении с результатами эксперимента, подобные волны были интерпретированы как одиночные и названы соли-тонами (см. [5]).
Цель настоящей работы — показать, что наблюдаемые в кольцевых каналах солитоны являются не уединенными, а периодическими волнами, с длиной X, равной длине канала. Используя технику Р. Дресслера, мы аналитически построим решение системы (1), (2) и сравним его с результатом вычислительного эксперимента. Полученное совпадение будет являться аргументом в пользу правильности теории, корректности и эффективности регуляризованной модели. Кроме того, мы получим ограничение на силу ветра и трение о стенки, при которых образование такой волны возможно. Отдельно рассмотрим вопрос о формировании нескольких симметричных волн в кольцевом канале и их устойчивости.
2. РЕШЕНИЕ В ВИДЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ
Для удобства преобразуем исходную систему (1), (2). Умножим уравнение (1) на u(x, t), вычтем из (2) и поделим результат на h(x, t). Получим квазигиперболическую систему уравнений
к, + (hu)x = 0, ut + (uu)x + ghx = f-ц ф!. (3)
h
Будем искать решение системы (3) в виде бегущих волн:
u(x, t) = U(x - Ct) = U(%), h(x, t) = H(x - Ct) = H(%). (4)
Разумно сделать предположение, что если изменится скорость жидкости относительно стенок канала, то должна измениться и сила сопротивления. В частности, при равенстве относительной скорости нулю сила сопротивления стенок отсутствует. Таким образом, мы не можем перейти в систему отсчета, движущуюся с постоянной скоростью и рассматривать бегущие волны как установившийся поток, что было сделано в [9]. Вместо этого подставив (4) в уравнение (3), получим
HU + ( U- C)H = 0, ( U- C) U + gH = f-цUU. (5)
H
Разрешая систему (5) относительно первых производных, приходим к уравнениям
U = (U - C) (f - ц U U / H), ( U - C )2 - gH
(6)
H = H(f - vUU / H) (7)
( U - C )2 - gH '
Деля одно уравнение на другое, получаем дифференциальное выражение
dH = H
dU C- U
которое после интегрирования запишется через константу K в виде
(C- U)H = K = const. (8)
Подставляя теперь (10) в (11), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение, определяющее профиль бегущей волны:
dH = fH - ц(CH- K) | CH- K (9)
d % K - gH3 '
Это уравнение, получившее в литературе имя Чайзи (Chezy equation), хорошо изучено. Оно было точно проинтегрировано для всех возможных случаев (см., например, [9], [11]). Известно 60 типов его решений, однако среди них нет ни одного всюду непрерывного периодического, кроме, естественно, стационарного решения.
Нашей ближайшей задачей будет сконструировать разрывные периодические решения уравнения (9) в виде катящихся волн в кольцевом канале, не противоречащие ударным условиям на разрыве, по аналогии с волнами на наклонных плоскостях (см. [1], [7], [8], [11]).
3. РАЗРЫВНОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
Любые разрывы, возникающие в жидкости, принято называть ударными волнами, хотя сам термин исходно использовался для разрывов сжимаемых газовых потоков. Кроме того, для разрывных решений можно встретить название бора или гидравлический прыжок. В случае горизонтальных каналов при отсутствии сил сопротивления требования, которым должна удовлетворять жидкость на границе гидравлического прыжка, можно найти во многих книгах по гидродинамике (см., например, [12], [13]). Однако нам понадобятся ударные условия при учете сил сопротивления.
Рассмотрим в точке х = £,(?) разрыв, движущийся с течением времени. Будем обозначать нижним индексом — и + значения функций, взятых слева и справа от разрыва соответственно. Запишем законы изменения массы и импульса для жидкости между двумя плоскостями а_(1) и а+(1), проведенными с двух сторон от точки х = £,(?):
й
|р Нйх = 0, (10)
йг
а_
Н(а_, г) Н(а+, г)
й
|рНийх = | р_йу - | Р+йу - ИР Ц^йхйу, (11)
а
черезр_ ир+ обозначено давление, соответственно, слева от разрыва и справа. Предполагая, что скорость и(х, 1) нигде не обращается в бесконечность, мы можем записать еще одно условие, вытекающее из закона изменения энергии:
а+ Н(а+, г) Н(а_, г) На+
|(рНи2 + gpН2)йх + | Р+и+йу - | р_и_йу + ИрЦ^-йхйу. (12)
йЕ = 1 й-йг 2 йг.
а_ 0 0 0 а_
Очевидно, что для любого выражения вида (см., например, [14])
а+(г)
I = | Ч(х, г) йх,
а_ (г)
в котором интегрируемая функция ¥(х, 1) терпит разрыв в точке х = £,(х), производную по времени можно записать следующим образом:
а+
йЦ = | Щйх + г )£,' - ¥( а_, г) и-) - т а+, г) и+ - ¥(£+, г )£,'), (13)
а_
здесь штрих обозначает производную по времени, а_ = и_, а+ = и+. Тогда, вводя замену v+ = и+ _ £,', v_ = и_ _ и полагая а_ —»- а+, из (13) получаем предельное равенство
Нш — = ¥+- , (14)
а_ ^ а+ йг
которое позволяет нам легко перейти к пределу в равенствах (10), (11) и (12):
р+ v+ = = М, р = рН, (15)
_ _ _ 1 2
М(v+ - V-) = р_ -р+, р = 2gpН , (16)
йЕ 1-2 1-2 _ _ _ _ „ иш — = - р+и+ v+ — р_и_ v_ + р+ v+ -p_v_ + р+ и+ -р_и_ < 0. (17)
йг 2 2
а
+
Н а +
а
+
2
0
0
0
а
Сравнивая полученные условия (14)—(17) с условиями при отсутствии сил сопротивления, можно заметить, что сопротивление не вносит никаких изменений, а следовательно, справедлива запись Рэлея (см., [15]) для баланса энергии (17) в случае горизонтальных каналов:
limdE _ ЖЁ^М3 < 0. (18)
dt р 4р_р+
Из неравенства Рэлея (18) можно сделать вывод, что частицы, преодолевая разрыв (р_ Ф р+ ), теряют свою энергию, а следовательно, переходят из области с меньшей глубиной в область с большей глубиной. Далее мы предполагаем для определенности, что ветер дует направо. Будем искать бегущие направо волны, скорость которых больше, чем скорость жидких частиц, другими словами, будем полагать, что в системе отсчета, связанной с бегущей волной, все жидкие частицы двигаются налево, при этом в области с большей глубиной они двигаются с "докритической" скоростью v < Jgh (subcritical), а в области с меньшей глубиной — с "суперкритической" скоростью
v > Jgh (supercritical). Сделанное предположение является традиционным и его обоснованность подробно описана, например, в [9]—[11].
Итак, построим периодическое возмущение с разрывом, двигающееся со скоростью C = const, непрерывное в критической точке. Если мы обозначим высоту волны в критической точке через H0,
то относительную скорость можно записать в виде v0 = C — U0 = JgHo. Тогда из формулы (9) следует, что профиль волны:
3 2
d_H _ fH - ц( CH- K)2 , (19)
d % h\ ( U - C)2 - gH)
становится вертикальным в критической точке, если числитель дроби в правой части (19) не за-нуляется. Предположим для начала, что в каждой критической точке, в которой
K2
( Uo - C)2 - gHo _ K - gHo _ 0, (20)
Ho
числитель (19) не обращается в нуль:
, ( CHo - K)2
f- Ц--o——L Ф o,
Ho3
а следовательно, обращается в бесконечность производная dH/d%. Тогда можно сделать единственно физически осмысленный вывод, что в критической точке находится перегиб: d2%/dH2 = 0. Дифференцируя d%/dH по H, получаем
_ H( 2K2/H3 + g) + ( K/H2 - gH)(f - 2 ц K(CH - K) / II ). (21)
dH2 H2 (f - ц( CH - K)2/H3) H2 (f - ц( CH - K)2/H3 )2
В критической точке (20) только последнее слагаемое выражения (21) обращается в нуль. Таким образом, d 2%/dH2 Ф 0, а следов
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.