ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 2, 2013
УДК 621.01
© 2013 г. Косболов С.Б., Танжарикова Г.П., Рахматуллина А.Б.
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ШЕСТИЗВЕННЫХ ПЕРЕМЕЩАЮЩИХ МЕХАНИЗМОВ НА ОСНОВЕ ИСХОДНЫХ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Представлено решение задачи синтеза пространственной исходной кинематической цепи со сферическими и вращательными кинематическими парами. Показана возможность использования этой цепи в качестве структурного модуля при структурно-кинематическом синтезе пространственных шестизвенных перемещающих рычажных механизмов по заданным положениям входного и выходного звеньев.
В работах [1, 2] показано, что в качестве структурного модуля при структурно-кинематическом синтезе плоских рычажных механизмов можно использовать четырех-звенные исходные кинематические цепи. Такой подход к синтезу плоских механизмов позволяет свести задачу их структурно-кинематического синтеза к решению задачи синтеза исходных кинематических цепей, что очень удобно для автоматизации проектирования механизмов. В настоящей статье показано, что этот подход можно распространить на задачу структурно-кинематического синтеза пространственных рычажных механизмов.
Рассмотрим решение задачи синтеза пространственной исходной кинематической цепи типа ВСС (В — вращательная, С — сферическая кинематические пары) и ее использование в качестве структурного модуля при структурно-кинематическом синтезе пространственных рычажных механизмов по заданным положениям входного и выходного звеньев. Метод синтеза исходной кинематической цепи типа ВСС основан на введении двух подвижных тел, неизменно связанных с входным и выходным звеньями [3].
Постановка задачи. Пусть заданы N конечноудаленных положений двух твердых
тел а, и а,(хА, уА, жА, е1, у1, Ф1), о2(х^, га, е2, у2, Ф2) (/ = 1,1), где е\, ^,
ф^ — эйлеровы углы относительно неподвижной системы координат ОХХУ2.
Требуется найти в неподвижной системе координат такие точки А (ХА, УА, 2А), В(хВ, уВ, zB) тела и С(хС, уС, zC) тела 02, чтобы расстояние между точками В и С во всех положениях тел и 02 мало отличалось от некоторой постоянной величины Я (рис. 1) [5].
Решение задачи. Введем взвешенную разность для /-го положения тел 01 и 02
I-Н2 2 2 2 2 2
Д?1 = \Б£\ - Я2 = (Хс, - Хв)2 + (Гс. - Ув) + (2С1 - 2В)2 - Я2. (1)
Рис. 1. Исходная кинематическая цепь типа ВСС
Величина Д является функцией десяти параметров ХА, УА, 2А, хВ, уВ, 1В, Я, хС, уС, zC■
Группируя эти параметры по четыре с общим параметром Я, представим взвешенную разность в трех различных формах
Д^ = (ХА1 -ХА)2 + (Ь - УА)2 + (- ^)2 - я2,
Д
я, (2)
(хв.- хв) + (Ув.- Ув) + О-в.- %в) - я ,
ДЯ3) = (хс,.- хс)2 + (ус,- Ус) 2 + Ос,.- %с)2 -
(2)
(3)
(4)
где
ха,
'¥А,
^А, 1
0 0 0
0 0 0 1
[ ^10
хв хс
Ув + [ Т20 ] Гв, Ус
¿в ¿с
_1_ 0 0 0 1_ _1_
хв, 0 - ХА
Ув, — [ Т01 ] 0 -
\в,. 0
_1_ 0 0 0 1 _ 1 _
[
0 0
0 0 0 0 1
(5)
хс 0 ХА - 0 хв
Ус, — - [ Т02 ] 0 ^А - . + [ Т12 ] 0 Ув
¿с, 0 0 ¿в
_1_ 0 0 0 1 _ 1 _ 0 0 0 1 _1_
[ К ] - матрица перехода от к-й системы координат к у-й системе
Т т01 — [ Т10 ] • т02 - [ т20] Т • Т - • Т 21 - т01 х т20 • т12 - т02 х т10 , —
х
+
Для звеньев i и j вращательной пары ось OjZj направим по оси этой пары, кратчайшее расстояние li между осями OjZj и Oizi совместим с осью Oixi, а начало координат Oj поместим на расстоянии j от оси Oixi. Тогда угол нутации 9j7 = const, угол прецессии = 0, и с учетом принятых обозначений из (5) получаем матрицу вращательной пары
T ti-
cos ф; cos 9j¡sin фу7 sin Qj¡ sin фу7 0
- sin фj¡ cos 9j¡ cos фj¡ sin 9j7 cos фу7 0
0
- sin 9;
j
cos 9j¡ 0
Ya
1
где XA = l¡; Ya = —jsin 9yí; ZA = lji cos 9jt.
Необходимые условия минимума суммы квадратов взвешенной разности
N
S =
= I
А
q¡
¡ = i
можно записать в виде следующей системы уравнений:
= 0;
ds 0, ds 0, d s ■■ 0, ds
dx¡ = dY¡ = dzA = dR
ds = 0, ds = 0, ds = 0, d s
дхБ dzB dR
ds = 0, ds = 0, ds = 0, ds
дхс d Ус dZc dR
(6)
(7)
(8) (9)
Из (7) с учетом (2) и (6) получим
NN
I Aii>(Xa¡, - XA) = 0, I аЦ)( YA¡ - Ya) = 0, I A^(Z¡¡ - Z¡) = 0,
NNN
^ i)( V >¡Pa (i) (V >¡PA (i)
¡ = i ¡ = i ¡ = i N
(10)
I
¡ = i
а;> = 0.
Допустим, что Я Ф 0. Тогда из последнего равенства системы (10) следует, что
X ^ = 0.
(11)
¡ = i
С учетом (11) система уравнений (10) принимает вид
N
N
N
N
I А^ = 0, IА^ Ya¡ = 0, I = 0, I
лi)
(i) v
Ai1' = 0.
(12)
¡ = i
¡ = i
¡ = i
¡ = i
Д1)
Подставляя выражения для А из (2) в систему (12), получим
A
2
N
£\ХАХа + ХаТаТа + ¿аХа^а + 1 (Я2 - ХА - УА - ¿А )Ха,
г- 1
N
N
(ХА, + ТА, + ¿А,) Ха,
i- 1
^ха ТаХа + та,та + %а,Уа%а + \(я -ха - та - ¿а)Та,
i- 1
- 1 £ (Ха, + ТА, + ¿а) Та,,
г- 1
£ [ХаХаХа + ТаХаТ Та + -а¿а + 1 (Я2 - хА - ТА - ¿А)¿А,.
N
- 1 £ (ХА , + Та, + ¿А)) ¿А,.,
N
г - 1
(13)
г-1
N
£[ХаХа + ТаТа + ¿а-а + - (я2 - ха - та - ¿а)"
1- 1
N
1 £ ( Ха , + ТА, + ¿А,) ■
1- 1
12222
Система (13) линейна относительно переменныхХА, УА, 2А и Н1 = - (Я — ХА — УА — ¿А), поэтому ее можно записать в виде
N
N
N
N
£ хА, £ Ха.Уа , £ ХаТ-а1 £
1-1 1-1 N N
АуА, £ ХАХА,
1 1 N N
'Ха
£ Ха Та 1 £ Та, £ Ь-а, £ха
ха уа
-1 N
£ хахА,
1
N
г-1 г - 1
N N
£УаХа,
г- 1
N
г- 1 N
£ Ха, £
Уа
А,
£ХА £Ха
1
pN
г- 1 г-1
где ЯА . = Ха 1 + Та , + -¿А,
г-1 г- 1
N
£ ¿А,
- 1
N
£ ЯА Ха,
-1 N
£
г- 1 N
£
-1 N
£
ЯаУа,
ЯАХА,
Я
'А,
г - 1
(14)
хА, + "Та . + ¿А, ■
Решение этой системы по правилу Крамера имеет вид (при Ф 0)
(ха, уа, ¿а, н) - ± (%а, %а, ) ■
А
А
А
Аналогично из (8) с учетом (3) и (6) получим систему линейных уравнений относительно неизвестных хв, ув, zв, Н2:
N
N
N
N
XХв' 'Х1ХвУв> Xxв,■zв¡■ Xхв,
< -1 г -1 г -1 г -1
N N N N
XХУв?-в1 Xyв■
-1 -1 -1 -1
N N N N
X Хв?в 1 X ув?в,, X ^ В X ^ -1 -1 N N
XZ'в,■ X ^
-1 N
Xх
-1
-1
-1
-1
N
N
X
(■= 1
N
Кв, хв<
X ^ ув.
, = 1 N
X ^в,
= 1 N
X
,■= 1
К
(15)
Решая систему (15) по правилу Крамера, получим (при Б2 Ф 0) (Хв, у в, 1В, Н) = О (Ох, 0Ув, ^ ).
Из (9) с учетом (4) и (6) получим систему линейных уравнений относительно неизвестных хс, ус, zC, Н3
N
¡- 1 N
N
N
N
XХс1 XXХс^ XХс1
1 1 1 1
N N N N
X *сус X ~уС, Xyс~zс¡ X ус,
-1 -1 -1 -1
N N N N
XХс~Zс¡ X^с¡■zс¡■ X^ X^ -1 -1 N N
X ^ Xzс,
-1
N
Г- 1 i- 1 г-1
Отсюда находим хС, уС, zC, Н3 (при Б3 Ф 0)
(Хс, Ус, гс, Нз) = -¡- ( й Оус, Огс, Онз).
N
X
=1 N
X З^с
(■ = 1 N
X
= 1 N
X
(■ = 1
К
(16)
Исключая первые четыре неизвестных ХА, УА, 2А, Я на основе формулы (12), можно свести систему (7)—(9) к системе из шести уравнений с шестью неизвестными хв, ув, гв, хС, уС, zC, которую удобно представить в виде
X4
(1)
1 = 1 N
X
1 = 1
А
(1) дА
в
(2)
X
дг
= °,
в
n яд( 3) (1)да
¡ = 1
с
1
N „.( 3)
°, X
N дА(2)
,(1) дАя,
1 = 1
" дув
яд(3)
°, X а^1' дА- = °,
= 1
" дус
(17)
X а!1' дА-- = °.
= 1
" дгс
Х
в
2
Х
с
3
Рис. 2. Исходная кинематическая цепь типа ВС (а), СС (б), ВС (в).
Решение системы (17) представляет трудоемкую задачу, для решения которой целесообразно применять следующий эффективный алгоритм поиска минимума функции
1. Задаемся произвольно начальными точками В(0) е Q1, С*0) е 02.
2. Решаем систему линейных уравнений (14) и определяем хА?, ^, £ 1>, я!1'.
3. Задаемся точками А(1) е Q, С*0) е Q2.
4. Решаем систему уравнений (15) и определяем х^ , у^ , , я2^.
5. Задаемся точками А(1) е Q, В(1) е Q1.
6. Решаем систему уравнений (16) и определяем х^, у^', гС1^,
7. Далее циклически повторяем шаги 1—6, заменяя начальные точки В(0) и С(0) на найденные В(1) и С(1).
Применяя алгоритм, получим убывающую последовательность значений целевой , е(1) е(1) е(1) е(2) е(2) „(2)
функции Л1 , Л2 , Л3 , Л1 , Л2 , Л3 , ..., имеющую предел, равный значению функции ^ в точке локального минимума. В результате решения задачи определяются такие точки А (ХА, УА, в неподвижной системе координат, В(0) е Q1, С(0) е Q2, что, совмещая с ними звено ВС, получаем искомую исходную кинематическую цепь в виде разомкнутой цепи АВСВ.
Задавая в различных комбинациях часть искомых параметров синтеза, получим различные модификации исходной кинематической цепи.
1. Если заданы координаты точки А (Хл , Ул , ХА ) и эйлеровы углы 9\ , у\ , ф\
тела Q1 и координаты точки В1 (Хв , Ув , Хв ) и эйлеровы углы 9\ , у\ , ф\ тела Q2, то
получим трехзвенную открытую цепь АВСВ (рис. 2, а) [4].
Необходимые условия минимума суммы в данном случае принимают вид
д ^
— = 0, где ] = хв, Ув, гв, Я, хс, Уо гс д]
и для нахождения минимума ^ можно использовать приведенный алгоритм, учитывая, что параметры ХА, УА, ^ заданы.
Если точки А (ХА, УА, 2А) и В (Хв, Ув, 2В) фиксированы, то в результате синтеза исходной кинематической цепи получим пространственный четырехзвенник АВСВ.
2. Пусть заданы координаты хС = уС = гС = 0 точки С е Q2, координаты Хв , Ув , 2В
точки В тела Q2 и углы Эйлера 9\ , у \ , ф\ тела Q1, а искомыми параметрами являются ХА, У а, 2а, я, Хв, Ув, гв (рис. 2, б) [6].
Необходимые условия минимума суммы S принимают вид:
d S
— = 0, где j = ХА, Ya, Za, R, хв, yB, Zb .
dj
Для нахождения минимума функции S можно опять использовать приведенный алгоритм, учитывая, что xC = yC = zC = 0.
3. Пусть заданы координаты xB = yB = = zB = 0 точки B тела Ql и эйлеровы углы 2 2 2
9(- , , фг тела Q2. Исходная задача сводится к определению сферы наименее удаленной от N положений фиксированной точки C тела Q2 (рис. 2, в) [5]. Необходимые условия минимума суммы S
dS
— = ° где j = xA, YA, ZA, r, хО Уо ZC.
dj
Используя приведенный алгоритм синтеза, можно получить показанные на рис. 2 различные модификации исходной кинематической цепи с вращательными парами.
Таким образом, решена задача синтеза исходных кинематических цепей с вращательными кинематическими парами и их модификации, которые можно использовать как модули структурно-кинематического синтеза пространственных рычажных механизмов по заданным положениям входного и выходного звеньев.
Рассмотрим синтез перемещающих шестизвенных механизмов по заданным положениям входного
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.