Письма в ЖЭТФ, том 88, вып. 11, с. 767-772
© 2008 г. 10 декабря
Кинетические коэффициенты в модели Хаббарда
Р. О. Зайцев^
Российский научный центр "Курчатовский Институт", 123182 Москва, Россия
Поступила в редакцию 18 июня 2008 г.
После переработки 21 октября 2008 г.
Изучаются свойства электронной системы с предельно сильным электрон-электронным взаимодействием. Получено кинетическое уравнение в представлении Келдыша-Миллса. В интеграле столкновений обнаружено новое слагаемое, обусловленное релаксацией концевых множителей, которое обращается в нуль в низкотемпературном пределе по закону Т2/1£|, где |£| - величина порядка интеграла перескока к ближайшим соседям, Т - температура. Вычислена скорость звука и произведена оценка температурной зависимости кинетических коэффициентов.
РАСЯ: 71.10.Ау, 71.10.Fd, 71.10.Hf
Основные постулаты, на которых основаны кинетические уравнения Ландау-Силина [1,2], фактически сводятся к предположению о существовании слабозатухающих и слабовзаимодействующих квазичастиц, подчиняющихся статистике Ферми. При этом основные ферми-жидкостные эффекты были рассчитаны на основе дополнительного предположения о существовании взаимно-однозначной связи между частичными и квазичастичными состояниями. В модели Хаббарда это соответствие заведомо отсутствует, поскольку уже в нулевом приближении возникают перестановочные соотношения, отличающиеся от известных антикоммутационных соотношений, относящихся к идеальному газу квазичастиц.
Последовательное изучение модели Хаббарда показывает, что в области достаточно низких температур удается получить полюсную функцию Грина £?ш(р), найти спектр возбуждений, а также обнаружить остаточное (кинематическое) взаимодействие, приводящее к слабому затуханию соответствующих возбуждений. Перестановочные соотношения, соответствующие Х-операторам Хаббарда, приводят к возникновению новых физических величин /12, определяющих средние числа заполнения, связанные с наличием нефермижидкостных перестановочных соотношений. Используя эти соображения, удается рассмотреть все явления, связанные с наличием взаимодействия в модели Хаббарда, и сравнить их с классическими результатами теории Ландау.
Предположим, что энергия Хаббарда является наибольшим энергетическим параметром, а среднее число частиц п, приходящееся на одну ячейку, не превышает единицу. При этом достаточно рассмот-
реть переходы внутри нижней подзоны Хаббарда, а гамильтониан системы имеет следующий вид:
£
(1)
где Х-операторы Хаббарда, относящиеся к разным ячейкам, антикоммутируют, а в совпадающих ячейках подчиняются неканоническим перестановочным соотношениям:
|1<Т1'°, Х^-'0} = |1°'<Т1Д°'<Т-} = 0.
(2)
Однопетлевыые поправки, происходящие от собственно-энергетической части, сводятся к сдвигу химического потенциала, а также к переопределению интеграла перескока 1Р = ^ ¿(г)ехр(^грг). По этой
г
причине рассмотрим сразу двухпетлевые поправки к концевым множителям, изображенные на рисунке.
1'е-таП: Zaitsev_rogdai0mail.ru
Прямая и обращенная концевые диаграммы, относящиеся к функции Грина
Г1 ,Г2,СГ
Для оценки времени релаксации концевых множителей запишем двухпетлевую поправку Ъ = СК^ в двухкомпонентном представлении Келдыша [3]:
/
С =
с--(р) =
из ^ + i5 из — — 18
\
СУ+-(р) = -2тг»(1-п1,Жа;-е1,), С++(Р)= Пр
из — + из — — (5 /
К^ЧР) = /Е (рз)
(3)
-Р + (4)
Здесь £_(р) = ^£+(р) = , 6 —¥ 0+, а греческие индексы а и ¡3 могут принимать два значения: — или +.
Производя интегрирование по внутренним частотам а>з и а>4, находим четыре компоненты концевых множителей [4]:
К--(р) = /£ 4(рз)
^(Р,РЗ,Р4)
ш + С,
Р2 Чрз Ч>.|
i5
-В(Р,РЗ,Р4)
¡5
Ш + Ср2 - Срз _ СР4
к-+(р) =
= /2тгг ^ *(РЗ)-В(Р,РЗ,Р4Ж^ + СР2 - СРз - СР4)5
РЗ,Р4
= /2тгг ^ ¿(рз),4(р,рз,р4)5(ш + СР2 - £Рз - СР4)5
^(Р,РЗ,Р4)
РЗ,Р4
к£+(р) = / Е *(рз)
РЗ,Р4
ш + С,
Р2 ЧРЗ ЧР4
г5
-В(Р,РЗ,Р4)
г5
(5)
Ш + Ср2 - Срз _ СР4
^(Р,РЗ,Р4) = ПР2(1 - Прз)(1 - ПР4) И В(р,р3,р4) = = (1^пр2)прзпр4, рг = рз + Р4 — р. Можно заметить, что между различными компонентами имеется соотношение К~~(р) - К++(р) = К~+(р) - К+-(р).
Далее вычислим поправки к недиагональным гри-новским функциям:
о-+(р) = Е СЛр)^+(р) /з=±
^-(р) = Е о+Лр)К%-{Р). р=±
Непосредственные вычисления с помощью (4) и (5) дают:
^(Р,РЗ,Р4)
= —г/(1 — пр) ^ *(Рз)
Ср + С,
Р 1 ЧР2 Чрз ЧР4
г5
-В(Р,РЗ,Р4)
Ср "I" Срг Срз Ср4 '
I С^+(р)К+-(р)
Лиз
27Г
= г/% Е *(рз)
РЗ,Р4
^(Р,РЗ,Р4)
Ср "I" Срг Срз Ср4 '
+»/(1-п„) Е *(Рз)
^(Р,РЗ,Р4)
Ср + С,
РЗ,Р4
Р2 = ^Р + РЗ + Р4
Р 1 Ч>2 чрз ЧР4
15
I С-+(р)К++(р) = г(р3)
РЗ,Р4
Лиз
27Г ~ ^(Р,РЗ,Р4)
Ср + С,
Р 1 ЧР2 Чрз Ч>4
г5
-В(Р,РЗ,Р4)
Ср Срг Срз Ср4 "I" >Л<*
I С--(р)К-+(р)^- =
= -г/Пр Е *(Рз)
РЗ,Р4
-г/(1 -пр) Е *(Рз)
-В(Р,РЗ,Р4)
Ср Срг Срз Ср4 "I" ^
В(р,Рз,РА)
Ср + Ср
РЗ,Р4
Р2 = ^Р + РЗ + Р4 Отсюда следует, что
Лиз 2ж =
р "Г" чрг Срз Ср4
¡5
(6)
/ Щ+(Р)' = I [,0-+(р)К++(р) + С--(р)К-+(р
= г/ Е *(Рз){%^(Р5Рз,Р4)^
РЗ,Р4
-(1 ^пр)Б(р,р3,р4)}
Ср Срг Срз Ср4 ^
Лиз
/ ^"(Р)-
I [С^-(р)К-+(р) + С^(р)К+-(р)]
= г/ Е *(Рз){%^(Р5Рз,Р4)^
(¿и; 27Г
РЗ,Р4
п
п
р
р
-(1 ^пр)Б(р,р3,р4)}
Ср + С,
Р ^ ЧР2 Чрз ЧР4
¡8
(7)
Таким образом, § Ош + (р)йи) = /-О^ (р)Лиз, а действительная часть (7) имеет вид интеграла столкновений, который обращается в нуль при подстановке пк -Л Пр(^к):
= 7Г/ £ ЩРЗ)Х
РЗ,Р4
+ Срг - £Р, - £Р4Жр + Рг - Рз - р 1) •
х[^Пг,Пр2(1^Пр3)(1^Пр4) + (1^Пг,)(1^Пр2)Пр3Пр4]}.
(8)
Скорость релаксации фактически определяется первым слагаемым правой части, куда следует подставить равновесную функцию распределения Ферми
¡^п = 7Г¡Пр(£р) У] ^(Ш + СРЗ+Р4
-Р 4>г. ЧР4
СР4)Х
Срз + Ср4
X
Рз ^ ЧР4
ш)ехр(-
Т
(9)
При низкой температуре мы можем проинтегрировать по быстро меняющимся величинам ехр(£Рз/Т) и ехр(£Р4/Т) . Введем переменные л £р.. — £Р4, г = £Р4 — £Рз и сначала проинтегрируем по г:
/
пр(£Рз)пР(^)(1г =
2в
(10)
ехр(в/Т) - 1'
Далее предположим, что интегрирование ¿-функции не вносит существенных ограничений при интегрировании по переменной 8, после чего интегрируем по е. Замечая, что амплитуда рассеяния £Рз + £Р4 = = (в + 2/х)//, получим:
&11 (р) = (1 - пр(£р)) х
х (Зм + ш) (ш2 + (тгТ)2) 5(ш + Ср3+р4 -Р ^РЗ Ср4/5
(П)
где щ = Х^^(Ср) плотность состояний на уровне р
Ферми, а черта обозначает усреднение по углам между векторами рз^ и р.
Написание кинетического уравнения начнем с помощью вычисления двухкомпонентной гриновской функции Ь, относящейся к верхней и нижней частям контура Келдыша, которая есть произведение обычной функции Грина С на матрицу концевых множителей К. Учитывая, что обыкновенная функция
Грина удовлетворяет уравнению Дайсона, выразим исходную функцию Грина через собственноэнергети-ческую функцию Е:
~ / в— в-+ \ ~ ~
в = { м ) =СК =
= &0К + доШК = &0К + <?0Е1>. (12)
Далее запишем также сопряженную систему уравнений:
Ь ко к с о - кс±с0 ка о - п±а0, (13)
где К - матрица левых концевых множителей, которая возникает при вычислении полной функции Грина, взятой справа налево (см. рисунок (Ь)). При этом ее матричные элементы выражаются через матричные элементы (5) с помощью следующих соотношений:
к--(р) = к--(Р), к-+(р) = -к-+(Р),
к+-(Р) = -к+-(Р), К++(р) = К++(р).
(13а)
Уравнение (12) переписываем с помощью обратной гриновской функции нулевого приближения (Ом)-1, Ддя которой (С01)-1(?о(1,2) = т2:5(х1 - ж2):
(С01
| %Ь
-гЬ = \ Ж^- - ЯоНйУьп) 1Ъ =
= т-К + т;ЕО.
(14)
Аналогичным образом преобразуем уравнение (13) с помощью обратной гриновской функции (£?ог)
для
которой ((?ог) <?о(1, 2) = тгё(Х\ - ж2):
д
(с,
02/
в =
Ж-^- -Я0(»ЙУ2,г2) =
= КТх + ОЕТ;
(15)
Кинетическое уравнение получим после вычитания (15) из (14):
, д д \ Ш— + Ж— -Я0(-гЙУьГ1) +Я0(ШУ2,г2)|-О =
= Т'К - Кт, + т2Ш - ОЕг;.
(16)
С учетом соотношений (13) можно обнаружить, что тгк — Ктг = 0 и, таким образом, в нашем двухпет-левом приближении концевые множители явным образом не входят в кинетическое уравнение (16).
Учитывая свойства матрицы Паули тг, а также соотношения
В+++В— = В-++В+-, Е+++ХГ" =
(17)
получим уравнения для недиагональных компонент:
уравнение состояния. При этом концевой множитель / выражается через плотность п, которая, в свою очередь, связана с химическим потенциалом ц через уравнение состояния:
= 2/^n(p,r,t), / = 1
п 2'
(22)
Ш
du
~ H(ri,ti) + H*(r2,t2) ) D-+ =
Ш
du
ih
= ХГ
d_
dt2 '
= ХГ
+В+- - Е+-£>-+, (18а)
Я(Г1,^) + Я*(г2,42)) В+- =
+В+- - (18Ь)
В результате подстановки В ^ = тр/5(ш — £р), Вн = —г( 1 — пр)/5(ш — £р) и дальнейшего интегрирования по из, левая часть преобразуется к оператору Луивилля Ь, в то время как правая часть - к оператору столкновений
Вычисление кинетических коэффициентов производим с помощью кинетических уравнений, где в качестве нулевого приближения используется локально-равновесная функция распределения, равная произведению концевого множителя на функцию распределения Ферми пр(^):
ф = /(г, t)nF(f(г, t)tp - ß(r, t) + pV(r, t)), (23)
где V(r,i)— средняя скорость, которую после вычисления всех пространственных и временных производных будем считать равной нулю.
С учетом последнего замечания вычисляем производные, входящие в кинетическое уравнение:
дф Of
~dt = mnp{0
fdf дпР(Оф ; dt dt р
(19b)
-/
дцдпр(() дпр(()
где
St2 =
£ {w(p>pi|p'>p'i)'
[-ПРПР1(1 -np')(l -пР1') + (1 -Пр)(1 -ПР1)ПР'ПР1']
-/
dt
d±=df_ дгс_ dß
dt
f[pß
dt J'
* df дпр(£)
dnF(£)
dra
хЦ£р + Си - -С^Жр + Pi -p' - p'i)}
2
M>(p,pllp',p'l) = [i(p') + i(p'l)]
дф dpa
flPß
= f
9Vß\.
ÖC JVPdrJ> 2 дпр(^) dtp
de, dpa
(24a)
(24b)
(24c)
(20)
df
Таким образом, первое из уравнений (19) соответствует обычному кинетическому уравнению для функции ф = fпр, а их сумма дает бесстолкнови-тельное уравнение для функции /:
де _ dtp де _ ^
дра дра дга рдга
Подставляя эти выражения в левую сторону кинетического уравнения (19а), получим:
0/ , fdf дпр(£)
-dtnp(0 + fdt^rF
df , dip df dip df dt
9p dr dr dp
(21)
-/
dßdnp(i) dnp(i)
dt de
d£
flPß
dt )
Уравнения (19)-(21) определяют систему кинетических уравнений, записанных в двухпетлевом приближ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.