ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2009, том 43, № 3, с. 329-336
УДК 533.6
КОАЛЕСЦЕНЦИЯ И ДРОБЛЕНИЕ КАПЕЛЬ В ИЗОТРОПНОМ ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ
© 2009 г. Г. И. Келбалиев, 3. И. Ибрагимов
Институт химических проблем Национальной АН Азербайджана, г. Баку
zabit52@rambler.ru Поступила в редакцию 5.07.2007 г.; после доработки 14.12.2007 г.
Рассматриваются вопросы коалесценции и дробления капель в изотропном турбулентном потоке. Предложены выражения для оценки минимальных устойчивых и максимальных неустойчивых размеров капель. В результате аналитического решения уравнений массообмена определены частота коалесценции в системе жидкость-газ и в системе жидкость-жидкость. Предложена частота дробления капель в изотропном турбулентном потоке. С использованием уравнения Фоккера-Планка исследована эволюция функции распределения капель по размерам и времени. Сравнение с экспериментальными данными дает удовлетворительное соответствие.
ВВЕДЕНИЕ
Коалесценция и дробление капель и пузырьков широко используется в химической и нефтеперерабатывающей промышленности. Это процессы разделения различного рода эмульсий, газожидкостные реакторы, эмульсионная полимеризация и многие другие процессы. Коалесценция и дробление капель, на первый взгляд кажущиеся механическими процессами, таят в себе очень много физико-химических явлений (транспорт в турбулентном потоке, массообмен, агрегативная устойчивость, распределение капель по размерам, деформация капель и т.д.).
В настоящее время вопросам коалесценции и дроблению капель посвящены весьма большое количество как теоретических, так и экспериментальных работ, среди которых важно отметить работы [1-7], посвященные коалесценции капель, определению частоты их столкновений, утончению межфазной пленки между двумя каплями, а также различным экспериментальным исследованиям. Так, в работе [1] радиус пятна межфазной пленки определен в виде
^ =
3 п
РтКаг
1/3
ции функции их распределения и частоты столкновения капель. В [6, 7] частота коалесценции капель в турбулентном потоке определена в виде (Ре > 1)
1/3
1/3,7/3
Т-Г / 1/ ^ 1 / Л ч
Юк = Кт ( ^ i + V: )
(1)
где Кт - коэффициент, зависящий от энергии диссипации и начального числа капель в объеме, Кт ~
1/3 иа
~ ей И0, Ре = —--число Пекле, ВТ - коэффици-
Гт
ент турбулентной диффузии, V, V - объемы капель. При малых значениях Ре < 1 частота коалесценции определена в виде [4]
иа
Юк = 1.294(а, + аД^)1^.
(2)
Экспериментальные и теоретические исследования по дроблению капель приведены в работах [8-17], где определены частота дробления капель, минимальный и максимальный размер устойчивых капель в турбулентной среде и эволюция функции распределения капель по размерам и по времени. В работах [1, 9, 10], анализируя энергетическое состояние капель, предложена следующая формула для определения частоты дробления:
Ю г
1/3 -2/3
£ к а .
(3)
п 2 ут2
где Рт = паг рси - сжимающее давление для двух капель или же для турбулентного течения Рт ~ ~ рса2(£да)2/3, рс - плотность среды, £к - удельная энергия диссипации, К - коэффициент эластичности капель, аг = (а^/а + а2) - средний размер капель, ах и а2 - диаметры двух сталкивающихся капель. В этих же работах приведены экспериментальные исследования по определению средних размеров капель в зависимости от времени, эволю-
В работах [9, 10, 12-16] предложены анализ характерных функций распределения капель по размерам и сравнение их с экспериментальными данными.
Целью данной работы является определение частот коалесценции и дробления путем решения задачи массообмена и выявление эволюции функции распределения капель путем решения стохастического уравнения Фоккера-Планка.
Таблица 1. Сравнение экспериментальных данных [8] с расчетом по уравнению (7)
U, м/с Red Er (Вт/кг) amax х 103 м, (экс) Omax X 103 м, (7)
3.50 1000 6.5 4.3 4.5
3.98 820 13.3 3.1 3.1
4.59 670 32.6 2.2 2.0
6.04 604 69.3 1.5 1.5
ОЦЕНКА МАКСИМАЛЬНЫХ И МИНИМАЛЬНЫХ РАЗМЕРОВ КАПЕЛЬ В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ
Оценка максимальных и минимальных размеров капель определяется тем, что в турбулентном потоке максимальный размер капель соответствует неустойчивому агрегативному состоянию, способному при а > атах мгновенно дробиться на более мелкие капли. Минимальный же размер капли соответствует устойчивому агрегативному состоянию, ниже которого капля не дробится. Следует отметить, что важной характеристикой изотропного турбулентного потока является Колмогоровский масштаб турбулентности Х^ определяемый в виде
Л , 3, ч 1/4
X° = (V^/Er) ,
(4)
C,
Т 7''
PcV
4a
as
(5)
с учетом выражения для пульсационнои скорости
1/3
V = y( р E rX
определим общее выражение для максимального размера капли [12]
Y
-6/5Г _8Л °'6 Cd)
1/3 2/3
Pc Pd
0.6
0.4 ER ,
(6)
где у - коэффициент, определяемый из экспериментальных данных.
На зависимость максимального размера капель
-0.4 гот
от энергии диссипации атах ~ £к указано в [8].
В частности, следуя экспериментальным данным
[17], коэффициент сопротивления капель для 2 <
< Ие^ < 103 можно аппроксимировать следующим
выражением [11]:
Cd =
14
0.5
Re„
В этом случае максимальный размер капель, исходя из (6), определится как
= 0.619 у
-12/7
Vc)
1/2
1/3 2/3 Pc Pd
6/7
-4/7
(7)
где хс - кинематическая вязкость среды, £к - удельная энергия диссипации в единице массы. В зависимости от масштаба турбулентности Х по сравнению с Х0 перенос капель определяется турбулентной диффузией (Х > Х0) или же преобладает вязкостный режим течения, из чего будут вытекать все последующие изложения.
С целью оценки минимальных и максимальных размеров капель воспользуемся сравнением динамической силы на поверхности капель Ев = = С0рсУ2/2 (где Св = ДИе^) - коэффициент сопротивления капель, Ие^ = иа/\с число Рейнольдса, определяемое через среднюю скорость потока и, V -пульсационная скорость, = 4а/а8 - сила поверхностного натяжения [2]). Из равенства этих сил на поверхности капли
Сравнение формулы (7) с экспериментальными данными [8] для капель воды в воздухе приведено в табл. 1 (\с = 1.5 х 10-6 м2/с, а = 72 х 10-3 Н/м, рс = = 1.29 кг/м3, р^ = 1000 кг/м3, у = 10.6).
Как следует из табл. 1, уравнение (7) удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными. В работах [12, 15] приведены другие формулы для вычисления максимального размера капель, соответствующие различным значе-ниям числа Ие^.
Для оценки минимальных размеров капель также можно использовать равенство (5), с учетом
формулы er =
3
V
X 4
В этом случае минимальный
размер капель определится в виде
2
CD 2, 2,1/3fVc
amin = у Y (PcPd) (a
(8)
В частности, используя уравнение (8) и положив, что в перемешивающих устройствах скорость потока V = юОм (где ю - угловая скорость вращения, Бм - диаметр мешалки) минимальный размер капель масла в воде можно определить по следующей формуле [15]:
1
amin = 2 (WDM У
1.75
3
a V c
1/4
.PcPd)
(9)
Ниже в табл. 2 приведены сравнение экспериментальных [14, 18] и расчетных (9) значении минимальных размеров капель масла в воде (a = 72.2 х х 103 Н/м, Pc = 850 кг/м3, vc = 106 м2/сек, DM = = 0.027 м)
Сравнение (9) с экспериментальными данными дает удовлетворительный результат. Расчет максимального и минимального размера капель позволяет оценить практические условия для процессов ко-алесценции и дробления.
a
max
a
max
КОАЛЕСЦЕНЦИЯ КАПЕЛЬ
В ИЗОТРОПНОМ ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ
Как следует из вышеизложенного, порог коалес-ценции капель определяется условием a < а^. В изотропном турбулентном потоке коалесценция капель определяется турбулентной диффузией, представленной как [2]
X > X0, DT = a(£RX)1/3X X <X0, DT = a(eR/vc)1/2X2,
(10a) (106)
где Бт - турбулентная диффузия жидкости, а - коэффициент.
Турбулентная диффузия частиц, характеризующая их пульсационное движение, определяется выражением [20]
dtp = m^dt ,
(11)
где цй - степень увлечения частиц турбулентными пульсациями, зависящая от размеров капель и частоты турбулентных пульсаций. Если выделить какую-либо каплю и провести вокруг нее воображаемую сферу радиусом Я = а, то можно принять, что любая капля, прошедшая через эту сферу, обязательно сталкивается с центральной каплей. При этом частоту столкновений можно принять равной удельному потоку частиц, протекающих через эту поверхность:
w = ±пa DTP--r д
д N r
(12)
= R
-д---N---dt
а_д_
r2 д r
2 1/3 10/3d./V
^r£R r dr
(13)
с краевыми условиями
t = 0, r > R, N = N0 t > 0, r = R, N = 0 r—- ^, N = N 0.
(13a)
Решение (13) с краевыми условиями (13а) имеет вид [12, 16]
N(r, t) = £ Ai J2[|,(r/R)1/3] exp(1), (14)
n = 1
Таблица 2. Сравнение расчетных значений (19) минимальных размеров капель с экспериментальными данными [14, 18]
Ю DMa Re =- vc ю, с 1 U = юйм, м/с a min X Ш6, м (экс.) amin X 106, м (9)
22.50 16.67 0.450 53.0 54.2
19.44 20.0 0.540 39.0 39.4
16.87 25.0 0.675 26.0 26.6
14.58 30.0 0.810 19.0 19.4
13.23 35.0 0.945 15.0 14.7
11.25 41.67 1.125 10.5 10.9
где An =
JRn 0 J 2 [^2( r/R )1/3] rdr
R2
J1 ( Mn )
, |n - собственные
значения, определяемые из решения уравнения
ЪШ = 0 как |1„ = ^(£д3|4а/3Я2/3), Л(|аи), ^(Мп) -
функции Бесселя первого и второго порядка. Поскольку ряд (14) быстро сходится, то достаточно использовать первый член и определить частоту ко-алесценции из (12) в виде
д N
Юк = ^тр-дТ
r = R
Ч Ч
a
exp (-t / T1 ), (15)
Знак минус соответствует дроблению, а знак плюс -коалесценции капель и их переносу через поверхность. Процесс коалесценции можно рассматривать как массообменный процесс, в связи с чем изменение числа капель при X > X с учетом (10а) и (11) при Ре <§ 1 можно записать как
где C1 = 16 |R аф0, C2 = 8.5 |R а - коэффициенты,
3
ф0 = N0 —— начальная объемная доля капель в потоке, N0 - начальное число капель в единице объема, T1 = C-1 (a2/eR)1/3 - общее время коалесценции капель.
Для случая X < X0, используя в уравнении (13) выражение (106), получим решение
N(r, t) = N0( 1- (R/r)3)exp(-а(£r/vc)1/2t) (16) и частоту столкновений в виде
œk = 72 90a|R(£R/Vc )1/2exp (-a(£R/Vc )1/2t ), (17)
совпадающей при некоторых предположениях и малых значениях t с ура
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.