ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2011, том 45, № 3, с. 264-283
УДК 532.3
КОЭФФИЦИЕНТЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ, КАПЕЛЬ И ПУЗЫРЕЙ РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ © 2011 г. Г. И. Келбалиев
Институт химических проблем Национальной АН Азербайджана, г. Баку
Kelbaliev@yahoo.com Поступила в редакцию 9.06.2009 г.; после доработки 24.02.2010 г.
В данном исследовании, носящем в основном обзорный характер, представлены особенности описания силы и коэффициента сопротивления твердых сферических и деформируемых частиц в обычных и неньютоновских жидкостях. Представлены основные формулы для теоретического анализа для малых чисел Яе < 1 и полуэмпирические формулы для вычисления коэффициентов сопротивления частиц для достаточно большой области изменения числа Яе < 106. Рассмотрены вопросы деформации капель и пузырей и ее влияние на сопротивление частиц.
ВВЕДЕНИЕ
Одним из важных параметров, определяющих миграцию дисперсных частиц в потоке, является сила сопротивления, возникающая в результате взаимодействия между поверхностью частицы и обтекающим потоком и играющая основную роль в процессах переноса массы, тепла и импульса. Величина коэффициента сопротивления для сферических частиц в классическом смысле определяется в виде
(рси¿/2)'
где и^ — скорость потока вдали от частицы. Сила сопротивления зависит от конфигурации обтекаемой поверхности, характера гидродинамического течения, размеров и свойств частиц и среды. Многочисленные экспериментальные исследования для определения коэффициента сопротивления привели к так называемой стандартной кривой Рэлея для одиночной твердой сферы, движущейся с постоянной скоростью в неподвижной изотермической жидкости. Для тел сложных конфигураций теоретическое определение коэффициента сопротивления представляет большие трудности и в большинстве случаев его оценка осуществляется на основе экспериментальных исследований и эмпирических корреляций. Это прежде всего относится к определению коэффициентов сопротивления деформируемых частиц (капли, пузыри) для больших значений числа Яе, с соответствующими особенностями обтекания (отрыв пограничного слоя с поверхности, гидродинамический след, кризис сопротивления и т.д.) и для единичных частиц, характеризующихся несферичностью поверхности. В химической технологии существует множество процессов, протекающих с участием или с образованием дисперсных частиц, где размеры частиц в
потоке меняются от нуля до некоторого предельного значения (кристаллизация, конденсация, набухание, грануляция) и, наоборот, где частицы могут полностью исчезнуть в результате физико-химических превращений (растворение, сублимация, испарение). Наряду с этими, существуют массооб-менные процессы агломерации, коалесценции и дробления, нестационарные процессы роста или уменьшения частиц, где их размеры существенно меняются во времени в широких пределах. При увеличении размера капель характер обтекания заметно отличается от характера обтекания твердой частицы, поскольку наряду с уже вышерассмотренными физическими явлениями, начинают проявляться и другие эффекты — пульсации формы и поверхности капли, вследствие подвижности поверхности раздела и неравномерного распределения давления на ней, внутренняя циркуляция жидкости, деформация формы, дробление и т.д. В связи с этим в литературе приведены многочисленные выражения для вычисления коэффициента сопротивления твердых частиц, капель и пузырьков, как для малых, так и для достаточно большой области изменения числа Яе [1—13]. Для газовых пузырей и жидких капель определение коэффициента сопротивления при больших числах Яе осложнено деформированием формы, зависящей от значений чисел Вебера (^е), Мортона (Мо), Акривоса (Ас) и Бонда (Во). В табл. 1 приведены различные выражения для этих чисел и взаимосвязь между ними. Силу сопротивления среды движению в ней жидкой капли в общем случае можно представить соотношением
Рзк = Р [1 + С(у, Ас, Яе)], 3 1 + у
где Рзк — сила сопротивления для капель и пузырьков. Положив We = Ас Яе , можно записать
Таблица 1. Критерии подобия и связь между ними
Число Выражение Связь
1 Архимеда Аг = ^ V2 Рс Аг = ВоАс-1 Аг = МоАс-3
2 Мортона 4 . Мо = еПз лр РсО рс Мо = We3 Яе-4 Бг-2 = BoWe2 Яе-4
3 Вебера We = рсЦ а We = Яе4/3 Мо1/3Рг-1/3 = Ас Яе2 We = Яе2 (МоВо)-1/2
4 Бонда или Етвоша Во = е- Ар Р Во = АгАс = WeFг 1
5 Акривоса 2 Ас = РсХ2 ай Ас = We Яе-2
6 Фруда Рг = и! йе Рг = WeBo-1 ^ Рс
^ (у, Ас, Яе) = ^ (у, ^е, Яе), хотя как будет показано ниже в общем случае это равенство не выполняется.
Изменение характера зависимости Св (Яе) в широком интервале значения числа Яе связано с непрерывным изменением характера гидродинамического обтекания частицы. Если в изотермическом потоке положить, что коэффициент сопротивления зависит от скорости, вязкости потока и размера и формы частиц, то введя некоторый эквивалентный размер й, на основе метода размерностей и подобия
можно написать Сп = Ли"йт\кс. С учетом размерности этих параметров, можно определить: п = -С, т = -С. Тогда ввиду произвольности коэффициента Л выражение для коэффициента сопротивления представится как
Св = Л Яе = Л/ (Яе). Яе
(1)
г _ 24
= Яе.
(2)
При несколько больших значениях числа Яе, уравнение (1) может быть записано в виде
С* = Яе ( + ^ (Яе)),
(3)
где ^ (Яе) — функция от числа Яе, получаемая в большинстве случаев эмпирическим путем на основе экспериментальных исследований. Для
капель и пузырей для больших значений числа Яе уравнение (1) может быть представлено как Л
С* =
Яе
/(Яе, Мо, We, Ас).
Как показали теоретические расчеты и экспериментальные исследования, для частиц сферической формы (твердые частица, капля, пузырь) при малых числах Яе < 1 (стоксовый режим), коэффициент сопротивления подчиняется уравнению [1, 8, 12]
Целью данной работы является исследование и анализ состояния проблемы определения коэффициентов сопротивления твердых и деформируемых частиц в обычных и неньютоновских жидкостях.
КОЭФФИЦИЕНТ СОПРОТИВЛЕНИЯ ТВЕРДОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ЧАСТИЦЫ
Теоретические и экспериментальные исследования коэффициентов сопротивления для сферической твердой частицы проведены многими исследователями [1—6, 12, 13], полное перечисление которых составило бы целую библиографию. Следует отметить, что решение Стокса (2) не является точным решением задачи обтекания с инерционными членами. Проведенные расчеты показали, что на больших, по сравнению с размерами частиц, расстояниях неучтенные члены дают существенную поправку. Оссен [4, 5, 14] предложил способ линеаризации уравнения Навье—Стокса, основанный на замене конвективного члена (ЦУ) и на (Ц^У) где — скорость невозмущенного течения на бесконечности, что приводит к следующему результату
с (Яе) = —Яе +. У У 16
(4)
Исследование, проведенное Праудменом и Пирсоном [4, 5] методом сращиваемых асимптотических разложений, привело к следующему результату
С (Яе) = — Яе + -^Яе21иЯе. 4 ' 16 160 2
Разложение (5) с количественной точки зрения является неудачным, поскольку появление члена с логарифмом Яе делает результаты зависящими от способа определения числа Рейнольдса. Трехчленное разложение, получили Честер и Брич [7] в виде
С (Яе) = —Яе +-^Яе2 (¡и— + А) +
У ' 16 160 I 2 '
+ О
'Яе^Я*
(6)
А = у1 + 51п2 - — « 0.835, 3 360
где у1 — постоянная Эйлера, равная 0.577. Следует отметить, что в настоящее время не разработан обоснованный метод улучшения асимптотических рядов с логарифмическими членами. Как отмечено в работе [14], трехчленное разложение (6) эффективно уточняет (4) лишь при Яе < 0.44, и в связи с этим в этой же работе предлагается дополнение к уравнению (6), что улучшает его до Яе < 5. Таким образом, решения гидродинамической задачи обтекания сферической частицы показывают, что закон Стокса для силы сопротивления является лишь первым членом разложения в ряд по степеням числа Яе.
Приведенные теоретические приближенные решения эффективны для очень малых чисел Яе <§ 1, т.е. для ламинарного течения. Для больших значений числа Яе теоретические решения гидродинамической задачи осложняются: а) появлением конвективных членов в уравнении Навье-Стокса; б) различными гидродинамическими явлениями (отрыв пограничного слоя, появление турбулентности, образование гидродинамического следа и т.д.). В связи с этим при больших числах Яей в литературе, для различных областей изменения числа Рей-нольдса, имеются множество формул, согласующихся с экспериментальной кривой Рэлея.
Возникновение гидродинамического следа связано с характером обтекания сферического тела и появлением конвективных сил. При Яе ~ 10 [4] инерционные члены начинают искажать симметричное обтекание, ламинарный пограничный слой начинает в кормовой области отрываться от поверхности сферы и при Яе ~ 20, согласно экспериментальным данным Танеда [9], за сферой образуется вихревое кольцо. Ван Дейк [15] провел анализ поля скоростей жидкости и обнаружил, что уже при Яе > 8 появляется течение со следом, представляющее вихревое кольцо. При Яе ~ 100 течение в кормовой части становится нестационарным и система вихрей распространяется вниз по течению на расстоянии около одного диаметра сферы [4]. При Яе ~ 500 течение становится нерегулярным и от кормовой части с определенной частотой, растущей
с Яе, система вихрей отделяется от сферы и образует гидродинамический след. С ростом числа Яе вихревые кольца непрерывно образуются и отделяются от поверхности, вызывая тем самым периодическое изменение поля течения и величины сопротивления. При достаточно больших значениях числа Яе некоторая часть ламинарного пограничного слоя на поверхности сферы до линии отрыва становится неустойчивой и турбулизуется. Турбулизация пограничного слоя приводит к заметному смещению линии отрыва вниз по течению жидкости и турбулентный след за сферой сужается и при Яе ~ 3 х 105 наступает кризис сопротивления, в результате чего коэффициент сопротивления резко снижается до Сл * 0.1.
Важно отметить, что, хотя кривая сопротивления является дифференцируемой и непрерывной, но производные не представляют собою монотонно изменяющуюся функцию для больших областей изменения числа Яе. В частно
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.