научная статья по теме КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С БОЛЬШИМ КОЭФФИЦИЕНТОМ МОДУЛЯЦИИ Математика

Текст научной статьи на тему «КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С БОЛЬШИМ КОЭФФИЦИЕНТОМ МОДУЛЯЦИИ»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2008, том 423, № 6, с. 758-762

МЕХАНИКА

УДК 534.1

КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ С БОЛЬШИМ КОЭФФИЦИЕНТОМ МОДУЛЯЦИИ

© 2008 г. С. В. Нестеров, Л. Д. Акуленко

Представлено академиком Д.М. Климовым 16.06.2008 г. Поступило 23.06.2008 г.

Исследуются параметрически возбуждаемые колебания линейных систем при больших величинах коэффициента модуляции. Основные свойства рассматриваемых уравнений с сингулярным характером зависимости возмущения от коэффициента модуляции излагаются на конкретных математических моделях. Исследуются периодические краевые задачи для модифицированного уравнения Матье и для уравнения Кочина, моделирующего колебания упругих систем. С помощью аналитических методов возмущений Ляпунова-Пуанкаре, численно-аналитического метода ускоренной сходимости и процедуры продолжения по параметру построены периодические решения и соответствующие собственные значения с требуемой точностью. Определены границы областей устойчивости и неустойчивости. Установлены количественные и качественные различия слабо и существенно возмущенных периодических движений как для низших, так и произвольных мод колебаний. Описаны необычные свойства границ в области изменения определяющих параметров системы.

1. Исследованию параметрических колебаний и параметрической неустойчивости посвящено значительное количество статей, монографий и учебных пособий (см., например, [1-10]). Традиционно анализ базируется на применении классической теории возмущений, предполагающей малость изменения параметров. Это существенное ограничение модели колебаний не позволяет судить о характере областей параметрической неустойчивости в целом, которая представляет реальный интерес в теоретическом и прикладном аспектах. В книгах [6, 7] приведены результаты численного детального исследования уравнений Матье и Мейснера для больших значений коэффициента модуляции.

Метод бесконечных определителей [2, 6, 7] позволяет находить границы областей неустойчивости (резонансы) в широкой области изменения

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской Академии наук, Москва

параметров. Однако он имеет в основном теоретическое знание, так как процедура расчетов че-резвычайно громоздка и требует большого предварительного анализа.

Теория Флоке [3, 5] устанавливает формальную возможность сведения систем с периодическими коэффициентами к системам с постоянными коэффициентами, однако в вычислительном аспекте она неэффективна.

В представленном сообщении излагаются и сопоставляются результаты, полученные на основе аналитических методов Ляпунова-Пуанкаре [3] и быстро сходящегося численно-аналитического метода ускоренной сходимости [10]. Разработанный авторами алгоритм в сочетании с процедурой продолжения по параметру позволяет с требуемой высокой точностью строить периодические решения и границы областей параметрической неустойчивости в широком, практически предельном (см. ниже), диапазоне изменения параметра модуляции. Для большей наглядности излагаются решения модифицированного уравнения Матье (уравнения Хилла [1, 3-9]) и задачи Кочина [2, 10].

2. Сперва исследуется задача определения периодических решений и границ областей параметрической неустойчивости для модифицированного уравнения Матье

и+ [X-q(г, е)]и = 0, и = и(г) = и(г + 2), |г|

X = Х(е), |Х| < ^,

еео82пг

(1)

q (t, e ) =

1 + e cos2 n t

, |e| < 1.

При малых значениях задаваемого параметра е, |е| < 1, уравнение (1) отличается от стандартного уравнения Матье [6, 7] слагаемыми порядка е2.

Ставится задача определения значений параметра Х(е), отвечающих периодическим колебаниям системы (1), и устанавливаются области параметрической неустойчивости. Для этого нужно решить краевую задачу, удовлетворяющую смешанным краевым условиям при г = ±1 (условиям 2-периодичности)

u(-1) = u(1), U(-1) = U (1).

(2)

КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

759

Поскольку функция q(-t, e) = q(t, e), то краевые условия периодичности (2) эквивалентны условиям первого и второго рода на половинном интервале аргумента 0 < t < 1. Условиям первого или второго родов соответствуют нечетные или четные решения

u(0) = u(1) = 0, X = Xs(e), u = u(t, e); (3)

u'(0) = u(1) = 0, X = Xе(e), u = u (t, e). (4)

Для определения областей параметрической неустойчивости требуется вычислить значения параметра X(e), при которых существуют нетривиальные решения u(t, e) уравнения (1), удовлетворяющие краевым условиям (2) или (3), (4). Имеются две задачи Штурма-Лиувилля (1), (3) и (1), (4), для решения которых используется метод ускоренной сходимости [10]. Естественно, искомый параметр X есть функция другого параметра e, который будем называть глубиной модуляции (или коэффициентом возбуждения) [1, 3]. Из (1) следует, что 0 < |e| < 1, причем достаточно ограничиться интервалом 0 < e < 1.

На начальном этапе исследований примéним метод возмущений для |e| <§ 1. Собственные значения

(числа) Xsn имеют приближенные представления

1« 2 e (1 1 ^ 2^->/3ч

Xi = П-2-U + ^Je+ O(e ),

X2 = 4n2- (U-U e + O (e4), (5) (4 48n2J

ХП = (nn )2 + O(en), n = 1, 2,...

Собственным значениям X1,2 (5) соответствуют нечетные собственные функции

u = sin n t--^Ц sin 3n t + O (e2),

16n2

u2 = sin2 nt--sin4 n t + O (e2), (6)

24 n2

un = sin n n t + O (e).

Собственные значения (числа) Xn (e) при n = 0, 1, 2 аппроксимируются выражениями

X0 = -2 (>+4-У e2 + O (e3',

л c 2 e f 1 1

А-1 = П +-- (- +-

2 (2 32п

5

1С = 4п2 - f 3 - -

48п2

e + O (e3),

e + O (e3),

(7)

Xn(e) = (nn) + O(e ), n = 1, 2, ... Собственным значениям (7) соответствуют четные собственные функции ucn:

u0 = 1—e--cos2TCt + O(e ), 4 n2

uc1 = cosnt--^cosSnt + O(e ),

16n (8)

uc2 = cos2 nt + —Ц f 1 —1 cos 4 n tJ e + O (e2), 8п2 V 3 J

ucn = cosnnt + O(e), n = 1, 2,.

Формулы (5)-(8) используются при сравнении с высокоточными вычислениями по методу ускоренной сходимости.

Они имеют определенное теоретическое значение для локального анализа параметрических колебаний. Выражения (5), (7) также используются в процедуре продолжения по параметру e для численного решения задачи с помощью численно-аналитического алгоритма как начальное приближение искомых значений X,c (e), n = 0, 1, 2, ....

Погрешность приближенных решений возрастает с увеличением параметра модуляции e. На основе сравнения с вычислениями методом ускоренной сходимости можно утверждать, что при малой величине e < 0.2 формулы (5), (7) приводят к удовлетворительным результатам. Аналогично может быть проведено сравнение для остальных найденных собственных значений.

Изложим кратко результаты численно-аналитического исследования задачи. Заметим, что в линейном по e приближении уравнение (1) совпадает с каноническим уравнением Матье. Однако учет последующих степеней e даже при сравнительно малых e приводит к существенному отличию в границах зон неустойчивости. По-видимому, не имеет значительного интереса построение этих границ с помощью теории возмущений. Для решения краевых задач (1)-(4) используется метод ускоренной сходимости [10]. Численно находятся низшие собственные значения с относительной погрешностью 10-6. Приведем графическое изображение собственных значений (чисел)

X0, X1c в зависимости от параметра e (рис. 1). В представленных результатах величина e изменялась на интервале 0 < e < 0.99, а коэффициент уравнения мог варьироваться на два порядка (от 1 до 100).

Графики собственных значений Xs, c (e), выходящие при e = 0 из одной точки (nn)2, представляют собой границы параметрической неустойчи-

-0.50

-0.25

0 Х

Рис. 1. Зависимость низших собственных значений от коэффициента модуляции для модифицированного уравнения Матье.

и Х1 (е) имеют при е = 0 конечный угол одна относительно другой, кривые Х2 (е) и Х2 (е) имеют касание второго порядка. Порядок касания увеличивается с увеличением номера п. Такое поведение границ областей устойчивости и неустойчивости в случае модифицированного уравнения Матье (1) существенно и качественно отличается от хорошо изученного случая диаграммы Айнса-Стретта для канонического уравнения Матье [6, 7]. Границы областей параметрической устойчивости и неустойчивости для уравнения (1) построены численно для п = 0, 1, 2, 3; на рис. 1 приведены кривые

Х0 (е), Х15 (е).

3. Исследования параметрических колебаний упругих систем, например, коленчатых валов, содержащих сосредоточенную нагрузку (маховик), привели к уравнению с периодически изменяющимся коэффициентом [2]

и + ■

Хи

1 -еео82пг

= 0, 0 < е < 1, X > 0.

(9)

вости. Характерной особенностью этих диаграмм является то, что единственная кривая Х0 (е), соответствующая нулевому собственному числу при е = 0, асимптотически приближается к Хд = -^ при е ^ 1; при этом Х0 < 0, т.е. Х0 всегда отрицательно. Далее приведена зависимость Х1 (е); значение Х1 ^ при е ^ 1. Собственное значение Х1 (е) изменяется существенно иначе. При е ^ 1

величина Х1 стремится к п2, как показывают численные расчеты. Этот результат может быть получен с помощью достаточно громоздких аналитических вычислений, связанных с построением

обобщенного (при е ^ 1) решения. Между Х1 (е) и Х1 (е) находится область неустойчивости.

При п = 2 левее имеем кривую Х1 (е), а правее

Х1 (е). Детальное исследование поведения этих кривых при е ^ 1 на основе имеющихся вычислительных данных свидетельствуют, что Х2 ^ п2, причем Х1 < Х2. При п = 3 опять левее имеем кривую Х3 (е), а Х3 (е) - правее. Общее правило гласит, что при нечетных п = 2к + 1 левее всегда Х2 к +1 (е), а правее Хс2к + 1 (е). Для четных п = 2к левее находится кривая Х2к (е), а правее Х2к (е). Кривые Х1 (е)

Как в случае модифицированного уравнения Матье (1), требуется найти собственные значения параметра Х, при которых существуют нетривиальные решения уравнения (9), удовлетворяющие краевым условиям (2)-(4).

Аналогично п. 2 для вычисления границ Хп' (е) областей параметрической неустойчивости при произвольной глубине модуляции е приведем приближенные аналитические выражения. Они согласуются с результатами исследований Н.Е. Кочина

[2]. Собственные значения Х1, Х2 и Хп (е) равны

л 5 2 (1 е 9 2 I

Х1 = п '1 + 2-з2е + "' ',

Х2 = 4п2( 1 - +

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком