ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 6, 2013
УДК 621.01 534.1
© 2013 г. Ниселовская Е.В., Пановко Г.Я., Шохин А.Е.
КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ, ВОЗБУЖДАЕМЫЕ НЕУРАВНОВЕШЕННЫМ РОТОРОМ АСИНХРОННОГО ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯ
Рассматриваются колебания механической системы, возбуждаемые неуравновешенным ротором асинхронного электродвигателя переменного тока. Движущий электромагнитный момент учитывает связь между потокосцеплениями и токами в обмотках двигателя.
Анализ установившихся колебаний технических систем с приводом ограниченной мощности обычно проводят при учете его статической характеристики [1—5]. Подобный подход позволяет сравнительно просто выявить основные закономерности поведения системы, включая эффект Зоммерфельда, застревание вращающегося ротора в зоне резонанса, скачки частот и амплитуд при "квазистатическом" прохождении зоны резонанса [3, 5]. Вместе с тем расчеты, выполненные на основе статических характеристик привода, лишь приближенно описывают поведение системы в пределах одного цикла движения (оборота), особенности переходных режимов, не позволяют объяснить возникновение значительных пиковых динамических нагрузок в колебательной системе [6—8].
Для описания переходных процессов, как правило, используют линеаризованные динамические характеристики привода, которые учитывают собственную постоянную времени двигателя и отображают связь не только координат и скоростей с развиваемой движущей силой (моментом), но и ее производной [6, 8]. Однако линеаризованные динамические характеристики вибропривода также ограничивают возможности анализа динамики системы, в частности, вводить в рассмотрение обратные связи систем управления приводом [9]. Последнее обстоятельство особенно важно при создании систем устойчивого поддержания резонансных режимов вибромашин и других технических устройств.
В настоящей статье рассматривается механическая система, колебания которой возбуждаются при вращении неуравновешенного ротора асинхронного электродвигателя переменного трехфазного тока с короткозамкнутым ротором. Система настроена на зарезонансный режим работы, когда номинальная угловая скорость вращения ротора превышает частоту малых собственных колебаний механический системы.
Расчетная схема. Предполагается, что асинхронный электродвигатель с неуравновешенным ротором установлен на технологической машине так, что в исходном положении равновесия их центры масс расположены на одной вертикали, совпадающей с направлением действия силы тяжести. Ось вращения ротора расположена горизонтально и перпендикулярно вертикальной плоскости. Весь машинный агрегат будем представлять в виде единого твердого тела — платформы с общей массой т, установленной на упруговязкой опоре (рис. 1). Платформа может совершать вертикальные колебания относительно положения статического равновесия общего центра масс, сосредоточенного в точке О; горизонтальное движение системы ограничено идеальными направляющими (рис. 1). Упруговязкая опора всей системы обладает линейными
характеристиками жесткости и демпфирования с коэффициентами c и к, соответственно.
Неуравновешенность ротора характеризуется статическим моментом его дисбаланса D = mr г, где mr — масса ротора, г — эксцентриситет. Ротор вращается под действием движущего электромагнитного момента М, который возникает в результате электромагнитного взаимодействия роторной и статорной обмоток при подаче на последнюю напряжения питания. Учитывается также постоянный момент Мс сопротивления вращения ротора двигателя.
Движение системы рассматривается относительно неподвижной системы координат xOy (рис. 1), начало которой совмещено с положением общего центра масс, причем вертикальная ось Оу совпадает с направлением вектора силы тяжести. Вращение ротора описывается углом ф, отсчитываемым против часовой стрелки от положительного направления оси Oy.
y
Рис. 1
Уравнения движения исследуемой системы имеют вид [3—5]
my + ky + cy = mrr (ф sin ф + ф2 cos ф) ; Jip - mrr (( sin ф - g sin ф) = M - MC,
(1)
где / — приведенный момент инерции ротора; точками обозначены полные производные по времени ?.
Движущий момент. Примем, что асинхронный электродвигатель имеет три фазы А, В, С обмотки статора, три фазы обмотки ротора а, Ь, с и две пары полюсоврп, и питается от сети переменного трехфазного тока с частотой юп = 2п/п (такие двигатели обычно применяются в вибрационных технологических машинах). Напряжение к двигателю подводится к фазам статора А, В, С, а напряжения в фазах ротора равны нулю. На холостом ходу ротор двигателя вращается с номинальной угловой скоростью ю0 = 2%/п/рп. Движущий электромагнитный момент можно записать в следующем виде [6, 11]:
м = 213Рп [(и -У1в -Ую) -(и -У1в -¥ю) -3(в - )], (2)
где цифрой 1 обозначены переменные, относящиеся к фазам А, В, С статора; цифрой 2 далее будут обозначены переменные, относящиеся к фазам а, Ь, с ротора; у и I с индексами обозначены потокосцепления и токи в соответствующих фазах обмотки статора.
Связь между потокосцеплениями и токами устанавливается из условий равновесия напряжений для всех фаз статора и ротора [9, 10]. В предположении, что обмотка ротора приведена к статору, магнитная система не насыщена, магнитодвижущие силы, созданные фазными токами, синусоидально распределены вдоль воздушного зазора, а режим работы двигателя — симметричный (;1А + ;1в + ;1С = 0). Уравнения равновесия напряжений для фаз статора и ротора в векторно-матричной форме можно записать в виде
и1 = + у 1; о = ^ 2 + у 2; у 1 = + 2; у 2 = ь 2111 + ь 212;
(3)
U1A 'О1 A ha Via V 2a '
Ui = u1B , 0 = 0 -, il =• ;1B -, i 2 =• Í2b •; vi = ■ VlB -, v2 = • V 2b
UlC 0 Ac i 2c . .Vic. .V 2c,
где Я1 и Я2 — сопротивления в обмотках статора и ротора; иь 1Ь12, уь у2 — вектор-столбцы мгновенных значений напряжений, токов и потокосцеплений статора и ротора; 0 — нулевой вектор-столбец (нулевое напряжение на всех фазах ротора).
Матрицы индуктивностей L1, L2 характеризуют зависимости между токами и пото-косцеплениями фаз статора и ротора
Ь =
" А1 -1 -1" А -1 -1"
ь
-1 А1 -1 , Ь 2 =^ 2 3 -1 А2 -1
-1 -1 А1_ -1 -1 А2 _
3
где А1 = 2 + (3Ь1ст /Ьт), А2 = 2 + 3 (Ь2ст /Ьт) — комплексы, образованные из постоянных (паспортных данных) электродвигателя; Ьт — главная индуктивность, Ь1ст, Ь2ст — индуктивности рассеяния фазы статора и ротора, соответственно.
Матрицы Ь,2, Ь 21 учитывают взаимовлияние токов ротора и статора на соответствующие потокосцепления
ЬЬт
■ - ~-
-'12 =
1,5
сое (фр»)
соб
(фр» )+^
СОБ
СОБ
(фРп )-
СОБ(фр„)
СОБ
СОБ
(фр» )- ^
(фРп ) +
2п 3 J
(фРп ) + |
СОБ
(фРп )-1
СОБ(фРп )
ЬЬт
" —-
-'21 =
1,5
СОБ
СОБ
СОБ (фР„ ) (фРп ) + (фРп ) -
СОБ
(фр» )-
СОБ
2п 3 J 2п 3 _
СОБ
СОБ (фр» ) СОБ 2п
(фр» )+
2п
3 J
(фР»)-
(фР» ) +
3 J
СОБ (фр» )
Из (3) после преобразований, можно получить
V! = Т"Ь1 (и1 - У1) - "7ГЬ12У2, V2 = -1 Ь21 (и1 - у1) - Ь2у 2-
я
я
я
Я,
(4)
Тогда в матрично-векторной форме выражение (2) для электромагнитного момента запишется в виде
М =
1
:РпУГ У С (и1 - V1),
2Я1^3
где матрица коэффициентов у С =
(5)
0 -3 3 2 -1 -1 -2 1 1
вектор напряжений и1 =
и зт (соп? --п
Здесь и— амплитуда напряжения.
и sin юп? и sin (со»? + 2 п
ф
1,4
0,2 0
-0,2
1 1 1 1 k 5 f 5 ®0
J ¡ ..3 . - < 1 _У / ®p
...... i i i
100
200 300 Рис. 2
400
ф
2,0 1,5 1,0 0,5
0
ф.
100 200 300 400 Рис. 3
Рис. 2. Изменение безразмерной угловой скорости ротора во времени: 1 - при напряжении U = 55 В, 2 - 69 В, 3 - 80 В, 4 - 100 В, 5 - 101 В, 6 - 140 В, 7 - 220 В
0
Т
Т
Численное решение. Таким образом, уравнения (1) с учетом (4) и (5) полностью описывают колебания, возбуждаемые неуравновешенным ротором асинхронного электродвигателя.
Введем масштабы времени т = t/T*, перемещений '% = y/Y*, потокосцеплений V1 = V1/V* , V2 = V2/V* и напряжений u! = u^U*. Тогда полная система уравнений в безразмерной форме:
2
+ + ^ = е(ф " sin ф + (ф') cos ф), ф" - " sin ф-р sin ф) =
= YfT^сu 1 - YfT4TCf 1 - P,
ff1 = ПL1U1 - ju.1]L, 1ff 1 - ц2LL12V2, f 2 = ПL21U1 - ^L21ff 1 - Ц2-М>2, где T* = yfmfc; Y* = yj J/m; у * = U *T*; U * — номинальное напряжение в сети;
Ь = (kT* )/ (2m); в = -L. = l*;
mX* J
. ,, _ Lm . .. _ Lm _ Pn ¥*T* . R_ M cT* _ gT-t .
П = -; Д1 _ -; Д 2 _ -; Y _ -^-? в _ -> P _ -;
1,5 R^* 1,5 R1T* 1,5 R2T* 2R1V3 J J X*
штрихами обозначено дифференцирование по безразмерному времени т = t/T* .
Для численной реализации задавались следующие значения параметров системы и электродвигателя: J = 0,0026 кг • м2; mr = 1,5 кг; m = 50 кг; r = 0,02 м; c = 444 к^м; к = 0,5 кН • с/м; U* = 220 В; fn = 50 Гц; MC = 0,02 Н • м; pn = 2; g = 9,81 м/c2; L1a = 0,089 Гн;L,a = 0,156 Гн; Lm = 1,364 Гн; R1 = 56,84 Ом; R2 = 46,23 Ом.
В качестве варьируемого параметра задается амплитуда напряжения U1, которое мгновенно прикладывается к обмоткам статора. Задаваемое значение напряжения характеризует мощность двигателя. Начальные условия — нулевые. Выходными параметрами при решении системы являются значения ф, Е,', ф', vj) 1, vj> 2 в каждый момент времени.
Рис. 4
Анализ результатов. Основные результаты приведены в безразмерной форме на рис. 2—6. Представляет интерес анализ переходных процессов, возникающих в системе при использовании двигателей различной мощности. С этой целью варьировалось напряжение и, подаваемое скачкообразно на статорную обмотку двигателя. Графики изменения угловой скорости ротора во времени приведены на рис. 2.
При напряжениях менее 68 В (кривая 1 на рис. 2) ротор после непродолжительных угловых колебаний относительно некоторого угла у * Ф 0 останавливается (рис. 3; и = 69 В). Среднее значение угла у * определяется уровнем подаваемого напряжения.
При напряжениях свыше 68 В и до 100 В (кривые 2—4 на рис. 2) двигатель раскручивается до усредненной угловой скорости ^>'теап = 8юр, близкой (но не равной) к резонансной частоте системы (юр = 1 — безразмерная резонансная частота системы, 8 « 0,9—0,97). Невозможность преодолеть резонансную частоту при и< 100 В связана с малой мощностью двигателя. При этом среднеквадратические значения амплитуд к
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.