научная статья по теме КОЛЕБАНИЯ СТЕНОК ЩЕЛЕВОГО КАНАЛА С ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ, ОБРАЗОВАННОГО ТРЕХСЛОЙНЫМ И ТВЕРДЫМ ДИСКАМИ Машиностроение

Текст научной статьи на тему «КОЛЕБАНИЯ СТЕНОК ЩЕЛЕВОГО КАНАЛА С ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ, ОБРАЗОВАННОГО ТРЕХСЛОЙНЫМ И ТВЕРДЫМ ДИСКАМИ»

ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН

№ 1, 2014

МЕХАНИКА МАШИН

УДК 533.6.013.42

© 2014 г. Агеев Р.В., Могилевич Л.И., Попов В.С.

КОЛЕБАНИЯ СТЕНОК ЩЕЛЕВОГО КАНАЛА С ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ, ОБРАЗОВАННОГО ТРЕХСЛОЙНЫМ И ТВЕРДЫМ ДИСКАМИ

Исследована осесимметричная задача о гидроупругих колебаниях стенок канала с пульсирующим слоем вязкой несжимаемой жидкости. Стенки канала образованы соосными круглыми трехслойной упругой пластиной и абсолютно твердым штампом с упругой связью. Найдены законы движения стенок канала, их амплитудные и фазовые частотные характеристики и гидродинамические параметры слоя жидкости в канале. Приведен пример расчета резонансных колебаний гидроопоры с трехслойным упругим элементом конструкции.

Жидкости широко применяются в различных изделиях машиностроения в системах охлаждения, смазки, гидростатического и гидродинамического подвеса и т.д. Перемещение жидкости и поддержание в ней необходимого давления, как правило, обеспечивается насосами, при работе которых возникают пульсации давления. Взаимодействуя с упругими стенками канала, жидкость с пульсирующим давлением может вызывать значительные их вибрации [1]. Исследованию взаимодействия упругих однородных стенок канала с вязкой жидкостью в условиях вибрации и ударных воздействиях посвящены работы [2—6]. В современных изделиях стенки каналов все чаще изготавливают многослойными, что требует исследования.

1. Рассмотрим щелевой канал, представленный на рисунке. Стенки канала образованы двумя соосными дисками I, II радиуса Я, заключенными в одном корпусе. Диск I является абсолютно жестким и имеет упругий подвес, диск II — упругая круглая трехслойная пластина, на торцах жестко защемленная по контуру. Введем цилиндрическую систему координат ггв, связанную с геометрическим центром срединной плоскости заполнителя трехслойной пластины. Диск I может перемещаться в вертикальном направлении вдоль оси г.

Трехслойная пластина II представляет собой пакет, состоящий из двух несущих слоев 1, 2, между которыми находится заполнитель 3, обеспечивающий их совместную работу. Толщина несущих несжимаемых слоев — к1 и к2, заполнителя — 2с. Материал заполнителя несжимаемый и легкий. Для описания кинематики трехслойной пластины использована гипотеза ломаной нормали по [7]. При деформации пластины прогибы ее слоев совпадают с прогибом срединной плоскости заполнителя, а нормаль в заполнителе поворачивается на некоторый угол. Между дисками I и II находится пульсирующий слой вязкой несжимаемой жидкости III толщиной к0 Я. На торцах

г

п

0

канала по контуру струя жидкости свободно истекает в полость, заполненную той же жидкостью, в которой поддерживается давление, имеющее постоянную составляющую р0 и гармонически изменяющуюся по времени составляющую р1(ю?). Амплитуды прогиба пластины и перемещений диска малы по сравнению с П0. В силу осевой симметрии канала рассмотрим осесимметричную задачу.

Закон изменения давления жидкости в торцевой полости зададим в виде

Р1 = Рт/р (юг), 1р(ю г) = ехР(ш), (1)

где рт — амплитуда пульсации давления, ю — круговая частота, ? — время.

Динамика вязкой несжимаемой жидкости, находящейся в канале между стенками I и II, описывается уравнениями Навье—Стокса [8]:

диг диг д иг 1 др

—г + иг —- + и7 —г =----- + V

д г дг г дг рд г

/2 2

д иг 1 диг д иг и —- + -__- + —- -

Удг2 г дг дг2 2

диг д иг диг 1 дР

—г + иг —г + иг —г =----- + V

дг дг д г рдг

22

д и7 1 ди7 д и Л диг \ ди7

-г +--- +-г \, —- + - и + —г = 0,

^ дг2 г дг д-2 у дг г дг

(2)

где р, V — плотность и коэффициент кинематической вязкости жидкости; г, г — цилиндрические координаты; р — давление; и, иг — проекции вектора скорости жидкости на оси координат.

Граничные условия уравнений (2) — условия прилипания жидкости к непроницаемым поверхностям стенок-дисков канала

Уг = 0, V- = /Л при - = С + Н1 + Но + г1тЛ(юг),

V /

Уг = д и / д г, Уг = д у/дг при г = с + Н1 + у.

Здесь г1 = г1т/1(ю0 — закон движения диска I; г1т — амплитуда колебаний диска I; и, — радиальное упругое перемещение трехслойной пластины и ее прогиб, соответственно. Далее будем учитывать, что г1т ^ П0, < П0.

Уравнения (2) также дополняются граничным условием свободного истечения жидкости на торце в радиальном направлении (выражающееся в совпадении давления в

затопленной струе жидкости, вытекающей из канала в торцевую полость с давлением жидкости в этой полости) и ограниченности давления на оси симметрии [6]

Р = Ра + Р (ю?) при г = Я, г— = 0 при г = 0. (4)

дг

Уравнения движения стенки-диска I имеют вид т1Ц1 + п1г1 =

я 2п Я д (5)

N1 = Ц^г = 2п —р + 2р^) гйг при г = с + Н1 + Н0 + 11т/1(ю?),

0 0 0

где m1 — масса диска I; — жесткость упругого подвеса; q¡x — нормальное напряжение, действующее со стороны жидкости на стенку-диск I.

Уравнения динамики трехслойной круглой пластины имеют вид [7]

¿2 [а1и + а2ф - а3 = ¿2(а2и + а4ф - а5 = 0,

7 ( , дмЛ ъ/[ ди

¿31 а3и + а5Ф - а6д-) - М0—[ = -qzz, V д^ д?

где

а1 = Н1К^ + Н2К+ + 2сК+, а2 = с(Н1К^ - Н2К+),

аз = ^1(с + 1 Н^) К+ - Н2(с + 1Н^ К+, а4 = с2(Н1К1+ + Н2К+ + 3 сК+

а5 = с(н1(с + ^Н1) К+ + Н2(с + 2 Н2) К2 + 2с2<) ,

а6 = Н1{с2 + сН1 + 1 Н2) К+ + Н2(с2 + сН2 +1НК+ + 2 с3К+,

(6)

д ~ 1 д "

м0 = Р1Н1 + Р2Н2 + Рзнз, ¿2 № = -Т-(гё)

дг_гдг .

2

д.2- + -де -

дг2 г дг г2 '

32

т / \ 1 д г г / м д е , 2д е 1 де , 1 г ,4^

¿з(е) = -:д-[г^2(е)] = + —--+ Кк = Кк +-^

гдг дг3 гдг2 г2дг г3 3

(д V д V) д V

= рЧд- + , ^ =-р+^ аг- при г =с+Н1+

Gk, Кк — модули сдвиговой и объемной деформации; рк — плотность, к = 1, 2, 3 — номер слоя; ю, и, ф — прогиб, радиальное перемещение и поворот нормали заполнителя пластины, соответственно; qzr, qzz — напряжения, действующие на стенку-диск II со стороны слоя жидкости.

Краевые условия уравнений (6) — условие ограниченности перемещений в центре пластины и условие жесткой заделки

и* = и = ф = д и/д г = 0 при г = Я. (7)

В уравнениях (6) не учитываются волновые процессы в пластине в радиальном направлении и рассматриваются только изгибные колебания, как это принято в задачах гидроупругости [9].

2. Введем в рассмотрение безразмерные переменные

, к Г г 1 - С - к1 л

Т = Ю t, ^ = Я, ^ = -к-, ^ = 11 т ^ иг

(0

Ю

и с, м = мтЖ,

и = UmU, Ф = ФmФ, Р = Р0 + Р1 (Юt) + Р

РУ^т ю

коУ2

V =

К ^ :, х = ?Лт ^ :

(8)

Я

к0

где V, Ь — малые параметры, характеризующие задачу. Подставляя (8) в (2)—(7) в нулевом приближении по V, получаем в безразмерном виде уравнения динамики тонкого слоя жидкости

к0 ю

V

\ди + к{ ит + идЩ = - дР + ^, дР = о, ди + 1 и, + ди = 0, .дт { с д$ С дд$ дс2 дС, д$ $ С дС

уравнение динамики жесткого диска с упругим подвесом

1

т1Ц1 + п111 = - пЯ2(р0 + р1(т)) - 2%Я2pvz1mюк0\ 2 й$,

уравнения динамики круглой трехслойной пластины

¿2 {а^и + а2ФтФ= 0, <«2 ияи + «4 ФтФ-"Цгд^ = 0,

Я д$>

¿3{аЦти + а5фтФ - - М0ю2^ = Р0 + Р1V + ^Р,

Я д $ дт к0 V

¿2 (8 )

Я2 $

1$д$($8\

, ¿3 (8)

Я$ $

[$¿2(88)].

(9)

Граничные условия (3), (4) запишутся в виде dfl (т)

и, = 0, и

с

йт

при С = 1 + Ь/100, и, = 0,

и = МтйЕ при С = ЬМтж,

Zlmй т

Р

Р = 0 при $ = 1, $ — = 0 при $ = 0;

$

и = Ф = Ж = дЖ/д $ = 0 при $ = 1.

(10)

При записи (9) учтено, что в нулевом приближении по V, т.е. для тонкого слоя жидкости, выполняется условие д^ > д^ Следовательно, в рассматриваемой постановке можно пренебречь касательными напряжениями на поверхности пластины по сравнению с нормальным напряжением на ней.

Используя первое и второе уравнения (9), находим связь и и ф с д^/д$

и = Цт и = Мт(ЪХ/Я)д Ж/д$, ф = фтФ = *т(Ь2/Я)д Ж/д$,

(11)

0

22 где Ъх = (а4а3 - а2а5)/(а1а4 - а2), Ь2 = (а1а5 - а2а3)/(а1а4 - а2).

В нулевом приближении по X, рассматривая асимптотическое разложение Р = Р0 + ХР, + .

и, = и,0 + х и,, +

и^ = и^ 0 + хиС1 +

получим задачу динамики жидкости в виде уравнений

Н 0 ю д и^ 0

д Р д и

¿0

v дт дС

и граничных условий

¿л

2

дР = 0,

дс

ди,

¿0 + I и,п + ^ = 0

,0

дС

и,0 = 0, и.п =

С0 = — при С = 1, и,0 = 0, иС0 = при С = 0,

¿Т ^ Ц т ¿Т

.дР,

Р0 = 0 при £ = 1, £ —- = 0 при ^ = 0, и уравнения движения стенок-дисков (с учетом (11))

(13)

2 2 -1 -2 Г

т^ + «1^1 = - пЯ (р0 + Р1(т)) - 2пЯ рvZlmюН0 у I

(14)

¿3[[а3Ь1 + а5Ь2 - а6] -■^^ддг) - М0ю2ит^д-Т = Р0 + Р1(Т) +

V Я дт2

I 2

Н0 У

Р

с граничными условиями (10).

Решение задачи (12), (13) определено аналогично [6] в виде гармонических функций по времени с коэффициентами, зависящими от координат, с учетом того, что согласно второму уравнению (12) давление является функцией координаты ^ и времени Т. Выражения законов распределения скоростей и давления имеют вид

и,0 =

_1__д_

2 Е2^

др 1_ д т

(1 + ¥(0) + Р0 Ф(0

и,

С0

= -1-1 К*

2

д2Рп

2 д2

дРп

'< + ^Т (О + ^ Ф1(С)

Р- - ^

2Е2д^дт" ' д^дт~ ^ ' д^

2 л( 2, ,„Л ^ ^

2

:е а

йт 2

ит д^ г.т дт '

0 2 й/, й/1) 2 Е а —1 + 12 у —11 + -т 2 йт)

^ 0

I К 2Е2 адГ + 12 €) «

йг,

(15)

¥(0 = ^(еоа - ^1(ес) - 2^4(е£)ф(0 = 2^3(ес) - ^(еоб2 - 2^4(еоб,,

^1(ес) = сЬ е^ с08 е^, ^3(ес) = БЬ е^ sin е^/2, ^2(ео = [ сЬе^ 8ше^ + бЬе^ с08е^]/2,

^4(ес) = [ сЬе£япе£ - бЬе£008е£]/4, ^1(0 = -|^(С)йС, Ф1 (О = -|ф(С)йС,

0

0

0

Б1 = ( 8ЬЕ - 8Ш Е)/( 008£ + сЬе) , Б2 = ( 8Ш £ + 8Ь е)/( 008£ + сЬ£),

,0,5

е(ю) = (к0 ю/2v) , у(ю) = а(ю)

£ ( 8Ь £ - 8Ш £ )

2

6 £ ( сЬ £ + 008е) - 2е( 8Ь£ + 8Ш е) + 2( сЬ £ - 008е) £ ( £ ( сЬЕ + 008 £ ) - ( 8Ь £ + 8Щ £ ) )_

£ ( сЬ £ + 008 £) - 2 £( 8Ь £ + 81п е) + 2( сЬ £ - 008 Е)

Учитывая краевые условия (10), решение уравнения динамики трехслойной пластины представим в виде ряда по нормальным формам колебаний

М = МтЖ) = Мт £ (4 + Як(Т))[/0(Рк$)//0(Рк) - Шк$)ЩРк)]

(16)

к = 1

где Як , Як(т) — коэффициент и гармоническая функция времени, требующие определения; /0 — функция Бесселя нулевого порядка первого рода; 10 — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка; Рк — корень трансцендентного уравнения (к = 0, 1, 2, ...) /1(Рк)/10(Рк) = —/1(Рк)//0(Рк); -Л(Рк), ^(Рк) — соответствующие функции Бесселя первого порядка. Первые пятнадцать корней Рк приведены в [7].

Учитывая вид прогиба трехслойной круглой пластины (16) в выражении для давления (15), получим

Р0 = 1 ($2 - 1)

\ 2 й V, й

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Машиностроение»