научная статья по теме КОЛЕБАНИЯ ТОНКОЙ УПРУГОЙ ОРТО- ТРОПНОЙ КРУГОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ СО СВОБОДНЫМ И ШАРНИРНО ЗАКРЕПЛЕН НЫМ КРАЯМИ Математика

Текст научной статьи на тему «КОЛЕБАНИЯ ТОНКОЙ УПРУГОЙ ОРТО- ТРОПНОЙ КРУГОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ СО СВОБОДНЫМ И ШАРНИРНО ЗАКРЕПЛЕН НЫМ КРАЯМИ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 72. Вып. 3, 2008

УДК 539.3:534.2

© 2008 г. Г. Р. Гулгазарян, Л. Г. Гулгазарян, Р. Д. Саакян

КОЛЕБАНИЯ ТОНКОЙ УПРУГОЙ ОРТОТРОПНОЙ КРУГОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ СО СВОБОДНЫМ И ШАРНИРНО ЗАКРЕПЛЕННЫМ КРАЯМИ

Исследуется вопрос существования собственных колебаний тонкой упругой ортотропной круговой замкнутой цилиндрической оболочки со свободным и шарнирно закрепленным торцами и незамкнутой цилиндрической оболочки со свободным и шарнирно закрепленным краями, когда две граничные образующие шарнирно закреплены. С использованием системы уравнений, соответствующей классической теории ортотропных цилиндрических оболочек, получены дисперсионные уравнения и асимптотические формулы для нахождения собственных частот возможных типов колебаний. Приведен механизм, с помощью которого колебания расчленяются на возможные типы. На примерах замкнутых и незамкнутых ортотропных цилиндрических оболочек с разными длинами получены приближенные значения безразмерной характеристики собственной частоты и характеристики затухания соответствующих форм колебаний.

Известно, что у свободного края полубесконечной ортотропной пластинки независимо друг от друга существуют планарные и изгибные волны [1-3]. При искривлении пластинки два указанных типа движения оказываются связанными, давая начало двум новым типам локализованных у кромки волн (преимущественно тангенциальных и преимущественно изгибных). У свободного торца тонкой упругой цилиндрической оболочки происходит трансформация одного типа волнового движения в другой. При этой трансформации волн, в зависимости от геометрических и механических параметров оболочки, возникают сложные картины распределения частот собственных колебаний конечных и бесконечных цилиндрических оболочек со свободным краем [4-19].

Используя полученные ниже дисперсионные уравнения и асимптотические формулы для этих дисперсионных уравнений, можно, меняя геометрию оболочек и механические свойства материала, управлять спектром, смещая или начало спектра или точки сгущения из нежелательной области резонанса [20, 21].

1. Основные уравнения и постановка краевых задач. Предполагается, что образующие цилиндрической оболочки ортогональны краям оболочки. На срединной поверхности оболочки вводятся криволинейные координаты (а, в), где а(0 < а < I) и в(0 < в < s) -соответственно длина образующей и длина дуги направляющей окружности (фигура). Используются уравнения колебаний оболочки, которые соответствуют классической

теории ортотропных цилиндрических оболочек и записаны в выбранных криволинейных координатах а, в:

У

д2н1 Э2 u1 Э2и2 B12 Эи3

- ^да"-B66w- (Bl2+B66} дащ + ~я~да =Xui

d2Ui Э2 U2 д2 U2 B22 дыъ

-(Bl2 + B66} ЭаЭр - B66^- ^"Эв" + Rap -

Я'

( л2 л2 Л

о и2 д и2

4 566—1 + 522—2

ч да др у

Я

д3 и3

В 22 —3 + ( В12 + 4 Вбб )

др3

д3и3

дрда2

= Хи2

(1.1)

ц

В

д и3

д и3

11—3+ 2 ( В12 + 2 В 66 ) —2—2

+ В

Л

д и3

V

да

да2 др2

22

др4

4/

д3и2

В22—т + (В12 + 4 В66)

V

др3

д3и2

дрда2

В12д и1 В22д и2 В22 л

"Яэа "Т"эр + Я"и3 = Хи

Здесь и1, и2 и и3 - проекции вектора смещений соответственно в направлениях а, Р и нормали к поверхности оболочки, Я - радиус направляющей окружности срединной поверхности, ц4 = Н2Ц2 (Н - толщина оболочки), X = ю2р, где ю - угловая частота собственных колебаний, р - плотность материала, В^ - коэффициенты упругости [22].

Рассматриваются следующие граничные условия:

д и1 В12 /ди2

да + ВЦIЭр"

3В -3 +

да

и3

а = 0

ди2 ди1 4ц4^д и3 1 ди2Л = "да + "др + Я1дадр + Я дау

2

ди

3 + """"12 2 Вц

2

ди

дР

3 1 ди2 2 + Я ЭР

а = 0

д3и3

да3

В12 + 4 В66

3

ди

В

= 0

0

дадр

2

3 1 д и - +

2

Я дадр

(1.2)

а = 0

д и1 В12 /ди2 и3

да+вц I эр =г = и21а=1

и1 (а, Р) = и1 (а, р + ^), 1 = 1, 2, 3

а = I

2

ди да

3 +

2 В11

2

ди

дР

3 1 ди2 2" + Я "др"

а = I

0 (1.3)

(1.4)

В12 ди1 ди2 В22 да др

Я

Р = 0, 5

1| Р = 0,

и3| р = 0,

В12 д\ В

2

д и3

1 ди

22 да2 др2 Я др

+Я--

0 (1.5)

Р = 0, 5

Граничные условия (1.2)-(1.4) соответствуют замкнутой цилиндрической оболочке; соотношения (1.2) выражают условия свободного края при а = 0, (1.3) - условия шарнирного закрепления края при а = I, а (1.4) - условия периодичности колебаний, где 5 - полная длина направляющей окружности срединной поверхности. Граничные условия (1.2), (1.3), (1.5) соответствуют цилиндрической оболочке открытого профиля; соотношения (1.5) являются условиями шарнирного закрепления по образующим Р = 0 и Р = 5, где 5 -длина дуги окружности срединной поверхности между шарнирно закрепленными образующими (фигура).

Можно доказать, что задачи (1.1)—(1.4); (1.1)—(1.3), (1.5) самосопряженные и имеют неотрицательный дискретный спектр с предельной точкой на ([12], с. 362).

2. Вывод и анализ характеристических уравнений. В первом, втором и третьем уравнениях системы (1.1), спектральный параметр X формально заменяется на Х^ Х2, и Х3 соответственно. Для последующих вычислений целесообразно систему уравнений (1.1) (с указанными изменениями) свести к системе уравнений

4

Г + Ц- БО

Я2

Л 1 д ' и1 = Я д-а

Аи3 + ц

4В22 (В12 + В66) д

В11В66

2 ц4 В12 В22

1иъ + —2 ВТ ВТ Би3 др2 Я В11В66

3

5

/

4

\

Г + Ц DG

к R у

U2 _ Rde (Виз- Шиъ)

ГОи3 + —-R

/

2

г - в ^i-Br А

Эр2 В22 Эа2

и3 + ц

д2 ч\

DGO + 2 LB—^

эр2.

(2.1)

и3+

R

В„

DB + -1-" D

2

В

11 Эа

2

8Г2„" и3

и3 - ц L G

эр

где

А :

Г

В12 Э2 В22 Э2 В12 А2

Bii Эа2 В11 Эр2 В11В66

4

D D Э2 В22 Э2 В22 D В11В22- в22- В12В( ,В _ + + В1 _ "

66

1 Эа2 В11 ЭР2 В11

66

В11В66

+ В2 Э'

Эа

4

А 1 А 2

Эа2Эр2 В11 Эр4 ' ^Вп' Вбб^Эа2 ' ВВ66 ' Вп^Эр2 ' В11В66

В22 Э Г А 1 ^2 ^ Э

В2 2 + ^ Э2 ВВ

В2 =

В11 В 22 - В12 - 2В 12В66 В11В66

D _

4 В66 _Э"

В

(2.2)

д G _ В22 Э В22 Э В22 А 1

2+дв2' _ В66 вц вЦв~

22 Эа2 Эр

L

Эр2

В12 + 4 В66

В22 Эа2

' О _ ц

Вп Э4 2(В12 + 2В66) Э'

4

В

22 Эа

В22 Эа2Эр2 Эр4,

В

22

Вводятся обозначения: к = 2яп0/,5', п0 е N для замкнутой цилиндрической оболочки и к = л/у для цилиндрической оболочки открытого профиля. Пусть Я1 = кг0/2, где г0 - безразмерный параметр. Решение системы (1.1) ищется в виде

(и1; и2, и3) _ (usmsinkm^,vcmcoskmp, sinkmP)exp(к%а), m _ 1, 2,...

(2.3)

Здесь ш - волновое число, иуш, - неопределенные коэффициенты, % - неопределенный коэффициент затухания. При этом условия (1.4) и (1.5) выполняются автоматически и поставленные задачи решаются аналогичным образом, если придавать параметру к разные значения. Подставляя выражения (2.3) в систему (2.1), получаем

2

Г Г0 2 roX I 2

[Ст +4 a 8mdm) ит _ ~ j йт - am

2 2В22(В12 + В66^ Г2 2В22В12 ,

В11 В66

4 ВПВ,

66

Cm +4 a 8mdmjUcm 2 {bm a 8m¿m}

r o m.

(2.4)

(2.5)

r01 о В 12 2 2 2

RmmCm + 4j Cm + m bm — В X am + a (Rmmgmdm — 2m ¿mbm) +

Г22 Г В12 2 \ 42 2i

+ 4 a dm+ В-"X ) + a m 8mL Г _ 0

(2.6)

В12 2 В22 2 В12 2

2 4,2

am _ В""X + —m + —П2' bm _ В1Х - —m + —П1' a = Ц k

2 В 22 2 В 22 2

В

11

В

11

В

В

4

0

+

2

2

4 В22 4 „ 2 2 (В66 2 2^ 2 (В22 2 В66 2^ 2 В66 2 2

х + ВЦт - В2Х т + [ВЦП1 + П2ух - (в2"П1 + вцП2ут +;в6"6пп-

66 2 2 22 2 22 2 22 2 Лт = -"г""— X - т . ¿т = "5- X --¡Г"т +-"""""- П1. 1т =

В 22 2 В 22 2 В 22 2

В12 + 4В66 2 2

(2.7)

В

11

В

66

В1

В1

В

" X - т

22

Ятт = а'

В и 4 2(В12 + 2В66)т2 2 4 Б- X--5-X + т

В

22

В

22

В66 2 2 Х; ""В"Пз; П,- = -о. 1 = 1 2 3

22

В66 Г

Пусть X) (/ = 1, 2, 3, 4) - попарно различные нули уравнения (2.6) с неположительными действительными частями, тогда х5 = -XI, X6 = X'? = X8 = - также попарно различные нули этого уравнения. Пусть (и^), и21), )) нетривиальные решения вида (2.3) системы (1.1) при X = X/ (/ = 1, 2, •.., 8) соответственно. Представляя решение задач (1.1)-(1.4) и (1.1)-(1.3), (1.5) в виде

и1 = I wJu¡ 1). I = 1, 2, 3 ) = 1

и учитывая граничные условия (1.2),(1.3), получаем систему уравнений

I

м т */

= 0. I = 1, 2, ..., 8

/ = 1 с(/) + ""0 ау /)Л (/)

*-т ^ 4 " 6т ^т

Здесь

(2.8)

2

МГГ = XX" -ВВ"2 ^ £) + 5 а2^ С (т2- ) -

В 11

2 2В22,(/)( 2 В12 2 В12 2 - а т В""" 1т [X / + В"""т " В""" П1

4 В 2 т

В11

< = «X i\ ат) + ьт) + а2

„(1) ,(1)(В22 2 В12 В22 2 В22 2

Л 7\ V / I ¿.А ¿.А ¿.А

4ст - 1т [ В~X/ + В-В-т + В-П1

[В66 В11В66 В11

+ .0 а2 (4ьт) + В12 ^(1)

__4 а2—уУ /)

7} 7} "т 7} Л/от

В11В66 В22

„Лт) ( 2 В12 2^ (/) г0

^ = ^""вЦт УСт +4

2 2 (1) а X-¿т

В66 2 В11В22 — В12 2^ X /--"="—^-т

В К1

В22

В11В22

В12 2, (/) — — т Ь т В11

(2.9)

м4т) = X / \ы-В12+4 В

2

66 2^ (/) г0 ВЦ—т У Ст + 4

2 2 (/)( 2 В12 + 4 В

а X /<?т [ X /

В

66 2 1 —т -

11

В12 + 4В66 2, (/) 2 2 В12 + 4В66 (/),(/)' ■ т Ь^ + а т ---¿тт

В1

В1

с

т

8

8

Мт) = <) ехр (Zj), ) = (^) - а2 ^ } ехр (zj), = к х ¡1

2

М(у) = (С. + 4а^}ехрЦ.), <) = М?ехр(Zj), } = 1, 2,..., 8

Верхний индекс} в скобках означает, что соответствующая функция взята при х = X/ Чтобы система (2.8) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы

} 8. = 1 = 0 (2.10)

Численный анализ показывает, что левая часть этого равенства становится малой, когда любые два корня уравнения (2.6) становятся близкими друг к другу. Это сильно усложняет расчеты и может привести к появлению ложных решений. Оказывается, что множитель в левой части равенства (2.10), стремящийся к нулю при сближении корней, можно выделить. Для этого вводятся обозначения

^ = m j = 1. 2,..., 8; nm = m ¿ = 1 2' 3 em = = 1 + 4«2*2<¿

ехр (z¡) - ехр (z¡) [Z¡Z:] - [z¡zk]

[z1■Zj] = -- кт1, [z¡ZjZk] = —--кт1

z¡ Zj Zj zk

[ ] [z1z2z3] - [Z1Z2Z4], ,

[ z1z2z3z4] = -кт1

1 2 3 4 Zз-Z4

61 = 61 (—1, —2, —3, Х4) = Х1 + Х2 + Х3 + Х4

62 = б2(Х1' Х2' Х3' Х4) = Х1Х2 + Х1Х3 + Х1Х4 + Х2Х3 + Х2Х4 + Х3Х4 (2.11)

63 = Оз(-1, -2, Х3, —4) = —1 -2 —3 + —1 -2 —4 + —1 —3—4 + -2 —3—4

о4 = о4(—4) = —2—3—4, бк = ок(0), бк = ок(0, 0) к = 1, 2, 3, 4

При этом б4 = 64 = б3 = 0.

Пусть /п(п = 1, 2, ..., 6) - симметрический многочлен п-й степени от переменных —1, л2, —4. Известно, что он выражается через элементарные симметрические многочлены единственным образом. Обозначая

/п = /п(б1. б2' б3> б4), !п = /n(б1, б2' б3> 0), /п = /п(б1. б2' 0 0) (2 12)

П = 1, 2, ..., 6

2 3 4 2 2

/1 = /2 = б1-б2, /3 = б1-2б1

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»