ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА Том 74. Вып. 5, 2010
УДК 539.3:534.1
© 2010 г. Д. П. Коузов, Г. В. Филиппенко
КОЛЕБАНИЯ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ, ЧАСТИЧНО ПОГРУЖЕННОЙ
В ЖИДКОСТЬ
Рассматриваются свободные колебания упругой пластины, расположенной ортогонально дну безграничного открытого водоема постоянной глубины. Водоем заполнен сжимаемой жидкостью, пластина выступает над свободной поверхностью и жестко скреплена с дном. Гравитационные эффекты не учитываются. Находится аналитическое представление акустического поля в жидкости и вибрационного поля в пластине. Вычисляются собственные частоты и собственные формы колебаний в зависимости от высоты уровня жидкости. Рассмотрен приближенный подход к расчету колебаний пластины.
Прохождение акустических волн сквозь ортогональную тонкую упругую перегородку в цилиндрическом или плоском волноводах рассматривалось ранее [1—6] при условии, что пластина (или мембрана) перекрывает канал волновода, но не выходит за его пределы.
В качестве обобщения этой модели были рассмотрены свободные колебания закрепленной мембраны, перекрывающей канал плоского волновода и выступающей над поверхностью жидкости; было построено точное аналитическое представление поля смещений мембраны и поля давлений в акустической среде [7], причем задача рассматривалась как гранично-контактная [8—10] с гранично-контактными условиями на линии пересечения мембраны с поверхностью жидкости.
В отличие от известных моделей [1—6] в новой модели [7] волновод имеет частоту отсечки, т.е. частоту ниже которой в нем невозможен распространяющийся волновой процесс. Низкочастотные колебания в нем локализуются вблизи источника волнового поля. Расположенные в таком волноводе механические объекты с собственными частотами ниже частоты отсечки обладают незатухающими формами колебаний. Такими объектами могут быть, например, контактирующие с волноводом упругие тела [7] и резонаторы, образованные расширением канала волновода [11]. Локализованные колебания теоретически могут иметь место также и в случае, когда в волноводе существуют распространяющиеся нормальные волны [6, 12], но при этом существование незатухающих собственных процессов возможно лишь при некоторых дополнительных условиях.
Ниже, в развитие предложенной ранее модели [7] рассматривается случай, когда упругим объектом, перекрывающим волновод, служит не мембрана, а пластина. Цель работы — расчет собственных частот и форм колебаний пластины для диапазона частот, когда распространение нормальных волн в волноводе невозможно.
По сравнению с мембраной более высокий порядок уравнений, описывающих колебания пластины, порождает, более богатый ассортимент условий на ее концах. Приводятся дисперсионные уравнения и расчеты собственных частот для пластины, как закрепленной с обеих сторон (расчетные кривые внешне сходны с соответствующими кривыми для мембраны, приведенными ранее [7], хотя и сильно разнятся количественно), так и для случая свободного верхнего края пластины, которые не имеют физически оправданных аналогов для мембраны (модель свободного края для мембраны достаточно искусственна с точки зрения приложений и ранее [7] не рассматривалась).
В заключение рассматривается вопрос о приближенном подходе к расчету колебаний пластины и степени его правомочности. При таком подходе (пригодном, в отличие от точного под-
У' ч
н /
— / ^^^^
////////// / X
Фиг. 1
хода, только при частотах ниже частоты отсечки) пластина предполагается состоящей из двух частей. Для непогруженной части используется традиционное описание, а погруженная часть моделируется как "утяжеленная пластина": к ее линейной плотности добавляется линейная плотность присоединенной массы жидкости.
1. Постановка задачи о колебаниях пластины, выступающей над поверхностью жидкости. В декартовой системе координат фиг. 1 рассматривается двумерная задача о свободных колебаниях упругой пластины высоты Ь и бесконечно протяженной в горизонтальном направлении. Пластина жестко, ортогонально скреплена с дном безграничного водоема глубины Н, пересекает слой жидкости и возвышается над ее свободной поверхностью. Процессы предполагаются не зависящими от аппликаты %, которая направлена вдоль пластины.
Для нахождения точного аналитического представления акустического поля в жидкости и поля изгибных смещений в пластине ниже приводится полная математическая постановка соответствующей гранично-контактной задачи [8—10], в которой помимо граничных условий на границе среды (на дне, на свободной поверхности, на месте контакта с пластиной) ставятся контактные условия в месте скрепления пластины с дном и в месте пересечения ею свободной поверхности жидкости.
Акустическое давление Р(х, у) в жидкости подчиняется уравнению Гельмгольца
(А + к2)Р(х,у) = 0, - да < х < х Ф 0, 0 < у < Н; к = ш/с
где к — волновое число, с — скорость распространения звука в жидкости.
Зависимость всех процессов от времени предполагаем гармонической с круговой частотой ю, множитель ехр(-т 0 условимся всюду опускать.
Поверхность у = Н жидкости предполагаем свободной, а дно у = 0 канала жестким, что приводит к граничным условиям
Р(х,Н) = 0, дР(х'0) = 0; -ю< х
ду
(1.1)
Изгибные смещения С выступающей из жидкости части пластины будем описывать с помощью традиционного уравнения теории тонких пластин [13]
й" "4 С (У) = 0, Н < у < I; к4 (1.2)
йу
Здесь к — волновое число в пластине, р^ — плотность материала пластины, Н — ее толщина, Бс — цилиндрическая жесткость.
Для погруженной части пластины, на границе пластина — жидкость, имеют место два соотношения: динамическое (баланс сил действующих на пластину)
-с
й* 4 -7-К
с (у) = Р(-0,у) - Р(+0,у), 0 < у < Н (1.3)
I йу
и кинематическое (безотрывность движения жидкости)
«у) ^, 0 < у < Н (1.4)
Р„Ю ох
где рж — плотность жидкости.
Граничные условия (1.1), (1.3) и (1.4) дополняются контактными условиями в точке жесткого задела пластины в дне
й = 0, т = 0,1 (1.5)
йут
выражающими отсутствие сдвига и поворота пластины в точке крепления, и условиями
ЛЖ + О) _ й%(Н - 0) = 0, т = 0,1,2,3 (1.6)
1 т ] т ' ' ' ' у '
йу йу
в точке, где пластина пересекает свободную поверхность жидкости. Здесь непрерывны как смещения (т = 0) и повороты (т = 1), так и перерезывающая сила (т = 3) и изгибающий момент (т = 2), что соответствует отсутствию сосредоточенного в этих точках воздействия жидкости на пластину.
Условия на верхнем конце пластины у = I зададим в виде двух равенств (при двух значениях )
¿Ш = 0 (1.7)
1 т 4 '
йу
При т = 0 и т = 1 эти равенства соответствуют жесткому закреплению пластины, т.е. отсутствию на ее конце смещения и поворота. При т = 2 и т = 3 равенства (7) соответствуют свободной кромке пластины, фиксируя отсутствие на ней изгибающего момента и перерезывающей силы. Можно рассмотреть и другие граничные условия, например, шарнирное закрепление.
Предполагая отсутствие на бесконечности источника поля, будем учитывать только волны, расходящиеся от пластины, и волны, затухающие по мере удаления от нее.
Определенная условность рассматриваемой модели состоит в том, что она не учитывает гравитационные волновые процессы в жидкости. Гравитационные волны представляют собой канал рассеяния энергии, который всегда открыт, и тем самым колебания пластины должны затухать. Однако интенсивность этого процесса на тех
частотах, которые будут рассматриваться, значительно меньше, чем для акустических нормальных волн (когда открыт акустический канал), и поэтому в простейшем теоретическом рассмотрении его можно не учитывать. Ниже (разд. 4) с использованием расчетных данных будет отдельно рассмотрен вопрос о правомочности такого упрощения и связанных с ним погрешностях.
Также не учитываются симметричные (продольные) волны в пластине, взаимодействующие со средой вследствие пуассоновских сжатий и расширений. В силу симметрии модели относительно вертикальной координаты процессы в такой модели расщепляются на симметричные и антисимметричные, проходящие независимо. Нахождение симметричных движений может быть найдено путем решения соответствующей гранично-контактной задачи, решаемой сходным образом.
2. Общее представление акустического и вибрационного полей. Ближайшая цель — нахождение собственных частот свободных колебаний пластины и соответствующих им изгибных форм в предположении, что рассматриваемая частота ниже частоты отсечки волновода. Точное выражение для смещений пластины можно получить только при одновременном точном определении и акустического поля в жидкости. Таким образом, приходим к гранично-контактной задаче [8, 9] для уравнения Гельмгольца относительно акустического давления в жидкости, которое будем искать в виде разложения по плоским волнам (нормальным модам волновода). Сначала, согласно традиционной схеме решения гранично-контактных задач, найдем общее решение задачи, удовлетворяющее всем условиям, кроме гранично-контактных. Такое решение должно содержать восемь неизвестных постоянных (по числу гранично-контактных условий).
Ввиду антисимметрии процесса, акустическое поле в жидкости будем искать в виде (в этой формуле и далее суммирование ведется от n = 0 до n = +»)
P(x, y) = sign(x )X Anfn(y) exp (ik n|x|) (2.1)
где
fn(y) = cos(^пУ), Иn = H(n + 2)' ^n = Vk2 - \L2№ n = 0,1,2,...
При k < цn мнимая часть Xn предполагается положительной (в этом случае
Xn = iд/цП - k2, где значения радикала n - k2 предполагаются арифметическими). Выражение (2.1) представляет собой разложение по нормальным волнам волновода, расходящимися от пластины (k > ц n) или экспоненциально убывающими (k < цn) по мере удаления от нее.
Заметим, что в случае симметричных колебаний пластины решение надо было бы искать в виде
P(x, y) = X fn(y) exp (ik n |x|)
Схема решения оставалась бы той же.
Учитывая представление (2.1) запишем уравнение колебаний пластины (1.3) в виде
D
d4 4
TT-к dy
Z(y) = Z(-2A)fn(y)
Общее решение этого неоднородного уравнения складывается из общего решения однородного уравнения
z 0(y) = A cos ky + B ch ky + C sin ky + D sh ky
(2.2)
и частного решения неоднородного уравнения и представляется в виде
С (
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.