М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 4 • 2012
УДК 532.516
© 2012 г. С. Н. ОВЧИННИКОВА
КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЯ КУЭТТА ПРИ ВРАЩЕНИИ ЦИЛИНДРОВ В ОДНУ СТОРОНУ
В работе приводятся результаты расчета точек бифуркации коразмерностей 1, 2 и 3 в задаче об устойчивости течения Куэтта между вращающимися в одну сторону цилиндрами. Эти точки интересны тем, что в их малой окрестности возможно изучать аналитически, вполне строгими методами, последовательности бифуркаций течений жидкости, включая развитие хаотических режимов. Найдено, что при большой скорости вращения обоих цилиндров изменяется характер нейтральных кривых, соответствующих точкам бифуркации коразмерности 1, а также появляются разнообразные пересечения двух и трех нейтральных кривых (точки бифуркации коразмерности 2 и 3).
Ключевые слова: нейтральные кривые, бифуркация высоких коразмерностей, резонансы, амплитудные уравнения.
Начиная с работы Дж. Тейлора (1923 г.) и до сих пор появляется большое число экспериментальных и теоретических работ, в которых изучается потеря устойчивости течения Куэтта между соосными вращающимися цилиндрами и возникновение вторичных, третичных и прочих режимов движения. В [1] проведен обзор экспериментальных работ за последние годы. В большинстве теоретических работ исследуется первая потеря устойчивости течения Куэтта, которая происходит при наименьших критических значениях чисел Рейнольдса.
Если цилиндры вращаются в одну сторону (отношение их угловых скоростей П > 0), то первой потере устойчивости всегда отвечают стационарные вращательно симметричные возмущения. В экспериментах же [1—3] при О > 0 и О < 0 наблюдается большое число различных устойчивых стационарных и колебательных течений жидкости между цилиндрами, возникающих после потери устойчивости течением Куэтта. Появление каждого из таких течений зависит от пути движения в пространстве параметров к заданному значению числа Рейнольдса Я.
Объяснить появление таких режимов течения можно, рассматривая поведение нелинейной системы Навье—Стокса в малой окрестности точек бифуркации высоких коразмерностей. В этих точках линеаризованная на течении Куэтта система Навье— Стокса имеет несколько независимых ненулевых решений (нейтральных мод), нелинейное взаимодействие которых (точнее, слегка измененных) можно описывать с помощью нелинейных амплитудных уравнений на центральном многообразии. Один из типов амплитудных систем впервые был построен и исследован в работах [4—6] для цилиндров, вращающихся в противоположные стороны. Исследование таких систем открывает уникальные возможности для наблюдения вторичных, третичных и т. д. режимов, вплоть до развития хаоса в системе. Так, вычисление точек бифуркации коразмерности 2 и расчет коэффициентов амплитудных уравнений позволили провести конкретный анализ возможных режимов движения жидкости вблизи течения Куэтта [7, 8].
Рассматриваемая задача обладает цилиндрической симметрией и зависит от безразмерных параметров: п — отношение радиусов, ^ — отношение угловых скоростей ци-
линдров, R — число Рейнольдса. Предполагается, что течение жидкости между цилиндрами имеет 2п/а -периодичные вдоль оси цилиндров скорость и давление (а — заданное осевое волновое число). При всех значениях параметров существует точное стационарное врашательно симметричное решение системы уравнений Навье—Сток-са — течение Куэтта.
В силу цилиндрической симметрии у линеаризованной на течении Куэтта задачи имеет место разделение переменных: переменные осевая z, азимутальная 0 и время t
at-i(kaz+m6) .
отделяются посредством множителя е , где k — осевое и m — азимутальное
квантовые (целые) числа. Множество чисел а = ± i ю, для которых линеаризованная система имеет ненулевые решения при заданных R, а, Q, п, образует нейтральный спектр устойчивости Е° течения Куэтта. Критическими параметрами задачи являются такие значения, при которых в нейтральном спектре имеется хотя бы одно собственное значение.
Монотонная потеря устойчивости течения Куэтта происходит, когда в нейтральном спектре устойчивости находится единственное значение а = 0. При колебательной потере устойчивости в имеется пара чисто мнимых собственных значений а = +irnm. B [9] строго доказано, что существует упорядоченная по возрастанию последовательность критических чисел Рейнольдса R = R(p)(a, , p = 12,... при m = 0 и 0 <Q<Q s,
где Q s = 1/n — граница Синга (Synge). Существование такой последовательности во всех остальных случаях подтверждается результатами расчета.
При фиксированных Q и п в пространстве П параметров (R, а, Q, п) существуют нейтральные кривые R = R(p)(a). В малой окрестности каждой точки нейтральной кривой течение Куэтта теряет устойчивость, и появляется устойчивое или неустойчивое вторичное течение. Вектор его скорости разлагается в ряды Ляпунова—Шмидта по малому параметру надкритичности [9, 10].
Точки пересечения нейтральных кривых являются точками бифуркации высоких коразмерностей. Амплитудные системы для них выводятся с помощью теоремы о центральном многообразии [6] или с помощью осреднения по быстрому времени [4, 11]. Если в такой точке выполняется резонансное соотношение между параметрами задачи, то у соответствующей амплитудной системы появляются дополнительные резонансные слагаемые. В точках пересечения двух нейтральных кривых с различными ненулевыми квантовыми числами (m, k) и (n, l) существует шесть резонансных соотношений [11], которым отвечают амплитудные системы (резонансы Res 1 — Res 6), отличающиеся друг от друга ведущими кубическими слагаемыми. Когда не выполняется ни одно из резонансных соотношений, амплитудные уравнения содержат лишь слагаемые, отвечающие обязательным, всегда присутствующим резонансам (нерезонансный случай Res 0).
При вращении цилиндров в одну сторону (Q > 0) удалось найти точки бифуркации коразмерности 2 с различными азимутальными числами (m Ф n), которым соответствуют три типа амплитудных систем (Res 0, Res 1 и Res 3). При значениях Q близких к Qs также обнаружены точки пересечения двух нейтральных кривых с одинаковыми азимутальными квантовыми числами (m = n), отвечающих разным по порядку критическим числам Рейнольдса (R(p)). Они являются точками резонанса Res 1, если равны и осевые квантовые числа (k = /). Такие пересечения интересны тем, что после их появления при Q ^ нейтральные кривые R = R(1)(a) становятся замкнутыми и, постепенно уменьшаясь, исчезают.
В настоящей работе приведены результаты расчета первых двух критических чисел Рейнольдса в случае О > 0 для различных азимутальных квантовых чисел. Вычислены точки бифуркации коразмерности 2, которым соответствует нерезонансный случай Res 0, точки резонанса Res 1, в которых выполняются одно из резонансных соотношений (m ^ n, l = k) или (m = n, l = ^ ran), и резонанса Res 3 (m = 3n, l = k, = 3ran). Найдено несколько точек пересечения трех нейтральных кривых (точек бифуркации коразмерности 3).
1. Постановка задачи. Течение вязкой несжимаемой жидкости между двумя бесконечными соосными твердыми цилиндрами радиусов г\, вращающимися с угловыми скоростями Qj, Q2 соответственно, описывается безразмерными уравнениями На-вье—Стокса
+ Av = Vp + RL(v, v)
dt 1 ' (1.1) V-v = 0
где v = (ur, ug, uz) — скорость течения, p — давление, r,0, z — цилиндрические координаты, ось z направлена вдоль оси цилиндров, R = Q^ d /v — число Рейнольдса, v — кинематический коэффициент вязкости, d = п -1 — безразмерный зазор между цилиндрами, n = r2/r1 — отношение радиусов цилиндров. Дифференциальные операторы A, L и V задаются выражениями
Ь - 2,, (Av)0 = Аив - * + \^ r r дб r r дб
(Av)z = А Uz, А = ^—r + 1 д + 1 ?
z dr2 rdr r2д92 dz2
(L(v, u))r = ur ^ + U0^ + uz ^ - UUä дr r дб дz r
,т, чч ди0 u0 ди0 ди0 u0ur (L(v, u))0 = ur —0 + -a—0 + uz —0 +
дr r дб дz r
,T, u ди u0 дuz дuz
(L(v, u)) z = ur —z + ——z + uz —z дr r дб дz
v = fi д r 1 д д
Vгдг г 58 д,) На твердых границах выполняются условия прилипания
иг = и, = 0, и0 = 1/(п- 1), Г = 1/(п - 1) иг = и, = 0, и0 = Щ/(п - 1), г = п/(п - 1)
При любых значениях параметров Я, О = О2/О1 и п задача (1.1) имеет точное стационарное решение — течение Куэтта с вектором скорости V 0(г) = (0, и00(г), 0) и давлением р0 = -|и10(г)/гйг, где
- аГ + Ь а -ПП2 - 1 и _ (П- 1)П2
и06 _ аг + -> а _—2-' и _--2-2
г п2 - 1 (П -
Уравнения движения, линеаризованные относительно течения Куэтта, имеют вид
— + (А - ЯК)и = Vа
дг
V- и = 0 (1.2)
и = 0, г = п/(п -1),г = 1/(П - 1), где и, а — возмущения скорости и давления, линейный оператор =
= Д(и, V о) + Ц\ о, и) = Д0(и, V о).
Как система (1.1), так и линеаризованная задача (1.2) обладают группой симметрии О = 50(2) х 0(2), так как уравнения инвариантны относительно вращений вокруг и сдвигов вдоль оси цилилиндров, а также относительно преобразования инверсии, которые действуют по правилам
(Ди)(г, г, 9, z) = и(г, г, 9 +5, z) Д и) (г, г, 9, z) = и(г, г, 9, z + Н) (1и)(г, г, 9, z) = (иг (г, г, 9, -z), и0(г, г, 9, -г), -иг (г, г, 9, -г))
Симметрия задачи позволяет разыскивать нейтральную моду (ненулевое решение) системы (1.2) в виде
и = Ф(г, г, г, 9) = е'(<м-"г)ф(г), а(г, г, г, 9) = е'(<м-т0-каг) р(г)
В [12] доказано, что у линейной задачи (1.2) нет ненулевых стационарных враща-тельно симметричных решений (ш = 0, ют = 0) при ^ > В наших расчетах не удалось найти критические параметры и для несимметричных возмущений (т ф 0), если ^ >
При 0 < ^ < ^5 существует [9] упорядоченная по возрастанию последовательность критических чисел Рейнольдса Я(р)(а, ц, Ц)
Я® < Я*2) < Я*3) < ... (1.3)
которым отвечает монотонная потеря устойчивости m = 0, ют = 0. В [13] этот результат распространен для небольших по модулю значений О < 0. Последовательность
критических чисел Я^р) вычислена и для несимметричных возмущений при любом отношении угловых скоростей цилиндров, причем для некоторых значений ^ вблизи границы Синга (^ = ^ ^) нарушаются строгие неравенства [1, 3].
В четырехмерном пространстве П параметров задачи (Я, П, п, а) существуют трехмерные семейства критических значений Я(р)(^, ц, а) для различных квантовых чисел m и k. Если в П зафиксировать дв
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.