КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, 2004, том 49, № 4, с. 628-633
ТЕОРИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР
УДК 548.0
КОМБИНАТОРНЫЙ АНАЛИЗ КРИСТАЛЛОВ
© 2004 г. Н. Л. Смирнова
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова E-mail: snl194@mail.ru Поступила в редакцию 04.11.2002 г.
Установлены алфавитные и конкретные, частичные и полные вершинные коды кристаллов алмаза и ряда проекций Шлегеля. Полученные коды сопоставлены с кодами типов атомного окружения.
Уже в начале прошлого века были установлены сверхструктуры, образованные в результате упорядоченного размещения атомов по позициям плотнейших упаковок, или, иначе, упорядоченные изоморфы. В это же время был расшифрован ряд структур слоистых силикатов, образованных из небольшого числа слоев. Эти слои, названные впоследствии Н.В. Беловым сердечником и кольчугой, комбинируются, образуя смешанные слои, переложенные промежуточными слоями. В результате возникают упорядоченные или неупорядоченные изоморфы. Проведенное нами моделирование возможных сверхструктур, исходя из универсального закона полярности, неиндифферентности (предпочтения) и закона малых чисел, выявило небольшое число моделей сверхструктур-родоначальников и ограниченные или непрерывные политипные, гетерополитипные ряды между ними. Сопоставление полученных моделей примерно со 100 расшифрованными структурными типами, их катионными, анионными мотивами подтвердило явления полярности, неиндифферентности и закон малых чисел как универсальные законы организации системы структурных типов. В 50-х гг. был сделан вывод, что все структурные типы образуются в результате упорядоченного изоморфизма (комбинаторики) элементов разной мерности от 0 до 3 (атомов, стержней, слоев, каркасов и др.) [1].
Перечисление и комбинаторный анализ разнообразия кристаллографических простых форм и их комбинаций (внешних форм) алмазов приведены в [2] в связи с принципом симметрии-диссим-метрии П. Кюри. Следует отметить, что принцип Кюри является частным случаем универсального явления взаимодействия любого объекта и среды как двух матриц, определяющих воздействие их друг на друга [3]. Перечисление выявляет число возможных теоретически и реально существующих объектов. Последнее множество может пополняться.
Цель данной работы - представить систему кристаллов алмазов на основе признака, согласно
которому число составляющих изменяется от 1 до 4. Такие составляющие были выделены ранее в [4, 5]. Это трех-, четырех-, пяти- и шесиугольни-ки, обозначенные также буквами т, ч, п, ш [6]. Были введены алфавитные и конкретные коды вершин, частичных и полных вершинников. Под кодом вершины понимаем комбинацию примыкающих к вершине многоугольников и их число. Например, алфавитный код тчп означает, что к вершине примыкают треугольная, четырехугольная и пятиугольная грани. Конкретный код вершины содержит не только вид, но и число всех примыкающих граней: например, тчп(211) означает, что к вершине примыкают две треугольные, одна четырехугольная и одна пятиугольная грани. Конкретный код вершины можно также записать, пользуясь только цифрами. Для этого на первом месте ставится цифра, обозначающая число примыкающих к вершине треугольников, на втором - число четырехугольников, на третьем - пятиугольников, на четвертом - шестиугольников и т.д. Например, код вершины тчп(211) можно записать как 2110 (ноль означает отсутствие шестиугольников). Добавив к коду вершины 2110 число таких вершин внешней формы (2), получаем код частичного вершинника 2110(2). Вершинник внешней формы кристалла, координационного полиэдра, атомного окружения и их коды называются простыми, если они состоят из одного частичного вершинника, и сложными, если они состоят из нескольких частичных вершинников. Совокупность частичных вершинников простого или сложного вершинника и их код называют полной. Приведем примеры кодов вершинников тетраэдра, октаэдра, куба: алфавитные коды вершины - т, т, ч соответственно, конкретные - т(3), т(4), ч(3) или 30, 40, 03. Частичные вершинники 30(4), 40(6), 03(8) соответственно. Полные вершинники тетраэдра, октаэдра, куба состоят из одного частичного вершинника и поэтому имеют коды такие же, как и частичные. Гранный код состоит из 3-, 4-, 5-, 6-угольных гра-
Таблица 1. Частичные коды вершин 31 кристалла алмаза
ка в. 1а г. кк в. Число вершин (индексы конкретных кодов (кк) частичного вершинника) 1а вер. В-А 1а в. А Форма частичного вершинника
тчп 3 1110 2, 2, 2, 4, 4, 4 2-6 18 Ч, Ч
тчш 3 1101 1, 2, 2, 4, 6 4-5 15 Ш
тпш 3 1011 2, 3, 4, 4, 6, 8 5-6 27 Ч, Ч, Ш, куб
чпш 3 0111 1, 2, 4 3-3 7 тетраэдр
тч 3 12 1, 1, 2, 3, 4, 4, 6 5-7 21 Ч, Ч, 3-призма
тп 3 1020 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 6 6-11 36 Ч, диэдр, 3-призма, октаэдр
тш 3 1002 2, 2, 12 2-3 16 Лавеса полиэдр
чп 3 0120 1, 1, 2, 2, 3, 4 4-6 13 Ч
чп 3 0210 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 10 5-11 33 Ч, Ч, 5-призма
чш 3 0201 1, 2, 2, 4, 12 4-5 21 Ч, 6-призма
тчп 4 1210 1, 1, 1, 2 2-4 5 1, 2
тчп 4 2110 1, 2, 2 2-3 5 1, 2
тч 4 22 1, 2, 2, 3, 4 4-5 12 Ч
тп 4 2020 1 1-1 1 1
т 3 30 4 1-1 4 тетраэдр
ч 3 03 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 8, 8 5-9 30 Ч, 4-призма, 4-призма
п 3 0030 1, 1, 1, 6 2-4 9 октаэдр
тч 4 13 1, 2 2-2 3 1, 2
тч 4 31 3 1-1 3 Т
тп 4 3010 3 1-1 3 Т
т 4 40 6 1-1 6 октаэдр
X 68 21 62-95 288
Примечания: ка - код алфавитный, кк - код конкретный, в. - вершина, вер. - вершинник, инд. - индексы, 1а - число граней г., В - число разных кодов вершин, А - число всех кодов. Нули, стоящие на последних двух местах в кодах не выписаны. Т -треугольник, Ч - четырехугольник, Ш - шестиугольник, 3-6-призма - 3-6-угольная призма.
ней и их числа. Например, гранный код тетраэдра, октаэдра, куба будет 3(4), 3(8), 4(6).
В [6] для атомных окружений установлены теоретически возможные 14 алфавитных кодов (ка) вершин из разных комбинаций букв т, ч, п, ш и 47 конкретных кодов (кк): т(1, 2, 3, 4, 5), ч(1, 2, 3), тч((1, 2, 3, 4)1, (1, 2)2, 13), п(1, 2, 3), тп((1, 2, 3, 4)1, (1, 2)2), чп((1, 2)1, 12), тчп((1, 2)11, 121), ш(1, 2), тш((1, 2, 3)1, 12), чш((1, 2)1, 12), тчш(( 1, 2)11), пш((1, 2)1, 12), тпш((1, 2)11), чпш( 111). Для примера выпишем более подробно: чш((1, 2)1, 12) - это чш(11), чш(21), чш(12). Эти коды выведены для углов т, ч, п, ш, равных 60°, 90°, 109°, 120° соответственно. Указанные выше коды могут быть у реальных кристаллов. Но могут быть и дополнительные, отличающиеся от приведенных выше, так как в реальных кристаллах углы могут отличаться от правильных.
Приведем 21 конкретный код вершин кристаллов алмазов. Для сравнения знаком "плюс" обозначены коды вершин кристаллов, аналогичные
кодам типов атомных окружений из [6]: Т: т (+3, +4), Ч: ч (+3), тч (+12, +22, +13, +31), П: п (+3), тп (+12, 31, 22), чп (12, 21), тчп (111, 211, 121), Ш: ш, тш (12), чш (+21), пш, тчш (111), тпш, (111), чпш (111). Всего наборов индексов (цифр в скобках), указывающих число одинаковых и разных примыкающих к вершине граней, семь: 3, 4, 12, 22, 13, 111, 112. Число разных типов многоугольников, примыкающих к одной вершине, не бывает больше трех: один многоугольник - индексы 3, 4, два -индексы 12, 22, 13, три - 111, 112. Всего многоугольников, примыкающих к одной вершине, может быть три (индексы 3, 12, 111) или четыре (индексы 4, 22, 13, 112). В вершинах с индексами 22 и 112 многоугольники при вершине могут быть размещены по-разному: 22 ттчч, тчтч, 2020 тптп, 211 ттчп, 121 тччп, тчтп, тчпч. Не обнаружено комбинаций ттпп, а также ни одного из вариантов с двумя ш.
Каждая вершина в кристалле повторяется 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 или 12 раз, образуя частичные вер-
Таблица 2. Полные вершинные коды кристаллов алмазов
Гранные коды кристаллов 0 Аг г.к.-вер.к. 1а г.-в. Полные коды алфавитные (ка) кристаллов Полные коды конкретные (кк) кристаллов
+3(4) 43т 4-4 1т +30 (4)
+3(8) т3т 8-6 1т +40 (6)
4(6)а 2тт 1-1 6-8 1ч +03 (8)
4(6)6 3 т 6-8 1ч +03 (8)
+3-4(2-3) 3т 5-6 1тч +12 (6)
3-4(4-4) ттт 2-2 8-8 2тч 12-22 (4-4)
+3-4(2-4) 2тт 2-3 6-7 1ч2тч 03-12-22 (2-4-1)
3-4(2-5) т 2-3 7-8 1ч2тч 03-12-22 (4-2-2)
3-4(4-3) 3т 2-3 7-7 1ч2тч 03-12-31 (1-3-3)
3-5(2-6) 3 т 2-2 8-12 1п1тп 0030-1020 (6-6)
3-5(5-3) 3т 2-2 8-9 2тп 1020-3010 (6-3)
4-5(5-2) т 2-1 7-10 1чп 0210 (10)
3-4-5(1-3-3) т 3-4 7-10 1ч1тп2чп 03-1020-0210-0120 (1-3-3-3)
3-4-5(1-5-1) 1 3-4 7-9 1ч1тч1тп1тчп 03-13-0210-1110 (3-1-3-2)
+3-4-5(2-2-2) тт2 3-3 6-8 1тп1чп1тчп 1020-0210-1110 (2-2-4)
3-4-5(3-1-3) т 3-4 7-9 1тп1чп2тчп 1020-0120-1110-2110 (5-1-2-1)
3-4-5(3-2-3) т 3-5 8-10 1тч1тп2чп1тчп 12-1020-0120-0210-2110 (1-4-2-1-2)
3-4-5(2-2-4) т 3-5 8-11 1п1тп1чп2тчп 0030-1020-0120-1110-1210 (1-3-4-2-1)
3-4-5(2-4-2) 2/т 3-3 8-10 1чп2тчп 0210-1110-1210 (4-4-2)
3-4-5(3-3-1) т 3-4 7-8 2тч1чп1тчп 22-12-0210-1110 (2-1-1-4)
3-6(4-4) 4 3т 2-1 8-12 1тш 1002 (12)
4-6(6-2) 3 т 2-1 8-12 1чш +0201 (12)
3-4-6(2-5-1) т 3-4 8-10 1ч1тч1чш1тчш 03-13-0201-1101 (2-2-2-4)
3-4-6(4-3-1) 3т 3-2 8-9 1тч1тчш 22-1101 (3-6)
3-4-5-6(1-5-1-1) т 4-4 8-11 1чп1тчп1чш1тчш 0210-1210-0201-1101 (4-1-4-2)
3-5-6(3-3-1) 3т 3-3 7-10 1п1тп1тпш 0030-1020-1011 (1-3-6)
3-5-6(4-2-2) тт2 3-3 8-11 1тп1тш1тпш 2020-1002-1011 (1-2-8)
3-4-5-6(4-1-2-1) т 4-4 8-10 1тп1тчп1тчш1тпш 1020-2110-1101-1011 (2-2-2-4)
3-4-5-6(1-3-3-1) т 4-7 8-12 1п1тп2чп1чш1тпш1чпш 0030-1020-0210-0120-0201-1011-0111 (1-1-2-2-2-2-2)
3-4-5-6(2-2-2-2) 2тт 4-4 8-12 1чп1тш1тпш1чпш 0210-1002-1011-0111 (2-2-4-4)
3-4-5-6(2-3-2-1) 1 4-9 9-11 1ч1тп2чп1тчп1чш 1тчш1тпш1чпш 03-1020-0210-0120-1210-0201-1101-1011-0111 (1-1-1-1-1-1-1-1-3)
В 31 В 10 79г. 226г. В ка. 27 В кк. 30
А 31 А 31 95в. 288в. А ка. 31 А кк. 31
Примечание. О - точечная группа, Аг - арность гранных кодов (г. к.), 1а - число граней (г.), вершин (в.), В - число разных, А - число всех (групп симметрии, граней, вершин, кодов).
шинники. Эти числа дополняют коды вершин, образуя частичные конкретные коды частичных вершинников (например, 1110(2)). Форма частичного вершинника может быть 1-, 2-точечником, 3-, 4-, 6-угольником, 3-, 4-, 5-, 6-угольной призмой, тетраэдром, октаэдром и даже лавесовским полиэдром. В 31 кристалле содержится 62 разных
частичных вершинника, всего - 95. Им соответствуют 288 вершин.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.