ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2010, том 108, № 4, с. 691-695
= ЛАЗЕРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ =
УДК 621.373:535
КОМПЛЕКСНЫЙ РЕЗОНАНС И РЕЛАКСАЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛАЗЕРЕ
© 2010 г. Н. Н. Розанов
Государственный оптический институт им. С.И. Вавилова, 199034 Санкт-Петербург, Россия E-mail: nrosanov@yahoo.com
Поступила в редакцию 17.09.2009 г.
Проведен анализ резонанса при возбуждении гармонического осциллятора, примером которого служат релаксационные колебания лазера, импульсом накачки с экспоненциальным изменением глубины модуляции, что эквивалентно комплексной частоте модулированного сигнала. Обсуждены ограничения подхода комплексного резонанса, связанные с одновременным возбуждением свободных и вынужденных колебаний.
1. ВВЕДЕНИЕ
Резонансные явления в оптике и многих других областях науки и техники моделируются откликом гармонического осциллятора на возбуждение монохроматическим сигналом [1]. Резонансное увеличение отклика достигается при приближении частоты сигнала к собственной частоте колебаний осциллятора. Более точно, увеличение отклика ограничивается наличием затухания колебаний осциллятора, ввиду чего собственная частота свободных колебаний осциллятора ю0 = ю0 + I ю'0 является комплексной (что эквивалентно экспоненциальному временному убыванию амплитуды свободных колебаний). При увеличении затухания ширина резонанса (в зависимости амплитуды отклика от отстройки частоты раскачивающего сигнала и вещественной части собственной частоты свободных колебаний осциллятора) увеличивается, так что реально резонанс проявляется только при достаточно слабом затухании.
Положим теперь, что сигнал, раскачивающий осциллятор, обладает также комплексной частотой ю = ю' + Iю" , т.е. его амплитуда экспоненциально зависит от времени (в оптике это может быть реализовано пропусканием "обычного" излучения — с вещественной частотой — через модулятор с экспоненциально меняющимся со временем пропусканием). Тогда по мере приближения ю к комплексной собственной частоте свободных колебаний ю0 (при этом сближаются как вещественные, так и мнимые части этих частот) возрастание амплитуды вынужденных колебаний уже не будет ограничиваться затуханием. Такой комплексный резонанс рассмотрен в [2] применительно к отражению оптического излучения от среды, моделируемой набором элементарных ос-
цилляторов, и в [3] для многопроходового интерферометра, возбуждаемого излучением с комплексной частотой. По-видимому, наиболее прост эксперимент по наблюдению комплексного резонанса в электрическом колебательном контуре (цепь, содержащая катушку индуктивности, конденсатор, сопротивление и генератор с переменной электродвижущей силой); наиболее сложный этап разделения свободных и вынужденных колебаний решается стандартными методами обработки сигналов, представленными, например, в пакете МАТЬАБ (см. обсуждение ниже в разд. 2). Понятие комплексной частоты традиционно используется в электротехнике, но безотносительно к эффекту комплексного резонанса. В данном сообщении преимущественным предметом анализа служит комплексный резонанс для релаксационных колебаний в лазере, для которых достигнут предельно низкий (ограниченный квантовыми эффектами) уровень шумов. Интерес к релаксационным колебаниям вызван тем, что они служат основной причиной пичковой природы генерации тверд отельных лазеров [4], существенно определяют динамику генерации и других типов лазеров, включая полупроводниковые, а также могут быть использованы для прецизионных измерений различных физических величин.
Для выявления основных факторов мы начнем рассмотрение с резонанса при возбуждении гармонического осциллятора (разд. 2), модель которого имеет эталонный характер. Далее в разд. 3 представлена простейшая динамическая модель лазера, и динамика релаксационных колебаний в нем сводится к уравнению для свободных колебаний гармонического осциллятора. Затем в разд. 4 анализируются релаксационные колебания при модуляции накачки, описание которых приводит к уравнению вынужденных колебаний гармони-
691
11*
ческого осциллятора. Общие выводы приведены в последнем разделе статьи.
2. КОМПЛЕКСНЫЙ РЕЗОНАНС ДЛЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА
Раскачка гармонического осциллятора внешней силой описывается уравнением
( х (х "" 2
—- + у — + ю0х = Яе [А ехр (-/юг)]. (1)
(г
Юо
= - Д ±О, О =
Юо2 -
(3)
Постоянные комплексные амплитуды а(±) опре деляются начальными условиями (см. ниже).
При А Ф 0 вынужденные колебания осциллято ра происходят на частоте ю,
А ехр ( - - (¡о г)
х( г) = -Яе
|-(ю - ю0+))(ю - Ю0 ))-1
(4)
Общее решение (1) отвечает сумме свободных (2) и вынужденных (4) колебаний, х(1) = х0(1) + х(). Для фиксации начальных условий положим сначала, что внешняя сила резко включается в момент времени I = 0:
А (?) =
|0, г< 0, IА = сош1, г > 0.
(5)
Соответствующие начальные условия для уравнения (1) формулируются в виде
х|, = 0 = 0, (х = 0.
(г
(6)
г = 0
Тогда постоянные а и Ь приобретают значения
1
а(±) = ±А 2 О
ю - ю
(±)
(7)
Недалеко от резонанса (для определенности ю : О) постоянная а(—) мала по сравнению с а(+), т.е.
<§ |а(+)| . Тогда
х( г):
[ехр(-/ю0+)г) - ехр(-/ю?)]. (8)
2Ою - ю0+)
Следствием (8) служит резонансное увеличение амплитуд как вынужденных, так и свободных
колебаний при ю
ю
(+)
и наличие биений (при
Здесь х — отклонение осциллятора от равновесного положения (физический смысл этой величины различен в различных приложениях, см. следующий раздел), I — время, у — скорость затухания (у > 0), ю0 — собственная частота осциллятора в отсутствие затухания, А и ю — амплитуда и частота внешней силы (обе эти величины могут быть комплексными, и далее мы будем обращать основное внимание именно на следствия комплексности ю).
В отсутствие внешней силы (А = 0) осциллятор совершает свободные колебания вида
х0 (г) = Яе [ а(+) ехр (-/ю0+) г) + а(—) ехр (-/ю0—) г)] ,(2) где
детектировании квадратичных по х величин) на частоте ю - ю0+). Ввиду комплексности частоты
(+)
ю0 неограниченный рост этих амплитуд происходит для комплексных частот внешней силы ю, когда и ее вещественная, и мнимая части прибли-
(+)
жаются к вещественной и мнимой частям ю0 (комплексный резонанс). Во избежание недоразумений подчеркнем, что при этом суммарный отклик (8) остается конечным, и для наблюдения комплексного резонанса необходимо отделить вынужденные колебания (на частоте ю) от свободных (на частоте ю0+)). Например, если амплитуда внешней силы затухает со временем медленнее, чем амплитуда свободных колебаний (—у/2 < < ю'' < 0), то при достаточно больших временах I > > 1/|ю'' + у/2| в (8) доминирует член, отвечающий вынужденным колебаниям, а при обратном соотношении (ю'' < —у/2) при таких временах преобладают свободные колебания. При точном равенстве ю'' = —у/2 из (8) следует 100%-ная глубина модуляции сигнала:
х (г):
А1
Ою' - О
■ БШ
ю' - О
г) х
X ехр( -2г) ехр(-/ю + Ог).
(9)
В общем случае разделение свободных и вынужденных колебаний возможно ввиду различия их
частот ю и ю0+), но оно становится все более затруднительным по мере приближения к точному комплексному резонансу. В этом смысле идеальный комплексный резонанс недостижим, а допустимая степень приближения к нему определяется уровнем шумов в системе. Так, выраженный комплексный резонанс наблюдался бы при условии
I (+)| ^ (+)
ю - ю0 <§ у, а разделение частот ю и ю0
отве-
чает времени измерений Т > 1 /| ю -нация этих неравенств приводит к условиям
ю0+)| . Комби-
Т < |ю - ю0 | < у. (10)
Разделение свободных и вынужденных колебаний за счет измерений при весьма больших временах, где амплитуда сигнала мала, приводило бы к значительной погрешности. Но такое разделение можно реализовать и для меньших времен как аналоговым (например, для света возможна реализация чисто оптических интегральных пре-
0
КОМПЛЕКСНЫЙ РЕЗОНАНС
693
образований [5]), так численным (цифровым) образом. Регистрация сигнала (8) возможна как непосредственно (для колебаний в электрическом контуре), так и при его сложении с другим заданным когерентным сигналом или детектировании квадратичной по сигналу величины. Обсудим последний вариант применительно к решению задачи об определении характеристик осциллятора по зависимости его временного отклика от ю. Из (8)следует
I(t) = ^ (t):
A'
i
4 о21 (+)|2
ю - ю0
(11)
х [ exp(2ю''t) - exp(Гt)- exp(Г*t) + exp(2ю0+)''t)]},
где
Г = (ю'' + ю0+)'') + i(ю' - ю0+)).
(12)
(+)
J( s) = J exp (-st)I (t) dt'
A2
i
4fi2l (+)|2 41Z ю - ю 0
(13)
i
i
i
+
i
-s - 2ю'' s - Г s - Г * s - 2ю0+)"J
Величина ж комплексна, ж = ж' + й". При ж' > 2ю'' и ю'' > ю0" преобразование Лапласа (11) существует. Тогда при ж —»- 2ю'' в скобках в (13) преобладает первый член:
J ( s )■■
A1
i
i
4о
ю - ю 0
(+)|2s - 2ю''
(14)
В (14) искомой величиной служит ю0(3). Если измерения произведены не менее чем для двух частот внешней силы ю, то соотношение (14) поз- I (+)2
воляет найти для этих частот величину |ю - ю 0 | и соответственно характеристики осциллятора у и ю0. Здесь комплексный резонанс реализуется в
области ю'' > ю0'. При обратном соотношении
(ю'' < ю0) в (8) при больших временах доминирует член, отвечающий свободным колебаниям. При этом зависимость его амплитуды от ю также демонстрирует комплексный резонанс, так как
. ^ о (+)''
при s > 2ю0 в пределе s ется на соотношение
2 ю
(+)'
(14) заменя-
Определение из представления сигнала в виде линейной комбинации временных экспонент типа (11) комплексной величины ю
J( s )■■
A2
i
4о
ю - ю
(+)|2 s - 2 ю0+)''
(15)
и соответственно резонансного фактора |ю - ю0+)| принадлежит к числу стандартных задач обработки сигналов [6]. Одним из наиболее распространенных является метод Прони [7], основанный на измерении 1(1) в ряде эквидистантно расположенных дискретных моментов времени и последующем решении алгебраических задач. В настоящее время разработаны эффективные способы отделения сигнала от шума и методы быстрого преобразования Прони [8]. В то же время при небольшом числе экспоненциальных членов преимуществом в точности может обладать другой подход, оперирующий сигналом не в дис
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.