научная статья по теме КОМПЛЕКСНЫЙ РЕЗОНАНС И РЕЛАКСАЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛАЗЕРЕ Физика

Текст научной статьи на тему «КОМПЛЕКСНЫЙ РЕЗОНАНС И РЕЛАКСАЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛАЗЕРЕ»

ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2010, том 108, № 4, с. 691-695

= ЛАЗЕРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ =

УДК 621.373:535

КОМПЛЕКСНЫЙ РЕЗОНАНС И РЕЛАКСАЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛАЗЕРЕ

© 2010 г. Н. Н. Розанов

Государственный оптический институт им. С.И. Вавилова, 199034 Санкт-Петербург, Россия E-mail: nrosanov@yahoo.com

Поступила в редакцию 17.09.2009 г.

Проведен анализ резонанса при возбуждении гармонического осциллятора, примером которого служат релаксационные колебания лазера, импульсом накачки с экспоненциальным изменением глубины модуляции, что эквивалентно комплексной частоте модулированного сигнала. Обсуждены ограничения подхода комплексного резонанса, связанные с одновременным возбуждением свободных и вынужденных колебаний.

1. ВВЕДЕНИЕ

Резонансные явления в оптике и многих других областях науки и техники моделируются откликом гармонического осциллятора на возбуждение монохроматическим сигналом [1]. Резонансное увеличение отклика достигается при приближении частоты сигнала к собственной частоте колебаний осциллятора. Более точно, увеличение отклика ограничивается наличием затухания колебаний осциллятора, ввиду чего собственная частота свободных колебаний осциллятора ю0 = ю0 + I ю'0 является комплексной (что эквивалентно экспоненциальному временному убыванию амплитуды свободных колебаний). При увеличении затухания ширина резонанса (в зависимости амплитуды отклика от отстройки частоты раскачивающего сигнала и вещественной части собственной частоты свободных колебаний осциллятора) увеличивается, так что реально резонанс проявляется только при достаточно слабом затухании.

Положим теперь, что сигнал, раскачивающий осциллятор, обладает также комплексной частотой ю = ю' + Iю" , т.е. его амплитуда экспоненциально зависит от времени (в оптике это может быть реализовано пропусканием "обычного" излучения — с вещественной частотой — через модулятор с экспоненциально меняющимся со временем пропусканием). Тогда по мере приближения ю к комплексной собственной частоте свободных колебаний ю0 (при этом сближаются как вещественные, так и мнимые части этих частот) возрастание амплитуды вынужденных колебаний уже не будет ограничиваться затуханием. Такой комплексный резонанс рассмотрен в [2] применительно к отражению оптического излучения от среды, моделируемой набором элементарных ос-

цилляторов, и в [3] для многопроходового интерферометра, возбуждаемого излучением с комплексной частотой. По-видимому, наиболее прост эксперимент по наблюдению комплексного резонанса в электрическом колебательном контуре (цепь, содержащая катушку индуктивности, конденсатор, сопротивление и генератор с переменной электродвижущей силой); наиболее сложный этап разделения свободных и вынужденных колебаний решается стандартными методами обработки сигналов, представленными, например, в пакете МАТЬАБ (см. обсуждение ниже в разд. 2). Понятие комплексной частоты традиционно используется в электротехнике, но безотносительно к эффекту комплексного резонанса. В данном сообщении преимущественным предметом анализа служит комплексный резонанс для релаксационных колебаний в лазере, для которых достигнут предельно низкий (ограниченный квантовыми эффектами) уровень шумов. Интерес к релаксационным колебаниям вызван тем, что они служат основной причиной пичковой природы генерации тверд отельных лазеров [4], существенно определяют динамику генерации и других типов лазеров, включая полупроводниковые, а также могут быть использованы для прецизионных измерений различных физических величин.

Для выявления основных факторов мы начнем рассмотрение с резонанса при возбуждении гармонического осциллятора (разд. 2), модель которого имеет эталонный характер. Далее в разд. 3 представлена простейшая динамическая модель лазера, и динамика релаксационных колебаний в нем сводится к уравнению для свободных колебаний гармонического осциллятора. Затем в разд. 4 анализируются релаксационные колебания при модуляции накачки, описание которых приводит к уравнению вынужденных колебаний гармони-

691

11*

ческого осциллятора. Общие выводы приведены в последнем разделе статьи.

2. КОМПЛЕКСНЫЙ РЕЗОНАНС ДЛЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА

Раскачка гармонического осциллятора внешней силой описывается уравнением

( х (х "" 2

—- + у — + ю0х = Яе [А ехр (-/юг)]. (1)

Юо

= - Д ±О, О =

Юо2 -

(3)

Постоянные комплексные амплитуды а(±) опре деляются начальными условиями (см. ниже).

При А Ф 0 вынужденные колебания осциллято ра происходят на частоте ю,

А ехр ( - - (¡о г)

х( г) = -Яе

|-(ю - ю0+))(ю - Ю0 ))-1

(4)

Общее решение (1) отвечает сумме свободных (2) и вынужденных (4) колебаний, х(1) = х0(1) + х(). Для фиксации начальных условий положим сначала, что внешняя сила резко включается в момент времени I = 0:

А (?) =

|0, г< 0, IА = сош1, г > 0.

(5)

Соответствующие начальные условия для уравнения (1) формулируются в виде

х|, = 0 = 0, (х = 0.

(6)

г = 0

Тогда постоянные а и Ь приобретают значения

1

а(±) = ±А 2 О

ю - ю

(±)

(7)

Недалеко от резонанса (для определенности ю : О) постоянная а(—) мала по сравнению с а(+), т.е.

<§ |а(+)| . Тогда

х( г):

[ехр(-/ю0+)г) - ехр(-/ю?)]. (8)

2Ою - ю0+)

Следствием (8) служит резонансное увеличение амплитуд как вынужденных, так и свободных

колебаний при ю

ю

(+)

и наличие биений (при

Здесь х — отклонение осциллятора от равновесного положения (физический смысл этой величины различен в различных приложениях, см. следующий раздел), I — время, у — скорость затухания (у > 0), ю0 — собственная частота осциллятора в отсутствие затухания, А и ю — амплитуда и частота внешней силы (обе эти величины могут быть комплексными, и далее мы будем обращать основное внимание именно на следствия комплексности ю).

В отсутствие внешней силы (А = 0) осциллятор совершает свободные колебания вида

х0 (г) = Яе [ а(+) ехр (-/ю0+) г) + а(—) ехр (-/ю0—) г)] ,(2) где

детектировании квадратичных по х величин) на частоте ю - ю0+). Ввиду комплексности частоты

(+)

ю0 неограниченный рост этих амплитуд происходит для комплексных частот внешней силы ю, когда и ее вещественная, и мнимая части прибли-

(+)

жаются к вещественной и мнимой частям ю0 (комплексный резонанс). Во избежание недоразумений подчеркнем, что при этом суммарный отклик (8) остается конечным, и для наблюдения комплексного резонанса необходимо отделить вынужденные колебания (на частоте ю) от свободных (на частоте ю0+)). Например, если амплитуда внешней силы затухает со временем медленнее, чем амплитуда свободных колебаний (—у/2 < < ю'' < 0), то при достаточно больших временах I > > 1/|ю'' + у/2| в (8) доминирует член, отвечающий вынужденным колебаниям, а при обратном соотношении (ю'' < —у/2) при таких временах преобладают свободные колебания. При точном равенстве ю'' = —у/2 из (8) следует 100%-ная глубина модуляции сигнала:

х (г):

А1

Ою' - О

■ БШ

ю' - О

г) х

X ехр( -2г) ехр(-/ю + Ог).

(9)

В общем случае разделение свободных и вынужденных колебаний возможно ввиду различия их

частот ю и ю0+), но оно становится все более затруднительным по мере приближения к точному комплексному резонансу. В этом смысле идеальный комплексный резонанс недостижим, а допустимая степень приближения к нему определяется уровнем шумов в системе. Так, выраженный комплексный резонанс наблюдался бы при условии

I (+)| ^ (+)

ю - ю0 <§ у, а разделение частот ю и ю0

отве-

чает времени измерений Т > 1 /| ю -нация этих неравенств приводит к условиям

ю0+)| . Комби-

Т < |ю - ю0 | < у. (10)

Разделение свободных и вынужденных колебаний за счет измерений при весьма больших временах, где амплитуда сигнала мала, приводило бы к значительной погрешности. Но такое разделение можно реализовать и для меньших времен как аналоговым (например, для света возможна реализация чисто оптических интегральных пре-

0

КОМПЛЕКСНЫЙ РЕЗОНАНС

693

образований [5]), так численным (цифровым) образом. Регистрация сигнала (8) возможна как непосредственно (для колебаний в электрическом контуре), так и при его сложении с другим заданным когерентным сигналом или детектировании квадратичной по сигналу величины. Обсудим последний вариант применительно к решению задачи об определении характеристик осциллятора по зависимости его временного отклика от ю. Из (8)следует

I(t) = ^ (t):

A'

i

4 о21 (+)|2

ю - ю0

(11)

х [ exp(2ю''t) - exp(Гt)- exp(Г*t) + exp(2ю0+)''t)]},

где

Г = (ю'' + ю0+)'') + i(ю' - ю0+)).

(12)

(+)

J( s) = J exp (-st)I (t) dt'

A2

i

4fi2l (+)|2 41Z ю - ю 0

(13)

i

i

i

+

i

-s - 2ю'' s - Г s - Г * s - 2ю0+)"J

Величина ж комплексна, ж = ж' + й". При ж' > 2ю'' и ю'' > ю0" преобразование Лапласа (11) существует. Тогда при ж —»- 2ю'' в скобках в (13) преобладает первый член:

J ( s )■■

A1

i

i

ю - ю 0

(+)|2s - 2ю''

(14)

В (14) искомой величиной служит ю0(3). Если измерения произведены не менее чем для двух частот внешней силы ю, то соотношение (14) поз- I (+)2

воляет найти для этих частот величину |ю - ю 0 | и соответственно характеристики осциллятора у и ю0. Здесь комплексный резонанс реализуется в

области ю'' > ю0'. При обратном соотношении

(ю'' < ю0) в (8) при больших временах доминирует член, отвечающий свободным колебаниям. При этом зависимость его амплитуды от ю также демонстрирует комплексный резонанс, так как

. ^ о (+)''

при s > 2ю0 в пределе s ется на соотношение

2 ю

(+)'

(14) заменя-

Определение из представления сигнала в виде линейной комбинации временных экспонент типа (11) комплексной величины ю

J( s )■■

A2

i

ю - ю

(+)|2 s - 2 ю0+)''

(15)

и соответственно резонансного фактора |ю - ю0+)| принадлежит к числу стандартных задач обработки сигналов [6]. Одним из наиболее распространенных является метод Прони [7], основанный на измерении 1(1) в ряде эквидистантно расположенных дискретных моментов времени и последующем решении алгебраических задач. В настоящее время разработаны эффективные способы отделения сигнала от шума и методы быстрого преобразования Прони [8]. В то же время при небольшом числе экспоненциальных членов преимуществом в точности может обладать другой подход, оперирующий сигналом не в дис

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком