ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2011, № 2, с. 3-14
УДК 550.837:517.958
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕОЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В ТРЕХМЕРНЫХ СРЕДАХ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ © 2011 г. М. Г. Персова1, Ю. Г. Соловейчик1, Г. М. Тригубович2
Новосибирский государственный технический университет 2Сибирский научно-исследовательский институт геологии, геофизики и минерального сырья, г. Новосибирск
Поступила в редакцию 12.01.2010 г.
В работе описываются основные подходы к решению трехмерных задач геоэлектромагнетизма с использованием метода конечных элементов и возможности реализующего их программного комплекса ОеоБМ. Рассматриваются методы моделирования геоэлектромагнитных полей для наиболее известных видов контролируемых источников и математический аппарат для решения задач магнитотеллуриче-ских зондирований. Приводятся примеры расчета трехмерных полей для горизонтальной и вертикальной электрических линий при проектировании электроразведочных работ на шельфе, а также пример выполнения 3В-интерпретации данных площадных зондирований становлением поля при поиске глубинных целевых объектов в условиях существенно неоднородной верхней части разреза.
ВВЕДЕНИЕ
Возрастающие требования к точности восстановления глубинного распределения удельного сопротивления среды делают все более актуальным использование 3Э-моделирования при интерпретации электроразведочных данных. Основными методами решения трехмерных задач геоэлектромагнетизма являются метод интегральных уравнений (МИУ), метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ).
Как известно, первые значимые результаты при расчетах трехмерных геоэлектромагнитных полей были получены с помощью МИУ. И сегодня МИУ является одним из самых эффективных методов решения задач геоэлектрики в средах с относительно небольшими трехмерными неоднородностями и при небольшом их числе [Спичак, 1999; Жданов, 2007; Avdeev, 2007]. Кроме того, именно МИУ чаще всего используется для создания различных подходов к построению быстрых 3D инверсий [Жданов, 2007; Zhdanov et al., 2000; Zhdanov, Hursan, 2000; Zhdanov, Tartaras, 2002]. Однако с увеличением в решаемой задаче количества 3D-объектов использование МИУ приводит к очень быстрому росту вычислительных затрат из-за заполненности матрицы, получаемой в результате дискретизации соответствующей трехмерной задачи.
МКР и МКЭ уже достаточно давно применяются для решения трехмерных задач электроразведки [Друскин, Книжнерман, 1988; Жданов, Спичак, 1992; Спичак, 1999; Everett, 1999]. Основным преимуществом этих методов перед МИУ является разреженность матриц систем уравнений, получаемых в результате аппроксимаций соответствующих трехмерных задач. Но вместе с тем МКР и МКЭ требуют включения в расчетную область помимо самих
трехмерных объектов довольно большого пространства вокруг них. При этом для достижения хорошей точности необходимы достаточно подробные сетки, причем, мелкие ячейки нужны не только в 3Э объектах, но и в окружающих их пространстве, особенно вблизи источников поля. В результате при решении задач с контролируемыми источниками, если 3Э объекты в них дают относительно слабые отклики, МКР и МКЭ требуют очень высоких вычислительных затрат на получение решения с приемлемой точностью.
Однако разработанные в последние годы модификации МКЭ с включением в него возможности выделения поля простой структуры (что является стандартным для МИУ и не использовалось ранее в МКЭ) — так называемого "нормального" поля или поля влияния вмещающей среды [Соловейчик и др., 1997; 1998] — существенно расширили его возможности при решении трехмерных задач геоэлектрики. Присущие МКЭ возможности учета геометрии расчетной области любого уровня сложности и его гибкость при построении сеток в сочетании с методиками, использующими выделение нормального поля [Соловейчик и др., 2007], позволяют сделать этот метод мощным и удобным инструментом для 3Э интерпретации практических данных, особенно при решении задач геокартирования глубинной структуры среды в условиях неоднородной верхней части разреза [Тригубович, 2009].
Данная работа посвящена описанию основных подходов к решению трехмерных задач геоэлектромагнетизма с использованием МКЭ и возможностей реализующего их программного комплекса ОеоБМ. В ней будут рассмотрены методы моделирования геоэлектромагнитных полей для наиболее известных видов контролируемых источников и
математическим аппарат для решения задач магни-тотеллурических зондирований, а также приведены примеры 3Э моделирования геоэлектромагнитных полей и 3Э интерпретации данных, выполненных с использованием комплекса ОеоБМ.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ,
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ДЛЯ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ГЕОЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
Применяемые в программном комплексе ОеоБМ методы конечноэлементного моделирования базируются на использовании специальных математических постановок с выделением поля [Соловейчик и др., 1997; 1998; 2004а; 2007] и автоматическом построении конечноэлементных нерегулярных сеток [Соловейчик и др., 20046], что позволяет кардинально сократить вычислительные затраты и при этом обеспечить достаточно высокую точность получаемых решений для геоэлектрических моделей различной степени сложности. Реализованные в комплексе алгоритмы автоматического построения сеток позволяют существенно упростить его использование для специалистов-геофизиков, не обладающих специальными навыками в области вычислительной математики. Приведем основные математические модели, на которых базируются реализованные в программном комплексе ОеоБМ вычислительные схемы.
Математическая модель для расчета трехмерных составляющих нестационарных геоэлектромагнитных полей при использовании технологии выделения поля является одной и той же для всех типов контролируемых источников. Для векторного МКЭ эта модель имеет вид [Соловейчик и др., 2007]:
/1 д Aa rot -rotA + a- =
V J dt
= (a - an)E" + rotff- - 1J rotA") ,
vVo К J
а для скалярного [Соловейчик, 1998; 2007]
1 А a (дЛах д¥^ ( n )rn
- - АЛх + a( —x + — J = (a - a )Ex,
K0 v dt dx J
(1)
1a .a
--АЛy+a
Ko
a
--АЛ, + a
длх. д
+
дt ду
Ko
дл дt
X + д-
д,
nn
= (a - a )Ey,
nn = (a - a )E,,
(2)
(3)
(4)
- div(agrad Vх) - divl aдA-) = -div((a - a")En) ,(5)
1 дt '
где Aa = (Ax, Лу, Л,) — вектор-потенциал и V — скалярный электрический потенциал аномального поля (определяемого трехмерными неоднородно-стями), к и Ко — магнитная проницаемость среды и вакуума, a" — проводимость вмещающей горизонтально-слоистой среды, E" — вектор напряженности электрического поля в горизонтально-слоистой среде (нормальное поле), а функция a характеризует проводимость трехмерной среды. При использовании модели для векторного МКЭ аномальная составляющая напряженности электрического поля
дAX
определяется в виде Ea =--, а для скалярного —
дt
д AX
в виде Ea =--— grad Va.
дt
Для нахождения нормальных составляющих электромагнитных полей используются следующие математические модели.
Электромагнитное нестационарное поле в осе-симметричной среде, вызванное круговой генераторной петлей с током, находящейся в плоскости Z = const, полностью описывается единственной ненулевой компонентой Лф(г, z, t) (Еф = — дЛ^/д1) вектор-потенциала A = (Лг, Лф, AZ), которая в среде с однородной магнитной проницаемостью может быть найдена как решение следующей начально-краевой задачи [Соловейчик и др., 1998]:
- 1 АЛ m + -Ц Л, + a0 Ц* = /„в О,
Ко
Ко or
Л1 = 0,
„ 1г
(6)
(7)
где А — скалярный оператор Лапласа в координатах (г, z), о0 — удельная проводимость осесимметрич-ной среды (при выделении нормальной составляющей поля о0 = о" — проводимость вмещающей среды), /ф — плотность стороннего тока (определяемая током в генераторной петле), Г — граница расчетной области О. Начальное условие задается в виде = 0, если 1ф(1) задана с момента включения
„ t = t
тока в генераторе. Если же изменение тока в источнике описывается функцией Хевисайда, то в каче-
стве Л
„ It = t
1
берется решение стационарной задачи:
- - АЛ„ + Ко
Ко Г
— Л = /
2 „ _
Л1 = 0,
„ I г
(8)
а правая часть уравнения (6) принимается равной нулю.
Нормальное поле для источника в виде вертикальной электрической линии (ВЭЛ) удобно искать в виде распределения ф-компоненты напряженности магнитного поля (Нф(г, ^ 0), являющейся единственной ненулевой составляющей вектора напряженности магнитного поля Н = (Н, Нф, Н) в ци-
линдрической системе координат. Если изменение тока в ВЭЛ описывается функцией Хевисайда, то для нахождения начального распределения Нф, соответствующего моменту выключения тока в питающем кабеле ВЭЛ, необходимо решить стационарную краевую задачу [Соловейчик и др., 2003]:
\ тт
— divl 1 gradHJ +
or
- Hm —
2 V
dr
— 0, (9)
H
ir,
2 n r0
(10)
HJ = HJ = HJ = HJ
ф1г1\г; Jlr2 Jlr3 Jr4
= 0.
Здесь осесимметричная область О, в которой ищется решение Нф, ограничивается поверхностью Г1, определяемой соотношением г = г0 (г0 — достаточно малый радиус), а также дневной поверхностью Г2, удаленной вертикальной границей Г3, определяемой соотношением г = Я (Я — достаточно большое число, размер "бака"), и горизонтальной границей Г4, являющейся либо удаленной, либо границей между средой и непроводящим фундаментом. Токовая линия со сторонним током J не
включается в расчетную область О, а на границе Г, являющейся заключенной между электродами ВЭЛ частью границы Г1, задается неоднородное первое краевое условие.
Аналогично строится и краевая задача для нахождения начального распределения Нф, соответствующего моменту выключения тока в круговом электрическом диполе (КЭД) [Могилатов, 1992; Могилатов, Балашов, 1994; Могилатов, Злобин-ский, 1995]. Только в этом случае неоднородное первое краевое условие задается на границе Г2, являющейся частью границы Г2 и заключенной между краями КЭД [Соловейчик и др., 2004а]:
1
HJ
(11)
^2 2пг
После выключения тока нестационарный процесс становления поля от ВЭЛ и КЭД без учета токов смещения описывается следующей краевой задачей [Соловейчик и др., 2003; 2004а]:
д И
— divl 1 grad HJ +
1
or
H
H — —J 2J
dr
+ ц -
dt
— 0
в D,
HJ — HJ
JIr, Jlr2
— HJ —
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.