МИКРОЭЛЕКТРОНИКА, 2009, том 38, № 5, с. 323-330
МОДЕЛИРОВАНИЕ МИКРО-И НАНОСТРУКТУР
УДК 519.6;530.51
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ФОРМИРОВАНИЯ МИКРОКЛАСТЕРОВ НА ОСНОВЕ МАСШТАБНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ
© 2009 г. А. В. Можаев1, А. В. Проказников2
Ярославский Государственный Университет им. П.Г. Демидова 2Ярославский филиал Физико-технологического института Российской АН
E-mail: prokaznikov@mail.ru Поступила в редакцию 12.12.2008 г.
На основе масштабной инвариантности процесса случайных блужданий разработана и реализована дискретная компьютерная трехмерная модель многостадийных процессов формирования пористых кластеров в кристаллической матрице. Создан пакет компьютерных программ, моделирующих динамические процессы формирования кластеров в глубине кристаллов с учетом процессов, происходящих на поверхности, приложенных внешних полей, а также химических реакций, сопровождающих эти процессы. Морфологическая картина формируемых пор соотнесена с закономерностями, связанными с формой вольт-амперной характеристики процесса анодирования.
PACS: 82.75.-Z
ВВЕДЕНИЕ
В последнее время проявляется неизменный интерес к изучению и использованию в различных технологиях низкоразмерных структур, проявляющих ряд необычных свойств, которыми не обладал исходный материал. В перечень наиболее простых возможностей формирования подобных структур с пониженной размерностью входят анодирование ряда полупроводников и металлов в режиме порообразования или их химическая обработка в специальных составах, приводящие к образованию пористого пространства, которое содержит кластеры квантовых размеров. Закономерности процессов формирования структур пониженной размерности тесным образом связаны с явлениями, описываемыми случайными блужданиями различных физических объектов. Явления случайного блуждания в трехмерном пространстве, когда частицы формируют кластеры в определенных местах, представляют интерес как с точки зрения изучения общих свойств образования кластеров, так и в плане практического применения. С точки зрения фундаментального значения задача о случайных блужданиях тесно связана, например, с проблемой фазовых переходов. Интересной является также задача, когда помимо случайного блуждания имеет место движение в выделенном направлении, обусловленное приложенным внешним полем. В частности, подобная ситуация имеет место при формировании как кластеров, так и сплошных слоев при осаждении металлов из растворов солей, а также при кластеризации ионно-синтезированных структур в ходе отжига. Как по-
казывает эксперимент, физические свойства кластеров зависят от условий их формирования [1, 2], поэтому вызывает интерес более детальное изучение воздействия на свойства как пористых, так и созданных на их основе металлических кластеров, прежде всего на их рост и размер, различных параметров. Подобный интерес диктуется в настоящее время, прежде всего, стремлением создать объекты нанометровых размеров с заданными свойствами. Следует отметить, что физические закономерности, проявляющиеся на этих масштабах, отличаются от закономерностей для макрообъектов.
В настоящее время большое число физических и математических проблем решаются методами компьютерного моделирования в силу того, что достаточно широкий класс задач допускает алгоритмическую формализацию [3-6]. Это означает, что может быть указана строгая последовательность действий, число которых может быть чрезвычайно большим, причем часто окончательный результат предвидеть достаточно сложно. Весьма сложно также бывает получить аналитическую оценку искомого решения. Ряд часто используемых алгоритмов имеют стохастическую составляющую, что часто делает окончательный результат непредсказуемым. В настоящей работе обсуждаются различные аспекты постановки и решения проблемы математического моделирования физического процесса, связанного с технологией изготовления пористых материалов, в частности, пористого кремния. Основным из изучаемых аспектов является масштабирование шкалы моделирования.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
При моделировании технологических процессов возникает проблема согласования процессов, протекающих на разных масштабах. Подобная ситуация достаточно подробно описана в работах по молекулярной динамике (см. например, [7]). Проблема состоит в том, что каждый шаг (такт) компьютерных вычислений может происходить либо на нано-масштабах и более малых масштабах, либо на микронных масштабах для пространственных переменных и на временных масштабах от ~10-14 секунд (времена релаксации импульсов электронов при комнатных температурах [8]) до масштабов порядка ~1 мин (времена анодирования). Все это приводит к достаточно сложной задаче согласования компьютерных вычислений на разных масштабах в рамках одной модели.
Имеют место ситуации, когда подобного рода проблемы согласования компьютерных вычислений на различных масштабах могут быть успешно преодолены. Прежде всего, это касается задач связанных с моделированием закономерностей, основанных на алгоритме случайных блужданий [9], в частности, процессов диффузии. Основная идея разрабатываемого подхода состоит в том, что подобные случайные процессы являются самоподобными (точнее самоаффинными) на разных масштабах [3]. Самоаффинными в том смысле, что пространственные и временные масштабы преобразуются по-разному [3]. Процесс хаотического движения молекул абсолютно аналогичен процессу движения броуновской частицы, хотя масштабы происходящих процессов абсолютно различны (см. например, [3]). По-
где N - общее количество шагов, п - расстояние от заданной точки (в шагах), причем п = х/а, П = = р - вероятность прыжка в соседнее положение, Ап - отклонение п от своего среднего значе-
— 2
ния п, (Ап) - средний квадрат отклонения.
В трехмерном случае результат получается аналогичным. В одномерной модели вероятность прыжка в соседнюю клетку р = 1/2, в трехмерной модели также вероятности прыжков одинаковы [3, 15, 16]. Более подробно генерация одномерного
добная ситуация имеет место и при моделировании процессов формирования кластеров на основе случайных блужданий, то есть моделировании процессов ограниченной диффузией агрегации (ОДА) [3, 4]. Так в работах [10, 11] моделируются процессы формирования кластеров при порообразовании в кремнии в ходе анодирования в растворах плавиковой кислоты. Результаты моделирования процессов формирования пористого пространства на наномет-ровых масштабах хорошо согласуются с результатами экспериментов [12]. Аналогичные результаты моделирования процессов формирования пористой структуры в кремнии на микронных масштабах также дают хорошее согласие с экспериментом [13, 14]. При анализе результатов этих двух циклов работ, возникает вопрос о причинах столь хорошего совпадения основных закономерностей с одной стороны и сопоставлении модельных объектов с их реальными физическими прообразами. Так если в цикле работ [10-12] случайно блуждающему объекту, условно названному авторами "реагент", можно сопоставить дырку в полупроводнике (кремнии), то возникает закономерный вопрос, что может быть аналогично сопоставлено случайно блуждающему объекту микронных размеров из цикла работ [13, 14]? Ответ на этот вопрос будет представлен в настоящей работе.
Как показывает теория случайных блужданий, частица, которая совершает броуновское движение [15] и делающая, например, через равные промежутки времени т независимые шаги вправо или влево, равные соответственно ±а, через время г окажется на расстоянии х = п х а от начальной точки с вероятностью, описываемой гауссовым распределением:
(1)
случайного блуждания на основе распределения Гаусса описана в работе [3]. На основании рассуждений, проведенных в [3], случайные блуждания описываются гауссовой функцией, не изменяющей своих значений после аффинных преобразований масштабов: координаты - X = Х1/2х и времени - г' = Хг, где X - масштабирующий множитель. Эти масштабные преобразования оставляют неизменными функцию гауссового вида, описывающую вероятность нахождения частицы в момент времени г на расстоянии между г и г + йг от исходной точки [17]:
Рп( N) = . е
Ы(А п )2
(Ап)2 2(Ап)2
w(г, г)йт =
4 Бг
2л/П
г йт.
(2)
е
Таким образом, функция, связанная с вероятностью прыжка в соседнее состояние, инварианта на разных масштабах [3]. Можно определить масштабное преобразование электрического заряда q таким образом, чтобы оставалась неизменной сила Кулона для различных масштабов при указанном масштабном преобразовании координат. Для этого нужно положить: q' = Xl/2q. Отметим, что в этом случае инвариантным относительно подобных масштабных преобразований остается и электрический потенциал. Описанное выше перемасштабирование заряда приводит к перемасштабированию всех величин, в которые входит заряд. Таким образом, для разработки адекватной физической модели, пригодной для различных масштабов, можно использовать перемасштабированные величины. При этом ряд фундаментальных формул и величин останутся инвариантными на различных масштабах.
Для определения величины масштабирующего множителя X нужно заметить следующее. Теория диффузии, согласно работе [17], строится как разложение по малому параметру ¡0/Ь0, где 10 - длина свободного пробега, Ь0 - характерный размер системы. Если принять длину свободного пробега, равной порядка 1 нм, а характерный размер минимальной ячейки нашей модели, имеющей порядок 10-4 см, то можно принять Х1/2 = Ь0/10 ~ 103. Таким образом, можно промасштабировать все величины и проводить моделирование на других, больших масштабах.
В работе [18] изучался трехмерный случай задачи формирования кластеров в потенциальных полях. Для плоского случая эта проблема была рассмотрена ранее в работах [13, 14]. Движение частиц в поле случайных скоростей управляется также приложенным внешним полем. Движение подобной частицы описывается системой обыкновенных уравнений [19]:
йГ > > >
— = и(г, г), г(¿0) = Го,
(3)
где и(Г, г) = иоо (Г, г) + и(Г, г), ио (Г, г) - детерминированная составляющая поля скоростей, а и ( г, г) -случайная составляющая поля скоростей. Подобная постановка п
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.