ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2008, том 48, < 7, с. 1250-1273
УДК 519.634
КОНЕЧНО-ОБЪЕМНАЯ ДИСКРЕТИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА НА НЕСТРУКТУРИРОВАННОЙ СЕТКЕ ПРИ ПОМОЩИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ПОВЫШЕННОЙ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТИ
© 2008 г. К. Н. Волков
(Университет Суррея, Гилфорд, Великобритания) e-mail: k.volkov@surrey.ac.uk Поступила в редакцию 03.11.2006 г.
Переработанный вариант 18.02.2008 г.
Рассматриваются особенности дискретизации уравнений Навье-Стокса на неструктурированной сетке при помощи метода конечного объема и разностных схем повышенной разрешающей способности по времени и пространственным координатам применительно к двух- и трехмерным задачам механики жидкости и газа. В качестве контрольного объема используется среднемедианный контрольный объем, центрированный относительно узла расчетной сетки. Соотношения для вычисления потоков через грани внутренних и граничных контрольных объемов записываются в одинаковой форме, что обеспечивает простую программную реализацию. Нахождение градиента и псевдолапласиана в серединной точке грани контрольного объема производится на основе соотношений, приспособленных к расчетам на сильно растянутой сетке, используемой в пограничном слое. Библ. 13. Фиг. 7.
Ключевые слова: уравнения Навье-Стокса, численное решение на неструктурированной сетке, разностные схемы повышенной разрешающей способности.
1. ВВЕДЕНИЕ
Развитие вычислительной газодинамики и компьютерной техники делает возможным разработку и реализацию методов расчета нестационарных течений вязкого сжимаемого газа в пространственных областях сложной конфигурации.
Традиционно при решении задач газовой динамики применяются регулярные сетки (структурированные сетки с четырехугольными ячейками на поверхности и шестигранными в пространстве). Регулярность заключается в том, что сетка представляет собой упорядоченную по определенным правилам структуру данных с выраженными сеточными направлениями. Для структурированных сеток сравнительно легко реализуются вычислительные алгоритмы на основе метода конечных разностей или метода конечного объема и современных монотонных методов высокого порядка точности. Однако диапазон геометрических объектов, описываемых структурированными сетками, в том числе блочными, ограничен.
Характерной особенностью неструктурированных сеток является произвольное расположение узлов сетки в физической области. Произвольность расположения узлов понимается в том смысле, что отсутствуют выраженные сеточные направления и нет структуры сетки, подобной регулярным сеткам. Число ячеек, содержащих каждый конкретный узел, может изменяться от узла к узлу. Узлы сетки объединяются в многоугольники (двумерный случай) или многогранники (трехмерный случай). Как правило, на плоскости используются треугольные и четырехугольные ячейки, а в пространстве - тетраэдры и призмы. Основное преимущество неструктурированных сеток перед регулярными состоит в большей гибкости при дискретизации физической области сложной формы, а также в возможности полной автоматизации их построения. Для неструктурированных сеток сравнительно легко реализуются локальные сгущения и адаптация сетки к решению. Для дискретизации уравнений Навье-Стокса применяются метод конечных элементов и метод конечного объема.
Применение неструктурированной сетки приводит к увеличению стоимости вычислений в расчете на один узел сетки. Разумный компромисс состоит в применении комбинированной сетки, которая предполагает объединение регулярных и неструктурированных сеток в различных подобластях, позволяя сочетать достоинства и снижает влияние недостатков, присущих каждому типу сеток.
Комбинированные сетки широко используются при решении задач механики жидкости и газа. Имеются многочисленные публикации, посвященные как разработке и реализации вычислительных алгоритмов на неструктурированных сетках (см. [1], [3]), так и избранным вопросам дискретизации уравнений Эйлера и Навье-Стокса (см. [4]-[13]).
В отличие от хорошо разработанных технологий метода конечных элементов, конечно-объемные технологии на неструктурированных сетках характеризуются отсутствием единых принципов, позволяющих провести дискретизацию конвективных и диффузионных потоков, источ-никовых членов, а также учет граничных условий. Достаточно часто способы дискретизации, имеющие различные характеристики, объединяются.
Прогресс в практике численного решения уравнений Навье-Стокса связан с разработкой разностных схем расчета потоков повышенной разрешающей способности (в англоязычной литературе используется аббревиатура HRS - High Resolution Scheme), позволяющих получать одновременно точные и монотонные решения при наличии слабых и сильных разрывов.
При построении монотонизированных разностных схем повышенного порядка аппроксимации широкое применение находит техника монотонной интерполяции сеточных решений (MUSCL, см. [5], [6], Monotonie Upwind Scheme for Conservative Laws). Вместо потоков из соседних ячеек экстраполируются переменные, величина их производных ограничивается, а уточненные значения подставляются в выражения для потоков. Преимущество схемы MUSCL состоит в возможности повышения порядка точности схемы за счет изменения порядка интерполяции в пределах ячейки.
В данной работе рассматривается конечно-объемный подход к дискретизации законов сохранения на комбинированной сетке. Вопрос построения сетки отделяется от проблемы дискретизации уравнений Навье-Стокса, а представление и хранение координат узлов сетки в виде структуры данных (массива) лежит в плоскости программной реализации и не рассматривается. К преимуществам предлагаемого подхода относятся возможность работы как на структурированных, так и на неструктурированных сетках, использование разностных схем повышенной разрешающей способности, выбор для дискретизации законов сохранения среднемедианного контрольного объема, центрированного относительно узла сетки, применение соотношений для нахождения градиента и псевдолапласиана, приспособленных к расчету сильно растянутой сетки в пограничном слое, одинаковая форма записи соотношений для расчета потоков через грани внутренних и граничных контрольных объемов, что обеспечивает простоту программной реализации.
2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
В консервативных переменных уравнение, описывающее нестационарное трехмерное течение вязкого сжимаемого газа, записывается в виде
dQ + V- F(n, Q,VQ) = H( Q,VQ). (1)
Здесь Q(x, t), F(n, Q, VQ), H(Q, VQ) представляют собой вектор консервативных переменных в точке x в момент времени t, вектор потока через поверхность, ориентация которой задается внешней единичной нормалью n, и источниковый член соответственно. Источниковый член учитывает, в частности, неинерциальность системы отсчета (влияние кориолисовой и центробежной сил).
Уравнение (1) дополняется уравнением состояния совершенного газа, а при моделировании турбулентных течений - уравнениями модели турбулентности (вместо молекулярных коэффициентов переноса используются их эффективные значения).
Для нормальной скорости на стенке используется граничное условие непротекания (vn = 0), а для касательной - условие прилипания ( vT = 0). Имеются разнообразные граничные условия, выставляемые для температуры на стенке, а также граничные условия на входной и выходной гра-
ницах расчетной области. Однако особых трудностей в их формулировке и реализации нет, а для дискретизации уравнений Навье-Стокса их тип не является принципиальным (см. [1]-[3]). Учитывая расщепление вектора потока на невязкую и вязкую составляющие
, Р(п,2,У2) ^ = Р(п, 2) + РУ(п, 2, У 2) ^,
полный поток невязкий поток вязкий поток
уравнение (1) можем переписать в виде
+ У • [ Р1 (п, 2) + ЕУ (п, 2, У 2)] = Н( 2, У 2). (2)
Введем вектор невязки
я (2) = У • F (п, 2,у 2) - Н (2,у 2).
Тогда уравнение (2) примет вид
д-2 + я (2) = о. (3)
Для дискретизации уравнений, записанных в виде (1), (2) или (3), используется метод конечного объема на комбинированной сетке.
Дискретизация уравнений модели турбулентности проводится так же, как и уравнений Навье-Стокса. Источниковые члены в уравнениях модели турбулентности дискретизируются таким образом, чтобы гарантировать ограниченность искомых функций в соответствии с их физическим смыслом (см. [3], [4]).
3. МЕТОД КОНЕЧНОГО ОБЪЕМА
Интегрируя уравнение (1) по контрольному объему У ; с границей ЭУ;, ориентация которой задается внешней единичной нормалью п = {пх, пу, пг}, и применяя теорему Гаусса-Остроградско-го, получаем
Эг
У ; ЭУ;
12dQ + °[ Р (п, 2,у 2) - (п • п) 2 ] ds = | Н (2, У 2) ^, (4)
где vb - скорость перемещения границы ЭУ; контрольного объема У;. Предполагая, что сеточная величина, определенная в центре контрольного объема, представляет собой среднее интегральное значение соответствующей непрерывно распределенной величины
2 = У |'
У1
преобразуем уравнение (4) к виду
+ Я;( 2) = 0. (5)
Вектор невязки в уравнении (5) находится из соотношения
я1 (2) = У-I °[Р(п, 2,У2) - (уь • п)2]ds-1Н(2, У2)dQ^. (6)
ЭУ; У; '
При дискретизации уравнений Навье-Стокса по методу конечного объема используются контрольный объем, совпадающий с ячейкой сетки, или контрольный объем, центрированный относительно узла сетки (см. [2], [5]). Несмотря на то, что выбор контрольного объема, центрированного относительно узла (фиг. 1а), требует примерно в 6 раз большего объема памяти по сравнению со случаем, когда контрольный объем совпадает с ячейкой, он позволяет получить более точные результаты в пограничном слое за счет более мелкого шага сетки в пристеночной области. Вблизи стенки используется половинный контрольный объем (фиг. 16).
У
Фиг. 1.
Сетка
Контрольный объем, полученный соединением центров соседних ячеек
Среднемедианный контрольный объем
Фиг. 2.
Частным случаем контрольного объема, центрированного относительно узла сетки, является среднемедианный контрольный объем (см. фиг. 2). Среднемедианный контрольный объем V, связанный с узлом г = 1, 2, ..., N сетки, где N - число узлов, строится таким образом, что геометрические центры ячеек сетки с вершиной в узле г с
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.