ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2010, том 50, № 4, с. 665-678
УДК 519.632.4
КОНСЕРВАТИВНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ РЕАКЦИИ-ДИФФУЗИИ; АППРОКСИМАЦИЯ РЕШЕНИЙ И ПРОИЗВОДНЫХ^
© 2010 г. Г. И. Шишкин, Л. П. Шишкина
(620219 Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16, ИММ УрО РАН) e-mail: shishkin@imm.uran.ru; Lida@convex.ru Поступила в редакцию 27.11.2009 г.
Рассматривается краевая задача на вертикальной полосе для сингулярно возмущенного эллиптического уравнения реакции-диффузии; производные в уравнении записаны в дивергентной форме. Производные в дифференциальном уравнении содержат возмущающий параметр S2, где s принимает произвольные значения из полуинтервала (0, 1]. При s —0 в решении задачи появляется пограничный слой. С использованием интегроинтерполяционного метода и метода сгущающихся сеток строятся консервативные разностные схемы на потоко-
-2 2 -2
вых сетках, сходящиеся s-равномерно со скоростью O{N1 In N1 + N2 ), где N1 + 1 и N2 + 1 — число узлов сетки по оси x1 и минимальное число узлов сетки по оси x2 на отрезке единичной длины соответственно. С такой же скоростью сходятся s-равномерно сеточные нормированные производные, аппроксимирующие нормированные производные в направлении поперек пограничного слоя sk(5k/ dxk) u(x), k = 1, 2 (являющиеся s-равномерно ограниченными) и производные вдоль пограничного слоя (dk/dxj )u(x), k = 1, 2. Библ. 22.
Ключевые слова: краевая задача, эллиптическое уравнение реакции-диффузии, возмущающий параметр, пограничный слой, консервативная разностная схема, кусочно-равномерная сетка, потоковая сетка, Е-равномерная сходимость, аппроксимация решений и производных.
1. ВВЕДЕНИЕ
В прикладных задачах нередко требуется найти производные по пространственным переменным. В задачах теплопроводности (диффузии) производные первого порядка определяют тепловые (диффузионные) потоки (см., например, [1]). Производная первого порядка компоненты скорости потока вдоль обтекаемой поверхности определяет отрыв пограничного слоя, производная второго порядка — устойчивость ламинарного течения при больших числах Рейнольдса Яе (см. [2]). Задача вычисления производных осложняется в случае сингулярно возмущенных задач, так как при стремлении возмущающего параметра б к нулю производные решения неограниченно растут в окрестности пограничных и внутренних слоев; б — параметр при старших производных уравнения (см., например, [3] и библиографию там). Разработка численных методов, сходящихся б-равномерно в равномерной норме, позволяющих аппроксимировать производные решения задачи, представляет значительный интерес. Однако лишь в немногих публикациях рассматриваются аппроксимации производных решений сингулярно возмущенных задач.
Достаточно часто при математическом моделировании дифференциальные уравнения записываются в дивергентном виде (см., например, [4]). Такая форма дифференциальных уравнений позволяет строить консервативные разностные схемы, для которых выполняются законы сохранения. В [1] рассмотрены свойства консервативных разностных схем для регулярных эллиптических и параболических уравнений в дивергентной форме, в частности рассмотрены уравнения с разрывными коэффициентами. При построении консервативных схем применяется интегро-
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 07-01-00729).
интерполяционный метод. Потоковая разностная схема для регулярного параболического уравнения с сильно меняющимися коэффициентами рассмотрена в [5]—[7]; такая разностная схема обладает лучшей аппроксимацией потоков по сравнению со схемами на стандартных сетках.
Достоинство консервативных схем в случае задач с пограничными слоями состоит в том, что эти схемы позволяют проводить аккуратные вычисления при больших числах Рейнольдса, в том числе для весьма длительно протекающих процессов (см. [8]). В этой связи разработка консервативных численных методов для сингулярно возмущенных задач представляет значительный интерес.
Для сингулярно возмущенных задач в случае уравнений, не являющихся дивергентными, хорошо разработаны методы построения 6-равномерно сходящихся разностных схем (см., например, [9]—[12] и библиографию там же); такие схемы не являются консервативными. Лишь в [13], [14] для сингулярно возмущенных параболических уравнений построены консервативные разностные схемы, сходящиеся 6-равномерно; аппроксимация производных решения в этих работах не рассматривалась.
В настоящей работе для сингулярно возмущенной задачи строится консервативная 6-равно-мерно сходящаяся разностная схема; исследуются аппроксимации первого порядка производных поперек и вдоль пограничного слоя. Рассматривается краевая задача на вертикальной полосе для сингулярно возмущенного эллиптического уравнения реакции-диффузии, записанного в дивергентной форме. При стремлении параметра к нулю в решении задачи появляется пограничный слой. С использованием интегроинтерполяционного метода строятся консервативные раз-
-2 2 -2
ностные схемы, сходящиеся в равномерной норме 6-равномерно со скоростью 0(N1 1п N + N ), где N + 1 и N + 1 — число узлов сетки по х1 и минимальное число узлов сетки по х2 на отрезке единичной длины соответственно. Разностные схемы позволяют аппроксимировать величины
б(д/дх1)и(х), б2(д2/дх'2)и(х) (являющиеся 6-равномерно ограниченными) — нормированные производные поперек пограничного слоя, а также производные вдоль пограничного слоя (дк/ дх\) и(х), к = 1, 2, с такой же 6-равномерной точностью в равномерной норме, как и решение задачи. Разностные схемы строятся на стандартных (традиционных) и потоковых сетках (см. [1]), сгущающихся в окрестности пограничного слоя.
(2.2а)
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ На вертикальном слое
Б = Б иГ, (2.1)
где Б = {х : < х1 < , |х2| < да}, рассмотрим задачу Дирихле для эллиптического уравнения2-*
¿(2.2) и(х) = /(х), х е Б, и(х) = ф(х), х еГ. Здесь
¿(2.2) = 62Ь2 + Ц, ¿2 = ^ дх (а^х) дх и(х)) , ¿о = -с(х) ,
* = 1 , 2 * *
коэффициенты уравнения а^(х), с(х), правая часть/(х) на Б и граничная функция ф(х) на Г предполагаются достаточно гладкими и ограниченными, причем
а0 < а*(х)< а0, с0 < с(х) < с°, х е Б, а0, с0 > 0, * = 1 , 2. (2.2б)
Параметр 6 принимает произвольные значения из полуинтервала (0, 1]. При стремлении параметра 6 к нулю в окрестности границы Г появляется пограничный слой.
Под решением краевой задачи понимается функция и е С( Б) п С2 1(Г), удовлетворяющая дифференциальному уравнению на Б и краевым условиям на Г.
2) Запись Ь(/к) (От(jк), М(/ к), Оц/к)) означает, что эти операторы (постоянные, сетки) введены в формуле (/.к).
Наша цель — для краевой задачи (2.2), (2.1) построить консервативную разностную схему, решение которой и ее нормированные производные сходятся 6-равномерно.
3. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ И ПРОИЗВОДНЫХ
Для построения разностной схемы и ее исследования необходимы оценки решения краевой задачи и ее производных. Так как, помимо решения задачи, требуется аппроксимация его производных, нам потребуются оценки производных более высоких порядков по сравнению с требуемыми лишь для аппроксимации решения задачи.
Заметим, что для задачи (2.2), (2.1) справедлив принцип максимума (см. [15]—[18]) в следующей форме теоремы сравнения.
Теорема 3.1. Пусть V, w е С2(П) п С( Б), и пусть выполняется условие |.^(х)| < -£-м(х), х е Б, ^(х)|< w(x), х е Г.
Тогда справедливо неравенство | у(х)| < w(x), х е Б. При выполнении условий
и5 е С +1 + а(Б), е,/е С1+а(Б), фе С1+2 + а(Г), 5 = 1, 2, (3.1)
где I — целое, I > к0, к0 > 0, и а е (0, 1), имеем и е С1+2 + а(Б).
Перейдем к (растянутым) переменным ^ = ^(х) = б-1хЛ, 5 = 1, 2, и выполним в этих переменных оценку производных решения краевой задачи, которая теперь стала регулярной (см. [15]). Возвращаясь к исходным переменным, получаем оценку (см., например, [3])
< Иг-, х е Б, 0 < к < К, (3.2)
где К = к0 + 2.
Более тонкие оценки, учитывающие поведение решения в окрестности пограничного слоя, получим с использованием декомпозиции решения
и(х) = и(х) + ¥(х), х е Б, (3.3)
где и(х) и ¥(х) — регулярная и сингулярная части решения задачи. Функция Щх) есть сужение на Б функции Ще(х), х е Бе, где Ще(х) — решение задачи, продолженной за границу Г:
Ьеи(х) = /е(х), х е Бе, ие(х) = фе(х), х е Ге. (3.4)
Здесь область Бе содержит область Б вместе с ^-окрестностью, Ге — достаточно гладкая граница области Бе, данные задачи (3.4) являются достаточно гладкими. Функция ¥(х) — решение задачи
ЬУ(х) = 0, х е Б, ¥(х) = ф(х) - и(х), х е Г. (3.5)
Функцию Ще(х), х е Бе, представим в виде суммы функций (разложения по параметру б):
ие (х) = и0 (х) + б и (х) + Vу(х), х е Бе. (3.6)
Компоненты из представления (3.6) определяются соотношениями
Ь'Х(х) = /е(х), х е Бе, Х0и1 (х) = -Х2ие(х),
функция vU(х) — остаточный член из представления (3.6) функции Ще(х), являющейся решением задачи
Ье Vеи(х) = -б4Ье2 и1 (х), х е Бе, vU(х) = фе(х) - ( и0(х) + б2 и1 (х)), х е Ге, где Ье2 и Ье0 — продолжение операторов Ь2 и Ь0.
д х11д х2
и ( х)
к
В случае достаточно гладких данных задачи (3.4) оцениваем компоненты из представления (3.6) и их производные. Для функции U(x) получаем оценку
д*
- к1~ к2 дх1 дх2
и( х)
4-к
< М[ 1 + б ], х е Б, 0 < к < К,
(3.7)
где K = к0 — 2.
Таким образом, регулярная компонента решения задачи и ее младшие производные (здесь не выше четвертого порядка) 6-равномерно ограничены на Б. С использованием барьерных функций вида
ехр\ - тб 1 (й* -х1) + ехр[-тб 1(х1 - й*1)] >, х е [й*1, й*],
получаем оценку
|К(х)|< Мехр[-тб г(х,Г)], х е Б,
(3.8а)
где г(х, Г) — расстояние от точки х е Б до границы Г, т — произвольная постоянная из интервала (0, то),
1/2
т0 = шт[ а1 (х) с (х)] .
Б
Оценивая производные ¥(х) в растянутых переменных (см. [3]), получаем оценку
(3.8б)
дк
- к1- к2 дх1 дх2
У( х)
< Мб кехр[-тб 1 г(х, Г)], х е Б, 0 < к < К,
где К = К(37). Задача (3.5) допускает дифференцирование по х1 до порядка К; для функции V получается оценка
дк
дх1к1дх2к2
У( х)
-к, 4 -к2 -1 —
< Мб 1 (1 + б 2)ехр[-те г(х, Г)], х е Б, 0 < к < К,
(3.8
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.