МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 5 • 2009
УДК 539.3
© 2009 г. В.А. ПОСТНОВ
КОНСТРУКТИВНАЯ СИММЕТРИЯ В ЗАДАЧЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ПОДКРЕПЛЕННОЙ КОЛЬЦЕВЫМИ
РЕБРАМИ, ПРИ ДЕЙСТВИИ ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ
Использовано ранее полученное автором решение рассматриваемой задачи [1—3], основанное на методе декомпозиции подкрепленной оболочки на отдельные ее конструктивные элементы (ребра и собственно оболочку) с последующим составлением уравнений равновесия и условий совместности их деформаций. В предположении безмоментности докритического состояния оболочки это решение можно считать точным. Его недостаток — значительная сложность расчетного алгоритма.
В настоящей работе показана возможность резкого уменьшения этой трудоемкости при наличии у рассматриваемой оболочки элементов конструктивной симметрии (одинаковые ребра, равные расстояния между ними или то и другое). Дополнительно приведены зависимости для определения необходимой жесткости подкрепляющих ребер, обеспечивающей доведение устойчивости оболочки до заданного критического значения внешнего гидростатического давления.
Ключевые слова: цилиндрическая оболочка, устойчивость, подкрепляющие элементы, изгиб.
1. Введение. Оболочечные конструкции обладают высокой несущей способностью, легкостью. Благодаря этим качествам они находят широкое практическое применение во многих отраслях современной техники.
Для тонкостенных оболочек, в частности подкрепленных ребрами жесткости, обеспечение их устойчивости приобретает особое значение, так как при достижении нагрузкой критического значения может исчерпаться их несущая способность. По этой причине проблема расчета устойчивости подкрепленных оболочек была и остается актуальной.
При исследовании устойчивости подкрепленных оболочек используют два подхода, различающихся способами учета влияния подкрепляющих ребер. Если жесткости подкреплений оболочки одинаковы, а расстояния между ними мало, то задачу сводят к расчету анизотропной оболочки, заменяя подкрепления эквивалентным увеличением жесткостей обшивки на изгиб, кручение и растяжение. При расчете же оболочек с малым числом ребер или, когда ребра существенно отличаются по жесткости, такой подход недопустим. Здесь необходимо использование методов, учитывающих дискретность расположения подкрепляющих ребер по длине оболочки.
Ниже основным объектом исследования являются идеальные цилиндрические оболочки, подкрепленные кольцевыми ребрами. Особое внимание уделено учету дискретности расположения ребер.
Первой работой, в которой рассматривалась устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной кольцевыми ребрами, является [4]. В ней для получения решения
был применен энергетический метод. Именно этот метод использовался в подавляющем большинстве последующих публикаций по устойчивости цилиндрических оболочек, подкрепленных кольцевыми ребрами [5—8].
В работе [9] для получения решения устойчивости круговой цилиндрической оболочки, подкрепленной одинаковыми и равноотстоящими кольцевыми ребрами, использовались несколько упрощенные, за счет отбрасывания второстепенных членов, уравнения Власова с последующим разложением компонентов перемещения срединного слоя оболочки в двойные тригонометрические ряды. Для свободно опертой по торцам оболочки было получено окончательное выражение для критического давления в виде формулы для гладкой оболочки с добавлением членов, учитывающих изгиб оболочки между ребрами.
В [10], как и в работах [1, 2], использован метод декомпозиции: отделение ребер от оболочки. В уравнения устойчивости оболочки, записанные в перемещениях срединной поверхности, дополнительно к внешним силам вводились через 8-функции усилия взаимодействия срединного слоя оболочки с отсеченными кольцевым ребрами. Приведенные в работе зависимости, учитывающие как дискретное расположение ребер, так и их расположение по отношению к срединной поверхности оболочки (внутреннее и наружное), в значительной степени дублируют результаты работ [1, 2], хотя и получены при использовании другого подхода.
Устойчивость круговой цилиндрической оболочки, подкрепленной ребрами различной жесткости, рассматривалась в работах [2, 6, 11—14]. Решения, приведенные в [13, 14], позволяют получить решение рассматриваемой задачи в наиболее общей постановке, когда не только ребра, но и расстояния между смежными ребрами (шпация) также различны.
Алгоритмы упомянутых выше решений задач устойчивости цилиндрических оболочек, подкрепленных кольцевыми ребрами, в вычислительном отношении оказывается достаточно сложными и громоздкими. Ниже показано, что при равном расстоянии между кольцевыми ребрами упомянутые выше решения можно существенно упростить, если воспользоваться подходом, изложенным в работе [2].
2. Основные зависимости устойчивости подкрепленной оболочки. Задача устойчивости цилиндрической оболочки подкрепленной упругими ребрами различной жесткости, приводит к необходимости решения дифференциального уравнения восьмого порядка [3]:
-^ + Ъх-^ + ь2-^ + Ьз-^ + = 0 (2.1)
йЕ, й Е, й Е, й Е,
при соблюдении в каждом сечении ^ = ^ (место расположенияу-го ребра жесткости) восьми условий перехода функции и ее производных через сечения ^ = ^
к " ^ ^ + 0 й^п(Е)
= £ А1к> (к = 1, 3, 5, 7) (2.2)
- 0 1 = 0, 2,4, 6
Здесь Ь, Акк у — некоторые коэффициенты, зависящие от геометрических и жест-костных характеристик оболочки и подкрепляющих ее ребер, а также от внешних усилий [3]. Уравнение (2.1) и условия (2.2) дополняются граничными условиями закрепления оболочки в её торцевых сечениях.
Частное решение уравнения (2.1) ищем в виде
Щ(Е) = Ое4 (2.3)
Внося (2.3) в (2.1), получим характеристическое уравнение для определения параметра X:
X8 + Ь1X6 + Ь2 X'4 + Ь3Х2 + Ь4 = 0 (2.4)
Из анализа численных значений коэффициентов уравнения (2.4) можно установить, что вблизи критических значений внешней нагрузки параметр X будет иметь четыре комплексных, два вещественных и два мнимых корня:
Х1, 2, 3, 4 = ±«1 ±Р^ Х5, 6 = ±«2, Х7, 8 = ±'р2
Тогда общий интеграл для функции запишется в виде:
и„(%) = е^( соб + ^¡яп р1 %) + - Ь) (^СОБ р1 % + ^¡яп р1 %) +
(2.5)
-а2( 1 - Ь)
+ Б5 е + Б6 е + Д7соб р2 % + Дбш р2 %
Введем дополнительные обозначения:
,к
И,
.к
К)
(') = (%)
7
(' = 0, 2, 4, 6), ) = й И( %)
5 = Ь й %
(к = 1, 3, 5, 7)
Ь = Ь
и рассмотрим изгибу-го пролета подкрепленной оболочки (междуу и (у + 1)-м ребрами) при граничных условиях (начало координат располагаем на у-ом ребре):
% = % = 0: ) = 0; % = % +1 = 0: К +) 1 = К(+)15', (', 5 = 0, 2, 4, 6) (2.6)
Используя общий интеграл (2.5) при граничных условиях (2.6), последовательно при I = 0, 2, 4, 6 определим значения нечетных производных Нук) и Н(+)1 для к = 1, 3, 5, 7 Тогда Фк> = Н)к) / Н(+)1 определяет функцию влияния К/ +1 на величину Н(к) в
противоположном опорном сечении; у к? = Н(+)1 / К(+1 определяет функцию влияния ТА') г/к)
К) + 1 на величину Н) + 1 в том же опорном сечении.
Используя эти функции можно построить базисную матрицу функций влияния для каждого из пролетов оболочки (своеобразный конечный элемент). Эта матрица определяет связь между величинами Нк) и (см. зависимость (2.7)).
Если пренебречь влиянием крутильной жесткости ребер на устойчивость подкрепленных оболочек, то в качестве основных неизвестных целесообразно принять четные
производные К)'. Такой выбор неизвестных продиктован тем, что при пренебрежении влиянием крутильной жесткости величины К(') не будут иметь разрывов при переходе через сечения ^ = ^ и, следовательно, четыре условия перехода из восьми (при ; = 0, 2, 4, 6) оказываются тождественно выполненными. Располагая базисной матрицей (2.7):
-у/1 -у3? -у/ -у7? Ф^ Ф321 Ф521 Ф721 К
н 31 -у/1 -у3? -у/ -у7? Ф^ Ф32 Ф521 Ф721 К/ 21
н5> -у/1 -у3? -у/ -у7? Ф^ Ф32 Ф521 Ф721 К/ 41
/ -у/ -у3? -у/ -у7? Ф121 Ф32 Ф521 Ф721 К/ 61
н/ +1 Ф321 Ф521 Ф721 -у/1 -у/ -у/ -у7? К0) К/+1
н3) н/ +1 Ф32 Ф521 Ф721 -у/1 -у/ -у/ -у7? К2) К +1
н5) н/+1 Ф/1 Ф32 Ф521 Ф721 -у/1 -у3? -у/ -у7? К4) К/+1
н7) + и ф/1 Ф32 Ф521 Ф721 -у/1 -у/ -у/ -у7? К6) 1К/+и
(2.7)
и используя алгоритм, аналогичным алгоритму метода конечных элементов для расчета балок, получим систему алгебраических уравнений для определения основных неизвестных К, :
(2.8)
X [- ЧкиФ + Фк,,/ 1 - у//0 + Фы/ ]= £ Аки/
' = 0, 2, 4, 6 ' = 0, 2, 4, 6
(к = 1, 3, 5, 7; / = 1, 2.....и - 1)
В совокупности с граничными условиями (по четыре на каждом торце оболочки)
система (2.8) образует систему из 4(т + 1) уравнений с 4(т + 1) неизвестными К,'. Равенство нулю определителя этой системы приводит к искомому уравнению устойчивости рассматриваемой подкрепленной оболочки:
А1(р) = 0
(2.9)
Наименьший корень уравнения (2.9) и определяет искомое критическое значение внешней нагрузки.
3. Равноотстоящие ребра одинаковы. В рассматриваемом случае функции влияния Уи,, Фи,] и коэффициенты ] не будут зависеть от номера пролета и от номера ребра. Система (2.8) упростится и перепишется в виде:
X [ - у к' /+ФкК +1 - у«/+ФкК^ 1 ] = £ аК
(3.1)
' = 0, 2, 4, 6
' = 0, 2, 4, 6
При числе промежуточных ребер больше одного систему (3.1) целесообразно рассматривать как систему уравнений в конечных разностях. Она допускает решение вида
/ = К ехр (а/) (3.2)
где К — произвольные постоянные; а — неопределенный параметр, подлежащий определению.
Внося (3.2) в систему (3.1), получим:
X [2фк'а - 2уК - Ак']К = 0 (к = 1, 3, 5, 7)
(3.3)
' = 0, 2, 4, 6
Равенство нулю определителя (3.3) приводит к получению уравнения для определения значений параметра а:
|2фиеИа - 2-Лк\К{ = 0 (3.4)
Из (3.4) видно, что если а5 (5 = 1, 2, 3, 4) будут корнями этого уравнения, то —а5 также будут его корнями. Тогда общее решение для К!) запишется в виде:
4
к(;) = X (К+ехр (а*' 1)+К— ехр (-а*'
С помощью уравнений (3.3) величины К+ и К- для к = 2, 3, 4 могут быть выражены через К+ и Ки соответственно. Для определения этих оставшихся неизвестными восьми величин должны быть использованы граничные условия для функции на торцах оболочки. В итоге получаем однородную систему из восьми алгебраических линейных уравнений.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.