ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА Том 75. Вып. 1, 2011
УДК 539.3
© 2011 г. Р. Д. Банцури, Н.Н. Шавлакадзе
КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КУСОЧНО-ОДНОРОДНОЙ ПЛОСКОСТИ С КОНЕЧНЫМ ВКЛЮЧЕНИЕМ
Рассматривается кусочно-однородная упругая ортотропная пластинка, усиленная конечным включением, выходящим на границу раздела под прямым углом и нагруженным тангенциальными силами. Определяются контактные напряжения вдоль линии контакта, устанавливается поведение контактных напряжений в окрестности сингулярных точек. С применением методов теории аналитических функций задача сводится к сингулярному интегро-дифференциальному уравнению на конечном отрезке. При помощи интегрального преобразования получена задача Римана, решение которой представляется в явном виде.
Ранее были получены точные или приближенные решения статических контактных задач для разных областей, усиленных упругими креплениями или тонкими включениями, а также накладками переменной жесткости, изучено поведение контактных напряжений в концах линии контакта в зависимости от закона изменения геометрических и физических параметров этих элементов [1—8]. Была решена первая основная задача для кусочно-однородной плоскости, когда трещина конечной длины выходит на границу раздела двух тел под прямым углом [9], а также аналогичные задачи для кусочно-однородной плоскости при действии симметричных нормальных напряжений на краях трещины [10, 11] и контактная задача для кусочно-однородной плоскости с полубесконечным включением [12].
Рассматривается кусочно-однородная ортотропная упругая пластинка, усиленная конечным включением, находящегося под действием тангенциального усилия с интенсивностью т0(Х). Относительно включения, имеющего вид слабоискривленной накладки малой толщины, предполагается, что оно жестко сцеплено с пластинкой и растягивается или сжимается как стержень, находясь в одноосном напряженном состоянии. Принимается условие совместимости горизонтальных деформаций включения и упругой кусочно-однородной сплошной пластинки, загруженной тангенциальными напряжениями. Нормальное контактное напряжение скачка не имеет.
Задача заключается в определении скачка т1(х) контактных тангенциальных напряжений вдоль линии контакта и в установлении их поведения в окрестностях концов включения. Она формулируется так: пусть упругое тело S занимает плоскость комплексного переменного г = x + iy, которая вдоль отрезка ¡1 = (0,1) содержит упругое включение с модулем упругости E0( x), толщиной h0(x), коэффициентом Пуассона v0 и состоит из двух полуплоскостей из различных материалов
^ = {г| Re г > 0, г е ¡1 = [0,1]} и S2 = {г| Re г < 0}
спаянных вдоль оси х = 0. Величины и функции, отнесенные к полуплоскости Sk, будем отмечать индексом к (к = 1, 2), а граничные значения иных функций на верхнем и нижнем краях включения будем отмечать индексами плюс и минус, соответственно.
Будем считать, что левая и правая полуплоскости однородные и главные направления упругости совпадают с осями координат.
На границе раздела двух материалов имеем условия неразрывности
= ^ ^ = «1 = «2> и1 = и2 (1)
где а®, тХу — компоненты напряжения, щ, и, — компоненты перемещения (; = 1, 2).
На отрезке 11 имеем следующие условия:
йи^(х) _ 1
йх Е(х)
Здесь щ10)(х) — горизонтальные перемещения точек включения, а условие равновесия включения имеет вид
-
|[т1(?) - т?(г)] I, х е 11 Е(х) _ Ео(
Е о(х)Ло(х)
2
^ 0
(2)
Ро - |(Т1(0 -т^й = Р
(3)
где Р0 и Р — неизвестные осевые усилия в точках х условиям (3) следует присоединить соотношения
Ао(0)/2 ВД/2
Ро = | °х'(о, у)йу, Р = | ^х1)(1, у)йу
-Ао(о^2 -йо(1^2
где ^(х, у)
0 и х = 1. Для их определения к
(4)
горизонтальная компонента поля напряжений в полуплоскости Для компонент напряжения и смещения в полуплоскости имеем следующие граничные условия:
.(1)+
- а
(1)-
= о,
с(1) + -т(1) -
» * -у
= т1(х), и = и , и = и, о < х < 1
(5)
С помощью формул С.Г. Лехницкого [13] поставленная задача сводится к отысканию функций Ф к (1к) и ¥ к (£, к) (к = 1,2), голоморфных соответственно в областях и S2 по граничным условиям (5) и (1) на отрезке и на линии раздела соответственно:
Яе[ФГ(х) - Ф1(х) + ^1(х) - ^Г(х)] = о 21ш[Р1(Ф+(х) - Ф-(х)) + У1(Т+(х) - ¥-(х)] = ц(х) Яе[р1(Ф+(х) - Ф-(х)) + Г1(Т+(х) - ТГ(х))] = о 1ш[Р1Г1(Ф+(х) - ФГ(х)) + У1Р1(^1+(х) - ¥Г(х))] = о; о < х < 1
Яе^Ф^) + у^^)] = Яе [Р^Ф 2(^2) + У 2^ 2(^2)] 1ш[р1Ф1(?1) + У1^1(о1)] = 1ш[р2Ф 2«2) + у 2^ 2(02)] ¡ш^Ф^) + /1У1^1(СТ1>] = 1ш[р2р2Ф 202) + ГЦ 2^ 2(0 2)] ЯеЦЗ^Ф^) + у^^)] = ЯеЦ^Ф 2^) + У 2р2^ 2(02)]
(6)
(7)
Здесь хк = ;'Р ку, О к = Й ку, Рк = -(вк + V к )/Ек, Гк = -(у к + V к )/Ек; к = 1, 2; ±; рь ±1 ук ■
' (Рк > Ук) — корни характеристического уравнения ц4 + (Ек/Ок - 2ук)ц2 + Ек/Е* = о
о
Система (6) имеет единственное решение
Ф + (х) - Ф-(х) =--
;р1
-Т!(Х), ^+(х) -УГ(х) = ■
"1
-т^х); 0 < х < 1
(8)
2Р1(1 -Р1).......... 2у1(?1 -Р1)
Ввиду того, что х1(х) = 0 при x > 1, общее решение задачи (8) представляется в виде
1
Ф^1) = -^ТУ1-^ + ^ " Р1 ^1) + ^1)
4лр1(г1 -р^ г - в
в1
(9)
^1) =
1
4пу1(г1 - Р1К t -
+ ^1) = - ^0(^1) + И^)
У1
где ^1(^1) и ^2(^1) — аналитические функции соответственно в полуплоскостях Яег1 > 0 и Яе^ > 0.
Теперь внесем в равенства (7) граничные значения функций Ф^) и ^1(^1), выраженных формулами (9), полученные выражения умножим на
1 Л
г = ¡у, г = х + ¡у, х > 0
2ш г - г
проинтегрируем вдоль мнимой оси и используем то обстоятельство, что если Ф(г)
функция голоморфная в полуплоскости 1т г > 0 (1т г < 0), то Ф(;у) — граничное значение функции Ф(-г), голоморфной в полуплоскости 1тг < 0 (1т г > 0). В результате при помощи теоремы и формулы Коши получим систему
Р1Р1 м^г) + г/у1 ^2(У1?) + Р2Р2 Ф 2(-02 г) + у 2 г{ У 2(-у 2 г) = р1 ^(-р^) - ^(-у^)
+17
Р21Ум1(Р1г) + У12р1 М2(у1г) - в2г2Ф2(-в2г) - у2р2^2(-у2г) =
21
Л
= -V Р1 ^(-р^) + улр! щ(-цг); 1 = 1,2
Решив эту систему относительно функций м1(в1г) и м2(у1г), заменив г соответственно на г1/в1 и с^/ у1, получим
М1(г1) = ЩЫ1) +^м [ г |, ^(дО = 1*й) +12м^-дО
р1
р1 ^
У1
(10)
где
11 = -Л11Р1Р1 - А21Р1 + АзЛ + А41Р1г1Ръ 12 = Л11У11 + А21г1 - АзЛ - А41У1Р1Г I* = А21Р1Р1 + А22Р1 - А23Р2 - А24Р1г1Рь 1 * = -А21У1Г1 - А22г1 + А2^12 + А24У1Р1Г1
о 2 2
Р! У 2
А =
-Р2
2
-У 2
Р1 У1 Р 2 У 2
Р1Р1 1У1 Р2Р2 ГЦ 2
о 2 2 о 2 2
Р1Г1 У1Р1 в2Г2 -У2Р2
Аи (;,] = 1, 2, 3, 4) — алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы.
Граничное условие (2) при 0 < х < 1 эквивалентно условию
р1Ф1(х) + р1Ф1(х) + ^(х) + ^(х) = -1-
Е(х)
Ро - I(т^) -т°(г)}Л
(11)
Подставляя в него выражения (9) и (10), после несложных операций получим
1 гф '(г)Л к1 гф '(г)Л к2 г ф ' (0Л к3 г ф ' (0Л _
13
Гф (1)Ш _ г
* t -I- -V- I
^ t _ х I + х + Уь* + Р1Х
1:
Е(х)
4ф(х) _-\/2л/0(х), 0 < х < 1
(12)
где
Ф(х) = Ро - |Т1 (IЩ Ф(1) = Р - Ро - |)Ш = То,
/о(х) =
Е(х)
| т°°№ + Ро
V о
к1 =р|/1 + л!*5, к2 =Р112Ё15, кз = П^п5, к4 = (Г1 -Р1>5> о, 5 = А А А
( 2 Л-1 Л Р1
У1 в
Для решения интегро-дифференциального уравнения (12), когда жесткость включения изменяется по линейному закону, т.е. Е(х) = Их, х е (0, 1), произведя подстановку ? = е?, х = е^ и применив обобщенное преобразование Фурье [14], получим
¥ (.?) = 0(.?)Ф (5) + g(s), - да < 5 < да
(13)
где
15 р. 2 к в
6(5) = зсШ™ + к1-^ + к2 6--— + к3 6--— + 2к4, ц = 1пв
" ' ' У1
у1 в1 Н
g(s) = Т
7 7 7 ^
сШ™ + ^ + + | + 2Б-(5)
Ф
(5) = ' ф(£Б-(5) = ' 6/(*,
-ТО ТО
^ + (5) ^ | ¡5
%< о
"с "с "с "с
Г ЛЖ + к1 Г ЛЖ + к2 [ (е ^ ) + кз %> о
1 - е 4 1 + е ^ У1 + р1в 4 р1 + у1е ^
-СП — СП —СП ' 1 11 —СП 11 ' 1
х
Функции ¥+(т) и Ф-(т) в силу их определения представляют собой предельные значения функций, голоморфных соответственно в верхней и нижней полуплоскости. Нижний индекс минус означает, что при 5 = 0 обобщенную функцию надо понимать в известном смысле [14].
Условие (13) можно представить в виде
ф+ (14)
■17+1 уЦ+Т2 + '
Под -у/г +1 и ^¡1 — I подразумеваются ветви, аналитичные соответственно в плоскостях с разрезами вдоль лучей, проведенных от точки z = —I и z = I по направлению х, и получающие соответственно положительное и отрицательное значения на верхней
стороне разреза. При таком подборе ветвей функция ^1 + г2 аналитична в полосе — 1 < Imz < 1 и принимает положительное значение на действительной оси.
Таким образом, поставленную задачу можно сформулировать так: найти функцию голоморфную в полуплоскости Imz > 0 и исчезающую на бесконечности, и функцию Ф-^), голоморфную в полуплоскости 1тг < 1, кроме точек, являющихся корнями функции G(z), исчезающую на бесконечности и удовлетворяющую условию (14).
Решение задачи имеет вид
ф-(г) = Хг1, 1тг < 0; ¥+(г) = Х^Яг+и 1тг > 0
У11 -1 (15)
ф-(г) = (¥+(г) - _1(г), 0 < 1тг < 1
где
Х(г) = Х(г){-П. 1 + ^ 1, Х(г) = ехрК { \ \2ш\х\tyI7Vi« - г)1 1-1 I
^) =
41+?
Яе О0() > 0, С0(±да) = 0
Интегралы в формулах (15) при ? = 0 надо понимать в смысле главного значения по Коши.
Из формул (15) обратным преобразованием Фурье получается выражение для искомой функции
т1(х) = -ф '(х) = | (Т0 - НФ (() )в - 1п
4—лх
—да
Затем находим ^(х,у) и, применяя формулы (4), получаем соотношения для Р0 и Р. (Если Н0(0) = 0, имеем Р0 = 0.)
Можно показать, что Ф+ .0) = Ф- .0), и следовательно, функция Ф-^) голоморфна в полуплоскости, кроме точек, являющихся нулями функции G(z) в верхней полуплоскости.
Изучим поведение контактных напряжений в окрестности сингулярных точек г = 0
и г = 1. Функция Т0 - isФ являющая преобразованием Фурье функции ф'(е ), при
учете первого равенства (15) равна с0/ \fs-i + Ф-^), где Ф-^) — преобразование Фурье функции, непрерывной на полуоси х < 0 кроме, быть может, точки 5 = 0, в которой она может иметь логарифмическую особенность. Обратным преобразованием Фурье получаем
Т!(х) = 0(1/л/Т—х), x ^ 1 -
Изучим поведение функции т^л:) в окрестности точки г = 0. Полюсами функции Ф(г) в области Б0 = {г : 0 < 1т г < 1} могут быть нули функции О(г).
Допустим, что ;х0 — наименьший по модулю простой нуль функции О(г) в области Л0. Тогда, применяя к функции е(Т0 - izФ^(г)) теорему Коши о вычетах для прямоугольника Л(Ж) с гра
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.