ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА Том 73. Вып. 4, 2009
УДК 539.3
© 2009 г. Р. Д. Банцури, Н.Н. Шавлакадзе
КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КУСОЧНО-ОДНОРОДНОЙ ПЛОСКОСТИ С ПОЛУБЕСКОНЕЧНЫМ ВКЛЮЧЕНИЕМ
Рассматривается кусочно-однородная упругая пластинка, усиленная полубесконечным включением, пересекающим границу раздела под прямым углом и нагруженным тангенциальными силами. Определяются контактные напряжения вдоль линии контакта, устанавливается поведение контактных напряжений в окрестности сингулярных точек. Методами теории аналитических функций и интегральных преобразований задача сводится к системе сингулярных интегро-дифференциальных уравнений на полуоси. Решение представляется в явном виде.
Ранее были получены точные или приближенные решения статических контактных задач для разных областей, усиленных упругими креплениями или тонкими включениями, а также накладками переменной жесткости, изучено поведение контактных напряжений в концах линии контакта в зависимости от закона изменения геометрических и физических параметров этих элементов [1—8]. Была решена первая основная задача для кусочно-однородной плоскости, когда трещина конечной длины выходит на границу раздела двух тел под прямым углом [9], а также аналогичные задачи для кусочно-однородной плоскости при действии симметричных нормальных напряжений на краях трещины [10, 11].
Рассматривается кусочно-однородная упругая пластинка, усиленная полубеско-
о / ч
нечным включением под действием тангенциального усилия с интенсивностью т к (x).
Относительно включения, имеющего вид слабоискривленной накладки малой толщины, предполагается, что оно жестко сцеплено с пластинкой и растягивается или сжимается как стержень, находясь в одноосном напряженном состоянии. Принимается условие совместимости горизонтальных деформаций включения и упругой кусочно-однородной сплошной пластинки, загруженной по полуоси тангенциальными напряжениями. Нормальное контактное напряжение скачка не имеет.
Задача заключается в определении скачка контактных тангенциальных напряжений тк(х) вдоль линии контакта и в установлении их поведения в сингулярных точках (т.е. в окрестностях концов включения) и формулируется так: пусть упругое тело S занимает плоскость комплексного переменного z = x + iy, которая вдоль линии L = (—ад, 1) содержит упругое включение с модулем упругости E0(x), толщиной hx, коэффициентом Пуассона v0 и состоит из двух полуплоскостей из различных материалов
S = {z|Rez > о, z £h = [о, 1 ]}, S = {z\Rez < 0, z £h = ]-ю, 0]}
спаянных вдоль оси x = 0. Величины и функции, отнесенные к полуплоскости Sk, будем отмечать индексом к (к = 1, 2), а граничные значения иных функций на верхнем и нижнем краях включения будем отмечать индексами плюс и минус, соответственно (фиг. 1).
У' тР2(х) ф)
—/ /\ / / 1 у у /
/ / У , У / У /
й0(х) 1
Фиг. 1
У' Х+2(х) тР2(х) --. -, ___—/--у*-т*-//—/____^--т"-7*-/-- / Ах)
^УУУУУУУУУУУУ ^ / / --1 р х
т-2{х) 1 /
Фиг. 2
На границе раздела имеем условия неразрывности
^ (1) ^ (2) т (1) т (2)
ах = ах , тху = тХу , и 1 = и 2, и = и>2 (1)
На отрезках 1к имеем следующие условия:
^ = Р - |[т 1 (х) - т 1 (0]Л| х е 11
^ о (о) х
4и 2 (х) 1 г[т (Л т о (Л] х с г . Е( х) Ео(х) к о(х)
1- = ~Е-Т~\ I [Т2(1) " Т2(*)] ™, х ^ 12; Е(х) = -Г
4х Е( х V 1 - V 2
(2)
Здесь и) (х) — горизонтальные перемещения точек включения, а условия равновесия отдельных частей включения имеют вид
о1
{(т2(0 - т2о»(0)А = Ро, Ро - |(т,(0 - т 1о»(())А = Р (3)
о
-ю
где P0 и P — неизвестные осевые усилия в точках х = 0 и х = 1 соответственно (фиг. 2). Для определения этих усилий к условиям (3) следует присоединить соотношения
Ь о ( 0 ) К( 1 )
2 2
Ро
= | а^ (0, у) йу, Р = | а^(1, у) йу (4)
Ь о ( 0 ) Ьо( 1)
2 2
где о^ (х, у) — горизонтальная компонента поля напряжений в полуплоскости Из формул Колосова — Мусхелишвили [12]
г
Фк( г) = г Ф; (г) + у( г) = ( ^ + ) ds + С^ = Як (г)
КкФк(г)-гфк(г)-у(г) = 2 ИкК +(ик), ^к =
при учете условий непрерывности компонент перемещений в пластинке с накладкой
+ - + -ик = и к, Ок = Ок
получаем
Ф+(х)-Ф—(х) = |тк(г)йг = ¡/к(О, (х)-у—(х) = -/(Хк/к(*) + х/'к(х)),
х е 1к
Решения этих задач имеют вид
(5)
Фк( г) = 1 + г) = г) + Жк( г)
2ял ¿-г
к
^г) = - ± К «(к(') + ((О М' + аАг) = ^(г) + а(г); г е 4
где Wk(z) и Qk(z) — аналитические в полуплоскости Sk функции. Введением функций
©к( г) = -г Фк(г) + у к (г) = Пк( г) + ^к (г) (6)
где
Пк( г) = -г^к (г) + Як(г), ЗД) = -гЖк(г) + ак(г)
формулы Колосова-Мусхелишвили приводим к виду
Фк( г) + (г + г )Фк (г) + ©к (г) = Як( г)
х
к
КкФкС г )-(г + г )Фк (г )-©к( г) = 2 ^к(ик +(ик)
Записав в терминах функций (6) условия (1) , действуя на полученные равенства сингулярным оператором
¡ю
'■ ) - г_01)
**( ■) - [ , г 6 Sk
2я^ г - г
получим относительно функций W1(z), ^(г), W2(-г) , П2(-г) систему четырех уравнений, решение которой имеет вид
(г) - б1 т(-г) + Г2щ(г), П^г) - п^1 (-г) + тП(г)
Ж2(-г) - е2П2(г) + Г1^1 (-г), П(-г) - к^(г) + тхщ(-г)
С помощью этих соотношений из формул (5), (6) находим
ек / . Гз - к г/з - к(?)
фк(г) - 2П 1
1 ек Кк + екг
и - г г + г
(? + г Я
^к( г) -2-П |
- К к + + ек(1 + К к) г - 2 екг ' г - г ? + г (? + г)2 (г + г)3.
Гк(?) л - ^ л + ^ Р г + г 2я ^
/к (г) йг +
г - г
йг
(7)
+ ^ (Г --1
+
екг
^и - г (г + г)^
?/'(г) йг +
+
2 я
I
-ИзК - к , ( Гз - к - тз - к) г"
г - г
+
(г - г)2
/з - к( г) йг -
т з - к г г/' - к ( г)
2я 1 г - г
йг; к - 1, 2
где
_ И - И2 _ Из - к (К + 1) ,„д _ Ик(К - к + 1) ь _ К Из - к - К - к Ик ек - ' , 'к - - , тк - - , пк - ~
К
А
А
з - к
А
з - к
Ч "з - к
Ак - ^кИз - к + Ик Внеся выражения (7) в равенство
ик(г) - г1-МКкФк(г) -гфк(г) - Ук(г)] 2 Ик
и перейдя к пределу, при z ^ х ± Ю получим систему сингулярных интегро-дифферен-циальных уравнений
Е (х -4 яи
-1
2 К 1 + К1е1 + П 1 - 4е/ г - х г + х ( г + х) з
/1(г) йг -
Е(х) гГ'2 К + ^2^2 + 2(И2 - '2)Г
4яи
Е (х -4ЯИ2 |
- Л'
г + х
(г + х)2
/2(0 йг -
[- (1 + К)/ 1(х) + ВД, х б(о, 1) [Е(х)и1'(х), х 6 (1, да)
2 К 2 + К2е2 + П2 4 е2г2
г-х
г+х
(г + х )з
/'(г) йг +
¡ю
к
к
к
з - к
з - к
о
о
о
+
E(x)
У1 К2 + т1К1 1 2( m1 -г1 ) г (г + х)2 ■
г + х
+
/1(г)йг = (1 + К2)/2(х) + Т2(х), х е (0, да)
где
/ () Г/1 (х), х е (0, 1) / () (1 (х) = < , /2 (х) = /2 (-х)
[ 0, х е (1, да)
Функции ^(х) и ^(х) зависят от известной функции хк°' (х) (к = 1.2) и от неизвестных постоянных P0 и P , т.е.
Т
1 (х) = (г) dг-gl(x), Т2 (х) = | т2 (-г) dг-g1(x)
gl (х) = Е(х)((К1-1 )а( х)- х а' (х )-5(х)) 2
g2 (х) = Е^((К2-1 )Р(-х)- хР'(-х)-у(-х))
где
а(х) = С1 ( + -1- + ^ } + С2 ^, Р(х) = = + С2(-Ь^
[(1 + х)2 1 -х 1 + х ] х 1 -х х
У( х) = С11 т*- + т1-г-}+С2 к2- К
1 -х
(1 -х)
5(х) = С\ -Р- +
Н1 в1( 1 + К1) 2 в1 х } т2К
С2
1 х 1 + х
(1+х)2 (1+х)3
С = Т + Р°-Р, С2 = Р0 + Т2 , Т1 = 1x0(г)йг, Т]2 = °Гт2(г)йг 1 2 я( 1 + К1) 2 2 я( 1 + К2) 1 1 ^ 2 1
0
Для решения системы (8) , когда жесткость включения изменяется по линейному закону, т.е. E(х) = й|х|, х е (—<», 1), делая в системе (8) замену переменных t = eq, х = и применяя преобразование Фурье [13], получим систему
^ (з ) (5 ) + в2( 5 )Ф(з ) = -( 1 + К1)/—(5) + ¥ + (5 ) + Р1 (з )
62(з)Ф(з) + (51(з)^(з) = (1 + К2)Ф(з) + Р2(з), з = з0-/е, б> 0
где
и -г ^
^(г) = -7= [/1 (в*), Ф(г) = -1- [/2(в*)вг"гй^
л/2я ^ 2т J
л/2я
о:
0
0
х
0
х
со
зо
-г ш и -г ш
¥+(г) = -к Г а'(еЬ, Р1(г)-р= [ , р2(г) = -к Г 72(еУ*Ч
л/2 ^ л/2 ^ л/2 я
0 —да —да
^(г) = — [2К,еИпг + Кк + \ - 2ек1^(г + 01 бп яг
0к(г) = [(Гк Кз - к + тк Кк) + 2 (тк - Гк)г21 БП пг
Исключая из системы (9) функцию
Ф(*) = [Р2(5) - 5)5)1/А(5); Д(5) = ^2(5) - (1 + К2) (10)
получим
0( 5) 5) = ¥ + ( 5 ) + Н( 5 ) (11)
где
0(3) = 0^) + (1 + К1) - ^1(5)(¿2(5)/Д(5) , Н(5) = Р1 (5) - Р2(5)ЭД/А(з) Можно показать , что
0(53К1 + 1 = а при г^ + да, 0(5) ^ 1 - К1 = р (р < 0) при г^ +да
0( г) = ^, (г) > 0 бп п г
Условие (11) можно представить в виде
£+2 0 (г) = г)4Г+1 + Н( г)4Г+1 (12)
г Я-/
где под 4г + / и л/г - г подразумеваются ветви, аналитичные соответственно в плоскостях, разрезанных вдоль лучей, проведенных от точки z = —г' и z = г' по направлению x, и которые получают соответственно положительное и отрицательное значения на
верхней стороне разреза. При таком подборе ветвей функция л/Т+г^ аналитична в полосе —1 < 1шг < 1 и принимает положительное значение на действительной оси. Таким образом, поставленную задачу можно сформулировать так: найти функцию голоморфную в полуплоскости 1шz >0 и исчезающую на бесконечности, и функцию голоморфную в полуплоскости Imz < 0, кроме точек, являющихся
корнями функции 0(1), исчезающую на бесконечности, и непрерывную на действительной оси по условию (12). Решение задачи имеет вид
= л/Е-ад!Г) йг + 1 1шг< 0
г [2п/Ш х+(г)(г - г) г - ']'
(г) = ВД.! X Г + 1, 1ш г > 0 (13)
тг+г' [2 п ' ш х+ (г)(г - г) г - ' \ Г(г) = (¥+(г) + Н(г)} /0(г), 0 < 1шг < 1
где
=- }• * о=¥2°«>
—да
Постоянная с определяется из условия /"(0) = 0(1). Получим
= Н(0 ) +
2 //Х+ ( 0) 2 п ^ Х+ ( ') -
Из формул (13) обратным преобразованием Фурье получаются выражения для искомых функций/к(х), после несложных операций находим с^ (х, у) и, применяя формулы (4), получим соотношения для Р0 и Р. (В данном случае Р0 = 0.)
Можно показать, что Г~(х + ;0) = Г~(х — ;0), и следовательно, функция голоморфна в полуплоскости, кроме точек, являющихся нулями функции 0(£) в верхней полуплоскости.
Изучим поведения контактных напряжений в окрестности сингулярных точек z = 0 и z = 1. Можно показать, что в первом равенстве (13 )
К(х) = с0/л/х - / + Р-(х)
где (х) — преобразование Фурье функции/0(х), непрерывной на полуоси х < 0, кроме, быть может, точки х = 0, в которой она может иметь логарифмическую особенность. Обратным преобразованием получаем
х) = 0( 1 /УГ^х), х ^ 1 —
Изучим теперь поведение функции т:(х) в окрестности точки z = 0. Полюсами функции в области Б0 = {z : 0 < Imz < 1} могут быть нули функции
*(г) = (^ (г) + (1 + К1))(02 (г) - (1 + К 2)) - ^ (г) ^ (г)
Допустим, что ;т0 — наименьший по модулю простой нуль функции g(z) в области Б0. Тог
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.