ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 1, 2013
УДК 539.3
© 2013 г. Емельянов И.Г., Миронов В.И. КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОБОЛОЧКИ С УЧЕТОМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ
Определено контактное давление для тонкой изотропной оболочки, лежащей на не сплошном упругом или жестком основании. При этом оболочка нагружена системой массовых сил, включая поперечную нагрузку, которые вызывают несимметричное контактное давление. Данная задача моделирует передачу нагрузки от котла вагона — цистерны на лежневые опоры при прохождении вагоном поворота, т.е. с учетом центробежной силы.
Одной из актуальных проблем механики является построение методов, позволяющих адекватно оценивать нагрузки и напряженное состояние для различных технических объектов. При этом иногда для нахождения распределения действующей нагрузки на технический объект приходится решать контактную задачу. В настоящей статье предлагается численно-аналитический метод [1—3] использовать для определения контактного давления для тонкой оболочки, лежащей на основании и нагруженной произвольной системой внешних сил.
Среди огромного количества работ, посвященных контактным задачам для оболочек, можно выделить [4—8], в которых собрана исчерпывающая библиография по постановкам и алгоритмам решения данных задач. Однако среди разнообразных постановок таких задач нет работ, при решении которых определяется несимметричное контактное давление в конструкциях, обладающих геометрической симметрией.
Предлагаемая задача состоит в определении контактного давления для тонкой изотропной оболочки, лежащей на не сплошном упругом основании. При этом оболочка нагружена системой массовых сил Px и Py, которые вызывают несимметричное контактное давление (рис. 1). Данная задача моделирует передачу нагрузки от котла вагона (цистерны) на лежневые опоры при прохождении вагоном поворота. В работе [2] моделировался расчетный случай передачи нагрузки от котла на лежневые опоры без учета центробежной силы Py, т.е. при движении по прямолинейному участку. В работе [2] показано, что решение контактной задачи необходимо для определения возможной локализации контактных напряжений, которые могут определять ресурс конструкции.
Координатную поверхность оболочки отнесем к криволинейной ортогональной системе s, 9, где s — длина дуги меридиана, 9 — центральный угол в параллельном круге. В декартовой системе координат X, Y, Z ось Z совпадает с осью вращения оболочки (рис. 1). Задача о напряженно-деформированном состоянии оболочек вращения описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных. После разложения в ряды Фурье искомых функций и заданных силовых и температурных воздействий задача сводится к определению амплитудных значений неизвестных из системы обыкновенных дифференциальных уравнений, записанных в нормальной форме Коши [9]
^ = Am(s)Y+f (s), so <s <sL (1)
Рис. 1. Тонкостенная оболочка, лежащая на опоре дискретного вида
с граничными условиями B1Y(s0) = b\, B2 Y(sL) = b2 , где Y — вектор-функция искомого решения; Am(s), В1, B2 — заданные матрицы; f (s), bi, b2 — заданные векторы.
Принимая классическую модель оболочки, имеем
Y = {N, Nz, S, Ms, u, uz, },
где N, Nz — радиальное и осевое усилия; u, uz — аналогичные перемещения; S — сдвигающее усилие; Ms — меридиональный изгибающий момент; и — окружное перемещение; Ss — угол поворота нормали. Элементы матрицы Am зависят от геометрических и механических характеристик оболочки.
Представим контактную нагрузку определенным количеством неизвестных усилий. Для этого проводим дискретизацию всей возможной области контакта контактными элементами. Учитывая, что ширина основания (опоры) b значительно меньше длины L и радиуса R оболочки, распределение контактных усилий по ширине основания примем постоянным и следовательно область можно аппроксимировать K контактными элементами вдоль направляющей. На каждом полученном элементе примем постоянное значение контактных давлений q.
Для определения усилий взаимодействия между оболочкой и основанием X¡ используем смешанный метод строительной механики. Каноническая система, описывающая условие контакта в вертикальной плоскости при нагружении силой Px для K элементов, распределенных на длине 2te (рис. 1), имеет вид [1, 3]
к
X 81lXl + DX1 - x sin 91 + AR1 = 0,
i = 1
к (2) X 8KiXi + DXk - x sin Qk + Ark = 0,
i = 1 к
X sineX - Px = 0, к = 2y a0.
i = 1
Здесь 8¡j — перемещение в основной системе по направлению i связи от единичного усилия, введенного по направлению отброшенной j связи; xsin e¡ — перемещение в основной системе по направлению отброшенной i связи, происходящее от единичного перемещения по направлению введенной связи в вертикальной плоскости; Px — век-
тор внешней нагрузки, действующий на оболочку в вертикальной плоскости; Xt — неизвестные усилия взаимодействия оболочки; Лт — величина зазора между оболочкой и основанием по направлению i связи; D — оператор, связывающий реактивное усилие i точки поверхности основания и ее перемещение; ав — длина элемента в окружном направлении.
Для рассматриваемой задачи будем использовать простейшую модель линейно-деформированного основания — модель Винклера [8] D = 1/ca, где c — коэффициент постели, a — площадь контактного элемента.
Система (2) отличается от систем, полученных в работах [1, 3], потому что угол 9i отсчитывается от горизонтальной оси Y (рис. 1).
Аналогично системе (2) запишем каноническую систему условия контакта в горизонтальной плоскости к
Y ЬцХ{ + DX1 + y cos 0! + Лш = 0,
i = 1
Y §KiXi + DXk + y cos 9k + Лкк = 0,
(3)
i = 1 K
Y
i = 1
cos 9 X + Py
0.
Здесь ycos 9,- — перемещение в основной системе по направлению отброшенной i связи, происходящее от единичного перемещения по направлению введенной связи в горизонтальной плоскости; Pyi — вектор внешней нагрузки, действующий на оболочку в горизонтальной плоскости.
Для решения систем (2) и (3) необходимо знать перемещения 8^, определяемые интегрированием оболочки от единичной нагрузки, которая представляется в виде разложения в ряд Фурье
* = J-+ Y 2^(кЛ9/2) cos к 9 [, 41 nRb{ 2 Y кЛ9 J
к = 1
(4)
где г — количество удерживаемых в ряду гармоник; А9 — центральный угол, стягивающий каждый контактный элемент.
Таким образом, интегрируя систему (1) от силы (4), находим радиальные перемещения иг. Учитывая, что 81( = ын = Ь^ = Ьр I = 1, ..., К и объединяя системы (2) и (3) в одну систему линейных уравнений К + 2 порядка, получаем
[ A ]jXj = Bj, j = 1,
(5)
где
[A ]1 =
2 w1 + D 2w2 ......... 2wk - sin 91 cos 91
2 w2 2w1 + D......... 2 wk -1 - sin 92 cos 92
2wk 2wk-1 .........2w1 + D -sin9к cos9к
sin 91 sin 92 ......... sin 9к 0 0
cos 91 cos 92 ......... cos 9к 0 0
X = XI ^ ... х у\ ¿1 = |- 2 Дш —2 ДR2 ... —2 ДRk Px - Py\Г.
Поскольку в данном случае оболочка контактирует с основанием через упругие прокладки дискретного вида, то область прокладок будет аппроксимирована M контактными элементами, на которых могут действовать усилия Xi {' = 1, ..., M). А область вырезов аппроксимирована К — М контактными элементами, на которых X = 0 {' = 1, ..., К — М).
После решения системы (5) находим распределение контактного давления под упругими прокладками дискретного вида в первом приближении. Поскольку возможны отставания оболочки от прокладок, то затем применяем итерационные процедуры поиска реальной области контакта, которая зависит от геометрических и упругих параметров конструкции и величины внешнего нагружения [1].
В качестве примера рассмотрим задачу передачи нагрузки от котла вагона (цистерны) на лежневые опоры. Нагрузки, действующие на данную конструкцию при движении на прямом участке, рассмотрены в работе [10]. Однако при прохождении вагоном поворота необходимо учитывать центробежную силу Ру = ти2 р-1 (где т — масса вагона, и — скорость, р — радиус поворота).
При расчете принимали: внешний радиус цилиндрической оболочки котла вагона Я = 1,50 м, радиус лежневой опоры Я = 1,50 м, толщина стенки к = 0,06 м, модуль упругости Е = 2,1 ■ 105 МПа, коэффициент Пуассона V = 0,3, главный вектор вертикальной Рх = 45 ■ 104 Н и поперечной Ру = 1,843 ■ 104 Н (и = 80 км/час, р = 1200 м) нагрузки.
Граничные условия слева и справа приняты в виде шарнирно неподвижного закрепления. Цилиндрическая часть оболочки лежит на основании шириной Ь = 0,24 м. Длина основания по окружности 2?е стягивается углом 128°. Коэффициент постели, учитывающий упругие свойства основания, принимали с = 108 Н/м3. Данная величина коэффициента постели характерна для резины. Длину области контакта 21$ разбивали углами равными Д9 = 2°.
Найдем распределение контактного давления при сплошном основании при нагру-жении только силой Рх. Для данного случая в системах (2) и (3) К = 64, М = 64. На рис. 2, а (с = 108 Н/м3) показано распределение контактного давления q = ХА—1 при сплошном основании. Здесь и в дальнейшем по вертикальной оси откладывается контактное давление q в МПа, а по горизонтальной оси — угол 9 в радианах.
При повышении жесткости в тысячу раз (с = 1011 Н/м3) можно считать, что контакт происходит с абсолютно жестким основанием, которое показано на рис. 2, б. Жесткое основание не обеспечивает плавного распределения контактного давления, на границе области контакта образуются локальные силы. Наличие на границе области контакта локальных сил соответствует классическим решениям теории контактных задач для тонких оболочек [5]. Наличие таких локальных сил может определять прочность и устойчивость оболочечных конструкций.
На рис. 3, а показано распределение контактного давления q на жестком сплошном основании при нагрузке на оболочку вертикальной Рх и поперечной Ру силами. Видно, что нарушается симметрия относительно оси X и пик локального давления на правой части возрастает. В работе [11] сказано, что при движении поезда на кривых участках расчетный радиус необходимо принимать р = 250 м. На рис. 3, б показано распределение контактного давления при движении по данному радиусу. Видно, что симметрия нарушается еще более. На правом конце контактное давление достигает величины 1,6 МПа.
На рис. 4, а показано распределен
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.