ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 4, 2004
УДК 539.3
© 2004 г. Григолюк Э.И., Куликов Г.М., Плотникова C.B.
КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПНЕВМАТИЧЕСКОЙ ШИНЫ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕЙ С ЖЕСТКИМ ОСНОВАНИЕМ
Разработан алгоритм численного решения геометрически нелинейной контактной задачи для предварительно напряженной многослойной анизотропной оболочки типа Тимошенко, подверженной произвольно большим перемещениям и поворотам, с использованием смешанных конечно-элементных аппроксимаций. В качестве искомых функций выбраны шесть перемещений лицевых поверхностей оболочки. Это позволяет использовать принципиально новые соотношения для тензора деформаций Грина-Лагранжа в криволинейных ортогональных координатах, точно представляющие произвольно большие перемещения оболочки как жесткого тела. Дан пример расчета шины, взаимодействующей с абсолютно жестким основанием.
Проблема разработки численных алгоритмов и программного обеспечения, предназначенного для решения контактных задач для многослойных композитных оболочек вращения с приложением к шинам, имеющим ярко выраженную неоднородность физико-механических свойств на макроскопическом уровне, еще не является окончательно решенной. Пространственный характер полей напряжений и деформаций в условиях анизотропного достаточно общего вида обуславливает необходимость значительного усложнения задачи для получения приемлемых результатов [1]. Получивший распространение в зарубежной практике экстенсивный путь расчета шин на основе пространственной теории упругости за счет повышения дискретности представления шины в методе конечных элементов (МКЭ) имеет значение при проведении контрольных расчетов уже спроектированных шин с целью окончательной отработки их конструктивной схемы [2, 3]. Начальный же этап проектирования шин следует осуществлять по быстродействующим программам, в основу которых положены различные по сложности оболочечные модели, ориентированные на использование персональных компьютеров. К сожалению, в последние годы современные достижения теории композитных оболочек были использованы для решения задач контактного взаимодействия шин лишь в нескольких работах [4-6]. При этом поперечное обжатие шины не учитывалось. Кроме того, практически неизвестны результаты численного исследования влияния эффекта анизотропии на пятно контакта шины с основанием и на распределение контактного давления. Некоторые экспериментальные и предварительные расчетные данные [7] указывают на то, что пятно контакта является несимметричным. Решению этих вопросов посвящена настоящая работа.
Рассмотрим тонкую оболочку, составленную из N упругих анизотропных слоев с начальными напряжениями, которые возникают в оболочке в исходном состоянии, т.е. перед началом деформации. Будем полагать, что в каждой точке оболочки существует поверхность упругой симметрии параллельная отсчетной поверхности S, за которую примем внутреннюю поверхность какого-либо k-го слоя или поверхность контакта слоев, которую отнесем к криволинейным ортогональным координатам а1 и а2, отсчитываемым вдоль линий главных кривизн. Поперечную координату а3 будем от-
= X р+
8М = 8+
8о = 8"
+
е • г I
р = X р е1
Рис. 1
ак)
считывать в сторону возрастания внешней нормали к поверхности Б (рис. 1).
Пусть е1; е2 - единичные векторы касательных к координатным линиям а1 и а2; е3 -^ единичный вектор нормали; Аа - параметры ц(к) Ламе; ка - кривизны координатных линий; к - полная толщина оболочки; кк - толщина к-го слоя; 8к - расстояние от поверхности Б до верхней граничной поверхности к-го слоя
Бк; щ - перемещения точек оболочки; е^ -компоненты тензора деформаций Грина-Ла-
АБ
гранжа; е^ - компоненты независимого от
перемещений тензора деформаций; т|к) -компоненты тензора начальных напряжений Коши к-го слоя; - компоненты симмет-
ричного тензора напряжений Пиолы-Кирх-гофа к-го слоя; ЪК^{т - жесткости к-го слоя; р-, р+ - внешние поверхностные нагрузки, действующие на внутренней Б- и внешней Б+ лицевых поверхностях оболочки
/• 1ч (к) (к) (к). (к)
(рис. 1); ц = V + qt 1 + q3 е3 - вектор внешних поверхностных нагрузок, действующих на боковой поверхности к-го слоя Ок; V, 1 - нормальный и тангенциальный
единичные векторы к граничному контуру Г с Б; к = 1, N; г,}, I, т = 1, 2, 3; а, Р, у = 1, 2.
При построении теории многослойных анизотропных оболочек с учетом поперечного обжатия воспользуемся кинематической гипотезой Тимошенко о линейном распределении перемещений по толщине оболочки [8, 9]
ы1 = N (а3 )и- + N (а3 )и+, N (а3) = к (8+- а3), N+(а3) = 1 (а3- 8"), (1)
где (а1, а2) - перемещения лицевых поверхностей оболочки Б ; N (а3) - линейные функции формы оболочки.
Вводя перемещения (1) в деформационные соотношения пространственной теории упругости [10] и полагая, что тангенциальные компоненты тензора деформаций Грина-Лагранжа изменяются по толщине оболочки согласно линейному закону, приходим к деформационным соотношениям геометрически нелинейной теории оболочек типа Тимошенко [11]
^ = (а3 )( еа г + Па.О + ^ (а3 )(4 + па г). 3 = е33 + П33>
(2)
где
± К ±т± 1 ± 1 ±т± Сап 1 „ ± П
еаа = "+V 2е12 = -;-±«1 + «2» 2еа3 = ^Ра - =Г9а' е33 = р3»
С
с± с±
1 [(^^)2 + («а)2 + (0^)2], 2п±2 = ^(^1 «2 + «1 +е!е2),
Са Са 1
2а
2 (Са)
с±с±
2п0к3 = тГ"+ М+а - р3^» П33 = 2(в2 + Р2 + Р3
(3)
+
8
к
8
к - 1
п
аа
1± 1 ± Е> ± 7 ± ± 1 ± Е> ±
Ла = Т~ иа,а + Вуиу + каи3, ®а = 7" иу, а - Вуиа,
0а = и±,а + к*^ Р; = \ (и+-и-). Ва = ^Лт,а (У * а). (3)
Са = 1+ М±, Са = 1+ ка5, 5 = 1 (5-+ 5+).
Нижний индекс, следующий после запятой, означает частное дифференцирование по координатам а1 и а2. Деформационные соотношения (2), (3) весьма привлекательны для использования в МКЭ, так как они точно представляют произвольно большие перемещения оболочки как жесткого тела. Доказательство этого фундаментального факта дано в работе [11].
Предположим для определенности, что контакт оболочки с абсолютно жестким
плоским основанием осуществляется по внешней поверхности оболочки 5С, причем
трение в области контакта отсутствует. Условия непроникания контактирующих
+
тел и неположительности контактного давления qc запишем в виде
+
8 -
\
+
1с
п > 0, 1+ < 0, (4)
где 8 (а1, а2) - начальный зазор, т.е. кратчайшее расстояние от некоторой точки оболочки М+(а1, а2), принадлежащей поверхности предполагаемого контакта 5+ , до основания; п = п,е, - единичный вектор нормали к плоскости основания.
Неравенства (4) необходимо дополнить условием, что контактное давление определяется в точках, которые вступают в контакт с основанием, т.е. должно выполняться равенство
/ л
= 0. (5)
+ 1с
Для решения задачи контактного взаимодействия предварительно напряженной оболочки с абсолютно жестким основанием введем независимый от перемещений тензор деформаций, тангенциальные и сдвиговые компоненты которого изменяются по толщине оболочки согласно линейному закону еа, = Ща3) Еа + ^+(а3) Е+а,,
е33 = Е33. Учитывая аппроксимации (1), (2), представим смешанный вариационный принцип Ху-Васидзу [11, 12] в виде
5- 5]с = 0; (6)
Г Г ^ т 1 Л т _
ц йа:йа2,
5 ]с = Ц[(^8+- шТ и - ^шТ 5и
5= Ц[(Н - БЕ)Т5Е + (Е - е - ^)Т5Н - НТ5е - (Н0 + Н)Т+ РТ5и]а1(йа2 + +1 Нг5иг( 1 + км5) йз, и = [»1и+и2и+и3и+]Т, иг = [Ц,и+и-и+и3и+ ]Т,
5+
Е = [£п ^ ^22Е+122Е122Е\22Е132Е\32Е232Е+13 ]
T
е = [ е-2е222е122е122е132е132е232е23е33] >
T
Л = [П-1П+1 П-2^222п!22П122П-32П+32П-32П23П33] :
Н0 = [H0-H0+ H0-H0+ H0-H0+ H0-H0+ H0-H0+ H0 ]T И = [НП H11 H22 H22 H12 H12 H13 H13 H23 H23 H33] ,
2 + 222 T
Н = [Нп Нп Н22Н22Н12Я12 Я13Я13Н23Н23Н33] ,
НГ = [HvvHvvHvгН2гН\3Н23] >
т = [ 0 л10 п20п3
[- Р1Р1- Р2 Р2- Р3 Р3] >
Т, ц = А1А2С1С2,
где X - множитель Лагранжа (контактное давление для случая плоского основания); е - регуляризационный параметр; - нормальная кривизна контура Г; V - столбец перемещений; иГ - столбец перемещений граничного контура Г; Е - столбец независимо введенных деформаций; е, л - столбцы, характеризующие линейные и нелинейные составляющие тензора деформаций Грина-Лагранжа; Р - столбец поверхностных нагрузок; Б - несимметричная матрица коэффициентов упругости размера 11 х 11, элементы которой определяются на основе допущений [8, 9] с целью преодоления пу-ассоновского заклинивания; Н - столбец результирующих напряжений, Н0 - столбец
результирующих начальных напряжений; НИ Г - столбец результирующих внешних поверхностных нагрузок, действующих на боковой поверхности оболочки О, определяемые по формулам
2-Р - я 2 Р2 я
1 [М (а3)] аа3
= С^(а3)]
к 8к-1
«к «к На = ^^)Н33 = ^ | ^^3,
к «к-1 к «к-1
«к «к
<7 = X | тО?^3)йа3, Н% = X | т33dаз,
(Р, Я = 0, 1),
(8)
к«
к -1 «
Н к
X | яКк)N^3)^
к«
(к = V, г, 3).
к«
В формулах (8) следует принять Ь^у 3 = ь0333 = 0. Отметим, что смешанное вариационное уравнение (6), (7) обобщает соответствующие уравнения, приведенные в [11, 12].
В вариационном уравнении (6) вектор-функции V, Е, Н и множитель Лагранжа X являются независимыми функциональными переменными, поэтому для них на элементе надлежит использовать независимые аппроксимации. Для перемещений и множителя Лагранжа воспользуемся стандартной билинейной аппроксимацией
V = XN(^1' ^2)иг, X = XN(^ ^2)Хг,
(9)
где Vг = [ и1 ги|ги2ги2ги3 ги^г ]Т - столбцы узловых перемещений; Хг - значения множителя Лагранжа в узлах элемента; МД^, £2) - линейные функции формы; =
«
к
г
г
= (а.у - <)/ - нормализованные криволинейные координаты элемента; йЦ - координаты центра элемента; 2 ^ - длины сторон элемента; г = 1, 4.
Для деформаций и результирующих напряжений согласно методу двойной аппроксимации [13, 14], обобщенному на случай учета геометрической нелинейности и поперечного обжатия [12, 15], имеем еще более простые формулы
Е = £ о'1 Г2ЕГ1 'Ч!1 Н = £ оГЛнГ1 'Ч!1 Н0 = £ О'1'2Н0Г1 'Ч!1 ^
(10)
где
Е
00
-00 + 00 „-00 .-,+00, „-00 0 „+00 0 „-000 „+00 0 „-000 + 00 „00-,Т [¿11 Ец ¿22 ¿22 2£п 2^^ /¿т^ ¿^
"12
"12
"13
Е01 _ \ ¿-(»¿+01- ¿-012 ¿+01 ¿01 / Е10 Е _ [Ец Ец 2¿13 2¿13 Е331 , Е
13 23 -10 „+10,.
23 33
Г Р-10 Р+100 Р-100 Р+10 Р10П 1-Е22 ¿22 2¿23 2¿23 ¿33J
(11)
„00 г „-00 „+00 „-00 „+00 „-00 „+00 „-00 „+0
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.