ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2014, том 455, № 2, с. 158-161
МЕХАНИКА
УДК 539.3
КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА С НЕИЗВЕСТНОЙ ЗОНОЙ КОНТАКТА
© 2014 г. Д. А. Пожарский
Представлено академиком В.И. Колесниковым 02.07.2013 г. Поступило 05.08.2013 г.
БО1: 10.7868/80869565214080118
Исследована трехмерная контактная задача с неизвестной областью контакта для упругого трансверсально изотропного полупространства, когда плоскости изотропии перпендикулярны границе полупространства. Излагаемый метод позволяет эффективно оценивать твердость по Бринел-лю и Виккерсу и контактную прочность материалов, приповерхностные свойства которых могут существенно зависеть от направления (титан, цинк, бериллий, кобальт, оксиды алюминия и цинка, графит, древесина, бедренная кость, сапфир и др. [1, с. 22—23, пять упругих постоянных]. Ядро интегрального уравнения (ИУ) контактной задачи ранее было получено в виде двойного интегрального преобразования Фурье [2]. Затем при помощи теории обобщенных функций удалось представить это ядро в виде, свободном от квадратур [3]. Такой вид ядра, ввиду простоты его регуляризации в особых точках, сделал возможным применение метода нелинейных граничных ИУ типа Гаммерштейна, развитый Галановым [4, 5] для решения контактной задачи с неизвестной областью контакта . Ранее метод был опробован на ряде пространственных контактных задач для изотропных тел [6]. При непосредственном применении указанного метода к ИУ с ядром в виде интеграла [2] возникают трудности: неясно, как выделить из ядра главный внеинтегральный член и провести регуляризацию. Для отладки компьютерной программы, включающей метод Ньютона решения нелинейного уравнения, использовано точное решение контактной задачи для штампа в форме эллиптического параболоида [2], полученное на основе интегрального представления ядра. Хорошее совпадение результатов подтверждает достоверность формул для ядра и точного решения для эллиптического штампа (твердость по Бринеллю). Сделаны расчеты для разных материалов при внедрении штампа в форме четырех-
угольной пирамиды (твердость по Виккерсу). Определены области контакта, давления и значения вдавливающей силы при заданной осадке штампа.
В декартовых координатах рассмотрим трансверсально изотропное упругое полупространство х > 0, граница которого перпендикулярна плоскостям изотропии г = const. Закон Гука, включающий пять упругих параметров, и уравнения равновесия приведены в [2, 3]. Пусть при х = 0 в полупространство внедряется абсолютно жесткий штамп, основание которого в области контакта описывается функциейf(y, z). Штамп вдавливается без перекоса центрально приложенной силой P, испытывая осадку 8. При заданных упругих параметрах, значении 8 и функции fy, z) требуется определить область контакта Q, контактное давление q(y, z) и силу P. На основании решения задачи Буссинеска [1] ИУ контактной задачи можно записать в форме
\U(yo,zo)K(y - y0,z - Zo)dyodzо = 5 - f (y,z), a (1)
(У, z) eO,
где ядро представляется двойным интегралом Фурье [2, (3.4)] или [3, (1.4)]. При помощи теории обобщенных функций ядро удается представить в форме свободной от квадратур [3]:
„, ч (m1 - m2)Yз У2CiC2 г 2
K(У,z) ~ \ / ^ , Zn =VYпУ+z, 2nA66 D
n = 1,2,3,
D = MiklZi - mkZ2 - 4(mi - m2)z2<ZiZ2Z3,
m(
= Any, - A44, A13 + A44 '
k = (m, + 1)у2y2 + 2z2 (( = 1,2),
Уз = —. 3 \A66
Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону
Здесь A11, A13, A33, A44, A66 — упругие параметры, y1, y2 удовлетворяют уравнению
Y4AnA44 - y2[A11A33 - A13(A13 + 2A44)] + A33A44 = 0.
Для решения ИУ (1) при условии д(у, г) = 0, (г, ¿) е 6О, используем метод нелинейных граничных ИУ [4, 5], позволяющий одновременно определить область контакта, контактное давление, нормальное перемещение материала вне области контакта.
Введем обозначения М = (у,г),N = (у0,г0) и предположим, что область контакта целиком содержится в прямоугольнике £ = {|у| < Ь0, |г| < а0}.
Уравнение (1) дополним условием неотрицательности контактного давления в области О, а также условиями отсутствия контакта и обращения в нуль давления в дополнительной области 8\О, записав их все в виде системы
Ця,М)q(N)dN = й(М), д(М) > 0, М еП, (2)
|ц(я,
Механический смысл решения р уравнения (5) заключается в следующем. Там, где эта функция положительна и равна контактному давлению, будет искомая область контакта. В дополнительной области S \ О эта функция позволяет определить нормальное перемещение поверхности полупространства по формуле
их(0,у,г) = р(у,г) - d(y,г).
При численном решении уравнения (5) применим модифицированный метод Ньютона, основанный на построении последовательных приближений
(6)
[, M)q(N)dN > d(M), д(М) = 0, М е 8\П,
8 (3)
т, М) = К(у - Уо, г - г о), d(M) = 8- /(М).
Также предполагается, что существует область S0 = {М: й(М) > 0} такая, что Ос 80 с 8.
Введем нелинейные операторы
р+(М) = &ир{р(М), 0}, р ~(М) = тЦр(М), 0}. (4)
Очевидно, любую функцию можно представить как сумму операторов (4). Идея метода заключается в представлении искомого давления в форме
q = q(M) = q+(М) + q ~(М) с целью автоматического удовлетворения интегрального неравенства (3) в ходе решения нелинейного операторного уравнения типа Гаммер-штейна
0р = 0 (М еП), 0р = р- + Ьр+ - й, (5) гдер = р(М), р±=р±(М), й = й(М),
Цр+ = Ця, М) р+(N)dN.
8
Эквивалентность системы (2), (3) и уравнения (5) устанавливается в следующей теореме.
Теорем а. Если функция р = р(М) служит решением уравнения (5), то # = р+(М) и О = {М: р > 0} есть решение системы (2), (3). Наоборот, если # = = #(М), Ме О удовлетворяет системе (2), (3), то р = й + # — М е О есть решение уравнения (5).
Доказательство этой теоремы, а также теорем о существовании и единственности решения уравнения (5) повторяют доказательства соответствующих теорем для изотропного материала [4—6]. При этом используется, что для трансверсально изотропного материала интегральный оператор, порожденный ядром уравнения (1), сохраняет свойства строгой положительности и полной непрерывности.
рп+1 = Р - (Р'р„) 1 © рп, рп = рп(М), п = 0, 1,..., р0 = d.
Здесь Ш — дифференцируемый оператор, аппроксимирующий оператор 0 по равномерной метрике [4-6].
Прямоугольник S покроем равномерной сеткой из т узлов с шагами Н1 по оси у и Н2 по оси г. При расчете значений ядра в этих узлах его особенности сглаживались по формулам
у(у - У0)2 + п(г -10)2 ^у(у - У0)2 +
+ п(г - г0) + (у + п^ 8. =
АА
32
(7)
При у = п = 1 формула (7) совпадает с регуляризацией для изотропного случая [4-6]. В отличие от изотропного случая, где параметр регуляризации определялся только шагами сетки, в (7) параметр (у + зависит также и от характеристик анизотропии у и п. Как показывают численные эксперименты, если для трансверсально изотропного тела брать параметр регуляризации 8^, процесс последовательных приближений (6) зачастую не будет сходиться. В то же время регуляризация (7) обеспечивает сходимость метода и отладку программы, давая хорошее совпадение с точным решением для эллиптического параболоида [2], когда
/ (У, г) = У- + .
(8)
2Я1 2Я2
Для случая (8) решение ИУ (1) с ядром в форме двойного интеграла Фурье получено в виде [2]
q(У, г) = qо^|1 - ^ - ^ Ь а
Р =
\^(У, z)dydz = | aЬqо,
8 = ад0 -
(ту - Щ)13 |Ж2О)ес82 9d9
тку
(9)
(10)
8
о
160
ПОЖАРСКИЙ
Таблица 1. Сравнение для круговой области контакта
где
Материал R1 Точное решение (9)—(11) Метод Галанова
a = b q 0 P q 0 P
1 1.13 0.861 1.15 1.79 1.17 1.81
2 0.750 0.775 2.55 3.21 2.59 3.24
3 0.794 0.787 2.29 2.97 2.34 3.02
4 1.12 0.860 1.39 2.15 1.42 2.18
5 1.18 0.871 1.04 1.65 1.05 1.66
b2 + a2 _g R _ c 2R1 2R2 _ ' R2 _ d'
r(0) _
a\ 2A , . 2a 1 cos 0 + sin 0,
2n
С =
2n
í
Z i(9)Z 2(6)cos4 e d e D(9)r3(9) ,
(11)
d = rZ 1(9)Z 2(0)cos2 9 sin2 9 d 9 " 0 D(9)r3(9) ,
Z„(0) = Vy„cos20 + sin20 , л = 1,2,3,
D(0) = mh2(0)Z 1(0) - m2h¡(0)Z2(0) -- 4(m - m2)sin2 0Z1(0)Z2(0)Z3(0),
h(0) = (m + 1)y2cos20 + 2sin20 (l = 1,2). При заданных величинах 8, R1, R2 отношение
полуосей эллипса контакта a определяется из второго соотношения (11). Затем величина a на-
ходится из первой формулы (11), величина #0 — из (10). Вдавливающая сила рассчитывается по второй формуле (9).
При расчетах брали а0 = Ь0 (прямоугольник ^ — квадрат), случаи материалов 1—5 соответствуют табл. 1 [3]. Число узлов брали от 81 до 289 (наибольшая погрешность вычислений наблюдается вблизи границы области контакта). Также использовалась симметрия области контакта относительно осей координат (достаточно рассматривать четверть области контакта).
Введем безразмерные обозначения (штрихи далее опускаем):
b
a0
b a
y-y, * = * ? 8' -A
a0 a0 a0
D' _ R1 D' _ R2 R1 --, R2 --, a' _ a ?
a0 a0 a0
, = q(y, q0
Ae
2 '
4,6^0
В табл. 1 приведены для сравнения результаты численного и точного решений по значениям #0 и Р для случаев, когда при вдавливании эллиптического параболоида возникает круговая область контакта (к = 1) при 8 = 0.7, Я2 = 1.
Отметим также, что при вдавливании кругового параболоида (Я{ = Я2 = 1) в общем случае возникает эллиптическая область контакта (см. точное решение (9)—(11). При этом оказывается, что для материалов 1, 4 и 5, когда поверхность полупространства жестче в направлении оси г [3], эллипс контакта по сравнению с изотропным случаем (круговая область контакта) вытягивается вдоль оси г и суживается вдоль оси у. Для материалов 2 и 3, когда поверхность тела жестче в направлении оси у, эллипс контакта вытянут вдоль оси у и сужен вдоль оси г. Жесткость поверхности
0
□
10.5
□
■0.5
□ □ (a)
□ □
О О
О □
□
0.5
(б)
□ □
О 0.67 О^у
О □
□
Рис. 1. К затемненным узлам равномерной сетки в области контакта для изотропного материала добавляются незатем-ненные для материалов 1, 4, 5 (а), 3 (квадратики, б), 2 (квадратики и кружки, б). Относительная жесткость поверхности
для материалов 1-5 соответственно — = 0.786, 1.812, 1.589, 0.808 и 0.702 [3].
иху
z
У
вдоль осей характеризуется нормальными пере- здесь зона контакта увеличивается в том направле-мещениями точек, лежащих на осях и р
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.