научная статья по теме КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УПРУГОЙ ПОЛОСЫ И ВОЛНИСТОГО ШТАМПА ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ И ИЗНОСА Математика

Текст научной статьи на тему «КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УПРУГОЙ ПОЛОСЫ И ВОЛНИСТОГО ШТАМПА ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ И ИЗНОСА»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 75. Вып. 1, 2011

УДК 539.3

© 2011 г. И. А. Солдатенков

КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УПРУГОЙ ПОЛОСЫ И ВОЛНИСТОГО ШТАМПА ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ И ИЗНОСА

Рассматривается плоская задача о взаимном изнашивании волнистого штампа и упругой полосы, связанной с недеформируемым основанием, при условии полного контакта штампа и полосы. Аналитическое выражение для контактного давления строится с помощью общего решения Пап-ковича—Нейбера, две гармонические функции в котором представляются в виде интегралов Фурье, после чего задача сводится к нелинейной системе дифференциальных уравнений. В случае малого износа полосы эта система становится линейной и допускает решение в явном виде; гармоники, составляющие профиль штампа и контактное давление, сдвигаются вдоль полосы относительно друг друга и перемещаются во времени. Получены условия, обеспечивающие герметичность контакта волнистого штампа с полосой при наличии трения и износа.

Впервые решение периодической контактной задачи теории упругости было дано для системы штампов с плоскими основаниями, контактирующих с упругой полуплоскостью при отсутствии трения [1]. Позже был рассмотрен случай периодического контакта гладких штампов [2, 3], а также принято во внимание трение скольжения на контакте [4]. Имеется достаточно полное описание разных постановок плоских периодических контактных задач теории упругости и методов их решения [5].

Ниже рассматривается задача о полном контакте волнистого штампа с упругой полосой при наличии трения и износа; ее постановка, в отличие от вышеупомянутых контактных задач, не является смешанной, и в случае малого износа полосы допускает решение в замкнутом виде. Такое решение может быть использовано для анализа процесса изнашивания подвижного сопряжения волнистого штампа и полосы.

1. Постановка задачи и основные уравнения. Рассмотрим подвижное сопряжение упругой полосы ширины к, сцепленной с абсолютно жестким прямолинейным основанием, и абсолютно жесткого тела (штампа), контактирующего с полосой по всей ее длине (на фиг. 1 область, занятая штампом, затемнена, область, занятая основанием, заштрихована). Введем систему координат Оху, ось х которой совместим с границей основания.

Пусть основание вместе с полосой движется со скоростью V противоположно оси х, при этом сама система координат Оху остается на месте. Штамп вдоль оси х не перемещается, но имеет возможность перемещаться поступательно вдоль оси у. В результате скольжения полосы по штампу возникает трение и изнашивание обоих тел. Положим, что порождаемые трением касательные граничные напряжения т связаны с контактным давлением р законом Кулона [6]

т = цр + т о; У = к: т = т Ху, р = - оу

(1.1)

где ц — коэффициент трения скольжения, т0 — адгезионная составляющая трения. Локальные износы штампа W и полосы w определяются соответствующим контактным давлением согласно элементарным законам изнашивания [6]

йЖ/й1 = е1р, й^ /й1 = е^р (1.2)

причем l — путь трения, с1, с2 — параметры износостойкости, которые, как и коэффициент трения ц, могут зависеть от скорости скольжения V. За начало изнашивания примем момент времени t = 0.

Условие полного контакта штампа с полосой (по всей ее длине) означает положительность контактного давления:

р(х, о > 0 (1.3)

Здесь и далее полагается, что x е (—<», <»). Проверка неравенства (1.3) будет выполняться для найденных распределений контактного давления.

Выберем некоторую точку штампа и обозначим через 5 ее ординату. Расстояние g(x, 0 между границей штампа и уровнем у = будем использовать для описания формы штампа, изменяющейся в процессе изнашивания (фиг. 1). В силу наложенных выше ограничений на перемещение штампа координата точки остается неизменной. При дальнейшем рассмотрении профиль штампа считается пологим:

\ё(х, 01 ^ 1 (1.4)

Это, в частности, позволяет отождествить износы Wи w с перемещениями вдоль оси у границ штампа и полосы в результате их изнашивания.

Далее будет рассматриваться штамп, начальная форма которого g0(x) = g(x, 0) представляется композицией N гармоник (волн) различной частоты юп (всюду далее суммирование ведется от п = 1 до п = N

&) (х) = £о + ^ (апосо8 апх + Ь„о$,т апх) (1.5)

где , ап0, Ъп0 — известные коэффициенты, причем — среднее по х значение g0(x). Форма g(x, 0 изношенного штампа по предположению также состоит из аналогичных гармоник и имеет вид

g(x, t) = g(t) + U(x, t), U(x, t) = y (an(t)cos&nx + bn(t)sinюnx) _ (1.6)

g(0) = g0 , an(0) = an0 , bn(0) = bn0

в котором g (í), аи (í), bn (t) — коэффициенты, подлежащие определению.

Считается, что полоса изнашивается медленно и ee ширина остается постоянной в продольном направлении:

h(t) = h0 - w(t) (1.7)

h0 — начальная ширина полосы.

Под действием штампа полоса упруго деформируется. Соответствующее перемещение и1 верхней границы полосы вдоль оси y связано с формой штампа равенством (фиг. 1)

-vx(x, t) = g(x, t) - (s(t) - h(t)); g(x, t) = g0(x) - W(x, t),

s(t) = s0 - 8(t), 8(0) = 0 .

Здесь s0 — начальная ордината точки S, 8 — глубина внедрения штампа в полосу в процессе их совместного изнашивания. Не ограничивая общности, далее положим s0 = h0. Все это позволяет получить из равенства (1.8) следующее условие контакта штампа и полосы:

- Ui (x, t) + W(x, t) + w(t) = g0(x) + Цt) (1.9)

Кроме того, подстановка выражения (1.6) в равенство (1.8) дает для перемещения представление

-ux(x, t) = c(t) + U(x, t) (1.10)

причем имеют место соотношения

c(t) = -Ui(t) = g(t) - (s(t) - h(t)) = g(t) + Цt) - w(t) (1.11)

которые получаются путем осреднения по x равенств (1.8)—(1.10).

В качестве характеристики нагружения штампа далее будет использоваться среднее по x значение p (í) контактного давленияp(x, í).

Ставится задача: располагая начальной формой штампа g0(x) и одной из зависимостей 8(í) или p (í), найти функции g(x, í), h(í), p(x, t), описывающие процесс совместного изнашивания штампа и полосы.

2. Расчет контактного давления. Рассмотрим задачу о фрикционном контакте штампа волнистой формы (1.6) с упругой полосой в произвольный фиксированный момент времени í. Учитывая условие (1.4) пологости профиля штампа, воспользуемся линейной теорией упругости для описания напряженно-деформированного состояния полосы. Будем использовать квазистатическое приближение, пренебрегая динамическими эффектами.

В общепринятых обозначениях для компонент перемещения и напряжения [7] запишем граничные условия для рассматриваемого случая (аргумент í опускается)

y = 0: u (x, y) = и (x, y) = 0

y = h: xXy(x, y) = - v°y(x, y) + T0, и(x, y) = ^(x)

Условия при у = 0 отвечают условию сцепления полосы с основанием, первое условие при у = к — закону Кулона (1.1). Граничное перемещение и в последнем условии представляется в виде суммы (1.10).

Введем в рассмотрение две гармонические функции Ф0(х, у) и Ф2(х, у), такие, что [7]

2 Gu = - Фох - >Ф2х, 2 Gv = кФ2 - Фоу - >Ф2у; к = 3 - ^, уе( 0, 1/2)

Тху = - Фoxy - yф2xy + ( 1 - 2v)Ф2x, СТу = 2(1 - v)Ф2y - Фоуу - УФ2УУ .

причем О и V — модуль сдвига и коэффициент Пуассона материала полосы, индексы х, у обозначают частные производные по соответствующим аргументам.

Следуя известному методу решения задач теории упругости для полосы [7], представим функции Ф0(х, у), Ф2(х, у) в виде интегралов Фурье и, пользуясь равенствами (2.2), сведем граничную задачу (2.1) к системе алгебраических уравнений относительно четырех функций, определяющих подынтегральные выражения в интегралах Фурье. При учете представления (1.10) для у:(х) можно прийти к следующим выражениям:

У) = -+1- ху--Н-,*У + к^'-П^-^лю„У

2 G (к + 1) G (к - 1) к ^ ю„ О2

>'» = -(КГГ)ё +y>+ (23)

+ У —, { An[Vl n (Х) ch ®пУ - Ф1п( x) sh ЮпУ ] + bn [ф2п (x ) sh ЮпУ - У2 n( x) ch ®пУ ]}

Q = Q( Xn), Xn = ®nh, Q(X) = Va2 (X) + A2 (X)

A1(X) = 2(1 - V)(KshXchX-X), A2(X) = и(( 1 - 2V)Ksh2X-X2)

\JX)| I kj(Xn)|

S Л \J + 1 D—J\n/\* .

1 1 - 1 fcos®nX + (-1) i fsin®nX, j = 1, 2

-1Í k3-j( Xn )|

i f s

1 ¡3 -j(Xn)J

1J x )J 1 ¡j (Xn )J k1(X) = T+(X) A1 (X) + и T+(X) A2 (X), k2(X) = X(X) sh X l1 (X) = T-(X) A1 (X) + и T-(X) A2 (X), ¡2 (X) = и(XchX - к shX) T(X) T±(X) = XshX± 2(1 - v) chX, T±(X) = XchX± (1 - 2v) shX T(X) = к sh2X + X2 + 4(1 - v)2

Подстановка функций Ф0(х, y), Ф2(х, y) вида (2.3) в равенства (2.2) позволяет убедиться, что им действительно отвечает напряженно-деформированное состояние полосы, удовлетворяющее граничным условиям (2.1).

Используя последнее равенство (2.2), можно получить два следующих, эквивалентных друг другу, выражения для контактного давления:

Bhp(x) = c + у KnAn sin (®nX + Pn + 0n) (2.4)

Bhp(x) = c + ^ [(anLn + bnMn) cos ®nX - (anMn - bnLn) sin ®nx] (2.5)

где

B = о i — 2 V ), Kn = K(Xn), А = Jal + bl

2G( 1 — V)

Pn = arcsin А, Qn = Q(Xn), Ln = L(Xn), Mn = M(Xn) (26)

K(X) = 2 Kzi ХШ, { L(X) } = K(X){COSQ(X)}, Q(X) = arcsin^ к + 1 O(X)' [M(X) f 1 sinQ(X) j П(Х)

3. Расчет кинетики изнашивания. Будем использовать элементарные законы изнашивания (1.2), которые предварительно преобразуем следующим образом. В законе изнашивания штампа, учитывая соотношение dl/dt = V, заменим путь трения l на время t и используем зависимость износа штампа от координаты x. В результате этот закон примет вид

W(x, t) = a1p(x, t), W(x, 0) = 0, a1 = c1 V (3.1)

Здесь и далее точкой обозначена частная производная по времени.

Для преобразования закона изнашивания полосы возьмем на ее верхней границе в момент t произвольную точку с координатой x, которая за время At перемещается на расстояние Al = VAt. В предположении, что контактное давление p(x, t) за промежуток At изменяется пренебрежимо мало, заключаем, что соответствующий износ полосы, согласно второму равенству (1.2), составит

м

Аw(x, t) = С2 Jp(x — t)d\ (3.2)

0

В силу установленного выше периодического по x характера контактного давления интеграл в правой части последнего равенства при достаточно большом Al не зависит от x и равен p (t)Al = p (t)VAt. Это позволяет вывести из равенства (3.2) следующий закон изнашивания полосы:

w (t) = —h (t) = a 2p (t), w (0) = 0, a2 = c2 V (3.3)

Отметим, что коэффициент c(t) в равенст

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»