ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 79. Вып. 1, 2015
УДК 539.375,531.45
© 2015 г. Г. П. Черепанов
КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С ЗОНАМИ СЦЕПЛЕНИЯ И СКОЛЬЖЕНИЯ.
ТЕОРИЯ КАЧЕНИЯ И ТРИБОЛОГИЯ
В настоящей работе контактная задача математической теории упругости при учете адгезии на контакте рассмотрена как предмет механики разрушения. Дано точное решение общей контактной задачи механики разрушения в условиях плоской деформации с зонами сцепления и скольжения двух различных упругих полупространств. Фактически эта задача — основа теоретической трибологии. Для одного класса неоднородных материалов решение получено в замкнутом виде. Задача о давлении абсолютно жестких штампов на упругое тело в условиях плоской деформации с учетом адгезии на участках сцепления и скольжения также решена в замкнутом виде, когда коэффициент Пуассона равен 1/2. Исходная математическая задача охватывает также проблемы механики разрушения композитов о распространении трещин вдоль границы раздела двух различных упругих материалов с учетом зон налегания/скольжения берегов трещин. Метод аналитического продолжения используется для приведения задач к одной обобщенной краевой задаче Римана, решение которой найдено в замкнутом виде. На примере решения типичных контактных задач механики разрушения дана и проанализирована строгая количественная теория основных режимов качения и явления stick-slip. Показано, что в отсутствие проскальзывания и адгезии коэффициент трения качения в законе Кулона прямо пропорционален (NRP)1/2 для колес и цилиндров, и (NRP)1/3 для шаров, где N — нормальная сила (вес шара или погонный вес цилиндра), R — радиус колеса или шара, Р — упругая податливость системы. Влияние адгезии и шероховатости материалов на качение, а также износ материалов при качении охарактеризованы двумя материальными константами механики разрушения. По решению редколлегии ПММ последний раздел добавлен в качестве ответа на критические замечания по статье, публикуемые вслед за данной работой.
1. Введение: постановка задачи. При учете адгезии на участках сцепления и скольжения контактирующих тел контактные задачи, естественно, становятся проблемами механики разрушения. Имея это в виду, рассмотрим следующую контактную краевую задачу математической теории упругости в условиях плоской деформации, когда один упругий материал занимает верхнее полупространство, а другой — нижнее:
хПо просьбе автора статья публикуется без редакторской правки. (Здесь и далее — примеч. редакции.)
у = 0, х G L!: (ау - hxy)z = x± i0 = p+(х)
у = 0, х g L2: [ и] = 0, тху + fày = т,, [Оу - i%xy\ = 0
'xyJz = х ± i 0
(1.2)
(1.1)
у = 0, х е Ь3: [и + /и] = е(х) + 1Ц!(х), [сту - /тху] = 0 (1.3)
Здесь и ниже z = х + iy — комплексная переменная (х, у — декартовы координаты); u, и — компоненты вектора смещения вдоль осей х, у соответственно; ах, ау, тху — соответствующие компоненты тензора напряжений; f и х5 — постоянные сухого кулонова трения на площадках скольжения Х2; р±(х) — комплексные векторы заданных нормальной и касательной нагрузок на противоположных берегах трещины или дополнительных нагрузок (пригрузок) в случае контакта упругих тел на площадках L1; е(х) и w(x) — заданное распределение краевых и клиновых дислокаций на площадках сцепления L3 однородных линейно-упругих материалов, которое учитывает также форму и износ поверхностей контакта упругих тел в случае контактной задачи; [А] = А+ — А— означает скачок функции А(х, у) при пересечении оси x в соответствующей точке (А+ = = Az=х + ю, А- = Az=х — ю), где знак "+" означает верхний берег, а знак "—" — нижний берег.
В граничном условии (1.2) на площадке скольжения предполагается, что нормальное напряжение ау всегда отрицательно, а касательное напряжение тху положительно; если тху отрицательно, перед постоянными f и ^ в этом граничном условии следует ставить знак минус.
На участках L3 имеет место сцепление верхнего (при у > 0) и нижнего (при у < 0) полупространств с различными упругими свойствами, а вдоль участков L2 происходит их скольжение со взаимодействием по закону сухого кулонова трения. Считается, что совокупность L1 + L2 + L3 отрезков L1, L2 и L3, в общем случае многосвязных, занимает всю ось х, причем они следуют всегда в порядке 123 или 321 слева направо.
Обозначим через ak координаты концов открытых площадок L1, через Ь]с — координаты концов площадок сцепления L3, так что ak < х < Ь]с будет площадкой скольжения на L2, где k = 1, 2, 3, ..., п. На всей оси, очевидно, будет п открытых площадок и п площадок сцепления. Число площадок скольжения, очевидно, будет равно 2п, если при х ^ ±да имеют место одинаковые граничные условия; в противном случае это число равно 2п — 1. Порядок расположения площадок будет следующим:
••• ак < Ьк < Ьк +1 < ак +1 < аК + 2 < Ьк+2 < ЬК + з < ак+ъ < ак+4 < Ьк+4...
Длина и расположение всех участков, вообще говоря, заранее неизвестны и должны быть определены в ходе решения задачи; они зависят от внешних нагрузок, от пути нагружения, от физических и химических свойств материалов, взаимодействия, формы и износа их поверхностей, а также от технологических условий соединения двух материалов в единое целое. Учет этих факторов делает задачу существенно нелинейной.
Особыми токами данной краевой задачи являются бесконечно удаленная точка и точки разрыва граничных условий (1.1)—(1.3). В данной работе рассматриваются как классический, так и неклассический случаи. В классическом случае, когда при х ^ ±<» реализуется или условие (1.1), или условие (1.2), или условие (1.3), относящееся к классу S, принцип Сен-Венана выполняется. В неклассическом случае, когда при х ^ +со и при х ^ —с имеют место различные граничные условия, данная краевая задача относится к классу N в котором принцип Сен-Венана несправедлив. Для правильного задания граничных условий на бесконечности в классе N читатель отсылается к монографии [1], где они подробно рассмотрены (см. также статьи [2, 3]). Там же детально рассмотрены физически приемлемые граничные условия в точках разрыва граничных условий (1.1)—(1.3). Это условия для концов трещин, концов площадок контакта и т.п. Они служат для определения длины, расположения и развития во времени участков L1, L2, L3. Уместно отметить, что неклассические задачи класса N встречаются так же
часто, как классические задачи класса Б; они отнюдь не исключение из общего правила, как считалось еще совсем недавно (см. [1, 3]).
Координаты всех этих особых точек краевой задачи обычно считаются заданными параметрами, а напряжения в окрестности этих точек считаются интегрируемыми функциями координат. При этом задача становится линейной и для ее решения можно применять принцип суперпозиции. В такой постановке решению многих частных случаев плоской контактной задачи (1.1)—(1.3) были посвящены сотни книг и десятки тысяч научных статей, начиная с первой статьи (М.А. Sadowsky [4]), опубликованной в 1928 году. Однако, насколько известно автору, точного аналитического решения подобных задач с учетом как площадки скольжения, так и площадки сцепления, пока не найдено, хотя их принято считать основными в теоретической трибологии. Можно отметить только близкую по постановке задачу Л.А. Галина о малой зоне скольжения вблизи угловой точки абсолютно жесткого штампа, сведенной им к одной задаче конформного отображения [5]. Для прямого численного анализа краевая задача (1.1)— (1.3) неудобна из-за обилия независимых свободных параметров.
Следует подчеркнуть, что напряжения в некоторой окрестности точек разрыва граничных условий (1.1)—(1.3), за исключением особых случаев, не удовлетворяют критериям Кулона, Галилея и всем другим критериям сопротивления материалов в полном соответствии с опытом (см. [1—3]).
2. Сведение исходной проблемы к краевой задаче для одной аналитической функции. Напряжения и смещения во всем упругом пространстве можно представить через две функции Ф(г) и О(г), введенные автором в 1962 году [6]. Эти функции аналитичны во всей плоскости г, за исключением оси х, где они терпят разрыв. В терминах этих функций основные представления теории упругости имеют следующий вид [1, с. 370]: в верхней полуплоскости (1т г > 0 )
ах + ау = 4 Яе Ф(г), (г = х + гу)
сту - гтху = Ф(г) + П(г) + (г - г)Ф'(г) (2.1)
д и .д и
2- + гдр) = кФ(г) - П(г) - (г - г)Ф'(г)
^дх дху
в нижней полуплоскости (1т г < 0)
ах + ау = 4 Яе {ф(г) + П(г)1 (2.2)
-1( 1 + К2) I -1 + К1-2 I
-1 + К1 -2-, ч -1 - -2 „, ч К2-1 + ау - г Тху = —^ Ф( г) + 7, р 2 . П(г) + -77—-7 П( г) +
-1(1 + К2 )
-1( 1 + К2)
-1(1 + К2)
+
-1 (1 + к 2 )
;Ф(г) + (г - г к
-1( 1 + К 2 )
Ф' (г) +
- 1 - - 2 -1( 1 + К 2 )
(г)
2-I — + г —) = К2 - 1 + К 1 - 2 Ф(г) + К2 - 1 - - 2 П(г) - К2 - 1 + - 2 П(г) ■ ^дх дхУ -1 (1 + К 2) -1( 1 + К 2) -1( 1 + К 2)
К2-1 - К1 („ ' Л -1 + , -1 - -2
-1 (1 + К 2 ) [-1 (1 + К 2 ) -т( 1 + К 2 ) ]
Здесь ц — модуль сдвига, к = 3—4 и для рассматриваемой плоской деформации (и — коэффициент Пуассона). Индексы 1 и 2 здесь и ниже относятся соответственно к верхней и нижней полуплоскости.
Функции Ф^) и О^) выражаются через аналитические функции ф^), у^), ф2^), введенные Г.В. Колосовым и Н.И. Мусхелишвили [7], следующим образом [6, см. также 1, с. 369]:
Ф(г) = ф1 (г) при 1т г > 0
Ф( г) = - 1 ( 1 + К2) ф2 (г) + - 2 - -1 [ф1(г) + гф1'(г) + -1(г)] при 1тг < 0
- 1 + К1- 2 - 1 + К1- 2 (2.3) _1 (2.3)
г) = ф1( г) + г ф1( г) + -1 (г) при 1т г < 0
П(г) = -1 ( 1 + К 2){ф2(г) + гф2'(г) + -2(г)} -К2 - 1 - К1 - 2ф1 (г) при 1тг> 0 - 2 + К2- 1 - 2 + К2- 1
Условия в бесконечно удаленной точке для Ф^) и О^) приведем только для случаев принадлежности этой точки к L1 или L3.
1) Пусть при х ^ ±с выполняются условия (1.1), а все напряжения исчезают на бесконечности достаточно быстро. В этом случае функции Колосова—Мусхелишвили ведут себя так:
при z ^ с в верхней полуплоскости (1тг > 0)
' () X- /У М/ -' () X + /у м/ „ ..
ф1 (г) = - ~2— + —2, -1 (г) = -2— + — (2.4)
2пг 2пг 2пг пг
при z ^ с в нижней полуплоскости (1тг < 0)
' () X + /У М/ ' () X- /У М/
ф2(г) = - —---2, -2(г) = ----2 (2.5)
2 пг 2 пг 2 пг пг
Здесь
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.