ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 76. Вып. 5, 2012
УДК 539.3
© 2012 г. И. Г. Горячева, Н. И. Маланчук, Р. М. Мартыняк
КОНТАКТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТЕЛ С ПЕРИОДИЧЕСКИМ РЕЛЬЕФОМ ПРИ ЧАСТИЧНОМ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИИ
Рассматривается плоская контактная задача для двух упругих полупространств из одинаковых материалов с периодической системой выемок на одном из них при учете частичного проскальзывания. Предполагается, что сначала осуществляется полный контакт поверхностей тел под действием нормальной нагрузки, а затем к ним прилагается тангенциальная нагрузка, приводящая к возникновению участков фрикционного проскальзывания в пределах каждой выемки. Напряженно-деформированное состояние тел представлено через известную функцию высоты выемок и заранее неизвестную функцию относительного сдвига границ тел на участках проскальзывания. Для определения последней получено сингулярное интегральное уравнение с ядром Гильберта, которое решено аналитически. Ширина участков проскальзывания находится из условия ограниченности касательных контактных напряжений. Проанализированы зависимости контактных параметров от приложенной нагрузки и ширины выемок.
Для улучшения функциональных характеристик подвижных соединений и создания узлов с прогнозируемым контактным поведением применяются разные способы обработки и модифицирования сопрягаемых поверхностей. В последнее время с этой целью часто используется микротекстурирование поверхностей [1], состоящее в формировании на них периодически расположенных выемок (бороздок или ямок) одинакового профиля. Для создания такой микрогеометрии обычно используются лазерные технологии. Прогнозирование контактных параметров микротекстурированных тел, их контактной прочности, жесткости и износа возможно на основании решений контактных задач для поверхностей с периодическими системами выемок при учете трения, сцепления и проскальзывания.
Разрабатываются разные подходы к решению периодических контактных задач теории упругости, нацеленные на исследование взаимодействия тел с регулярно расположенными микровыступами (инденторами) либо с волнистыми поверхностями.
Впервые аналитическое решение плоской задачи о контакте упругого полупространства и бесконечного синусоидального штампа в условиях отсутствия трения (бесфрикционном контакте) было построено Вестергаардом [2] с применением комплексных функций напряжений. Аналогичная задача для штампа произвольного периодического профиля сведена к сингулярному интегральному уравнению с ядром Гильберта относительно контактного давления, аналитическое решение которого получено в случае синусоидального штампа [3]. На основании разложения функций Папковича—Нейбера в ряды Фурье построено [4] замкнутое решение плоской задачи о бесфрикционном контакте двух упругих полупространств из разных изотропных материалов, поверхность одного из которых имеет синусоидальную форму. Решение Вестерга-арда [2] было обобщено [5] на случай контакта поверхностей с более общей периодической формой, образованной несколькими гармониками. На основании теории автоморфных функций исследованы плоские задачи о бесфрикционном [6] и скользящем фрикционном [7] контакте волнистого штампа с полупространством, изучено влияние сжимаемой жидкости в межповерхностных зазорах на контактное взаимодействие волнистых тел [8]. Решена периодическая изно-соконтактная задача [9] для полупространства с изначально плоской поверхностью, коэффициент трения которой — периодическая кусочно-постоянная функция, и исследовано формирование регулярного рельефа на таком теле в процессе износа. Изучено [10] высокоскоростное фрикционное скольжение двух упругих полупространств, одно из которых имеет волнистую поверхность, при учете инерционных эффектов. С использованием методов функций межконтактных зазоров и комплексных потенциалов плоские периодические контактные задачи для
анизотропных тел были сведены [11—13] к сингулярным интегральным уравнениям относительно высоты зазоров между сопрягаемыми поверхностями. На основании этого подхода изучен бесфрикционный контакт анизотропного полупространства с жестким телом, имеющим волнистый рельеф [11], двух анизотропных полупространств с волнистыми поверхностями [12], а также скользящий фрикционный контакт таких тел [13]. Построены [14—15] аналитические решения задач о бесфрикционном контакте волнистых полуплоскостей из разных материалов при учете адгезии поверхностей. Исследовано [16] одновременное влияние адгезии и трения на контакт жесткого волнистого штампа с упругой полуплоскостью.
Модель контакта с трением и сцеплением впервые была рассмотрена Л.А. Галиным при решении задачи о вдавливании штампа с прямолинейным основанием в упругую полуплоскость [17, 18]. С использованием решений И.Я. Штаермана [3] изучено частичное проскальзывание двух тел из одинаковых материалов, имеющих периодический рельеф [19]. Исследовано взаимодействие периодической системы жестких штампов, имеющих плоское основание, и упругой полуплоскости при учете фрикционного проскальзывания на краях штампов [20]. Построено замкнутое приближенное решение плоской контактной задачи о частичном проскальзывании волнистых тел из разных материалов [21] с использованием аппроксимации [22], согласно которой пренебрегается влиянием касательных контактных напряжений на нормальные перемещения поверхностей.
В случае больших и малых областей контакта было построено [23] асимптотическое решение трехмерной контактной задачи о бесфрикционном взаимодействии упругих изотропных полупространств, одно из которых имеет синусоидальные волнистости в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
Для решения пространственных контактных задач о внедрении в упругие тела периодической системы инденторов используется принцип локализации [24]. Его сущность состоит в том, что при определении напряжений под произвольным индентором действие других инденторов заменяется действием осредненного давления, распределенного вне охватывающего единичный участок контакта круга, радиус которого определяется из условия равновесия. На этом основании решены [24, 25] контактные задачи для периодической системы штампов и упругого полупространства, взаимодействующих без трения. Принцип локализации применен к исследованию бесфрикционного [26—28] и скользящего фрикционного [29, 30] контакта периодической системы штампов с двухслойным упругим полупространством, в том числе и при учете несовершенной адгезии между поверхностным слоем и основанием.
Из приведенного обзора следует, что в настоящее время в основном изучен бесфрикционный и скользящий фрикционный контакт тел с регулярным рельефом. Начаты исследования периодических контактных задач при учете сцепления и частичного проскальзывания, которые пока ограничиваются несколькими работами [19, 21] для волнистых поверхностей. Взаимодействие тел с текстурированными поверхностями при развитии периодических участков локального фрикционного проскальзывания не изучалось.
В данной работе предлагается метод аналитического решения двумерной контактной задачи для упругих полупространств из одинаковых материалов, одно из которых имеет периодически расположенные выемки переменной глубины, при частичном проскальзывании сопряженных поверхностей после их полного налегания. Определены зависимости длины участков проскальзывания, относительного сдвига поверхностей и контактных напряжений от приложенной нагрузки.
Аналитические решения контактных задач для тел сложного профиля при учете частичного проскальзывания имеют важное значение для исследования фреттинг-усталости реальных элементов машин и конструкций [31]. Например, взаимодействие хвоста лопатки с выемкой диска в газовых турбинах моделируется контактом упругого штампа, имеющего плоское основание со скругленными краями, с полуплоскостью [32]. Замкнутое решение задач о взаимодействии таких тел при частичном проскальзывании построено в случае симметричного [33] и антисимметричного [34] распределения контактных напряжений.
1. Постановка задачи. Рассмотрим контактное взаимодействие двух упругих изотропных полупространств из одинаковых материалов в условиях плоской деформации. Граница одного из полупространств плоская. Граница другого полупространства имеет регулярный рельеф, образованный периодической системой неглубоких туннельных выемок одинаковой ширины 2Ь, расположенных с периодом с1 вдоль поверхности. Такой рельеф соответствует микротекстурированной поверхности с однонаправленными выемками [1]. Тела до вступления в контакт изображены на фиг. 1.
Фиг. 1
1 * 1
qn
D2 ! 1 У 1 1 1 1 1 O ---- 1 1 1 1 1 1 /\/ / Л/
^ 1 ---^г^--г 1 1 ^ -¿/2 -Ь _с с Ь ¿/2 1 " 1 1 1 1 1 D, 1 1 1 |
qn
Pn
п
x
Фиг. 2
№п
qn
(Ро, qo) Г\
1 этап
2 этап
pch рп рп
Фиг. 3
q"
В системе координат Oxy, расположенной в плоскости поперечного сечения тел, перпендикулярной к прямой, являющейся образующей выемок, форма выемок описывается периодической четной непрерывно-дифференцируемой функцией
r(x) = r(x + kd), x e [-b + kd, b + kd], k = 0,±1,±2,...
такой что |r(x)| ^ b. Предполагаем, что максимальная глубина выемок r0 достигается в центре выемок (max |r(x)| = r0 = |r(0 + kd)), а на их краях x = ±b + kd (k = 0, ±1, ±2,...) одновременно равны нулю и функция формы, и ее производная (r(±b + kd) = r'(±b + kd) = 0), что означает плавный переход от выемок к плоским участкам поверхности между ними.
В связи с плоской деформацией полупространств будем рассматривать [35] взаимодействие полуплоскостей Д и D2, которые образованы в результате сечения полупространств координатной плоскостью Oxy (фиг. 2). Тела взаимодействуют, подвергаясь последовательному нагружению, диаграмма которого изображена на фиг. 3.
Сначала, на первом этапе, они прижимаются друг к другу приложенным на бесконечности монотонно возрастающим номинальным давлением pn = P/d, где P — нагрузка, приходящаяся на один период (этому этапу соответствует горизонтальный участок диаграммы нагружения на фиг. 3). При этом монотонно уменьшаются размеры межконтактных зазоров, обусловленных рельефом поверхности одного из тел. В зависимости от величины номинального
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.