ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 76. Вып. 5, 2012
УДК 539.3
© 2012 г. Е. М. Колосова, М. И. Чебаков
КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПОЛОСЫ ПРИ НАЛИЧИИ СИЛ ТРЕНИЯ
При учете сил трения рассматриваются плоские контактные задачи о взаимодействии штампа и трехслойной упругой полосы, лежащей на жестком или упругом полупространстве, в предположении, что слои жестко соединены между собой и с полупространством. Предполагается также, что подошва штампа плоская или имеет форму параболы, в зоне контакта нормальные и касательные напряжения связаны законом Кулона, а на штамп действуют нормальные и касательные усилия. При этом система штамп — трехслойное основание находится в условиях предельного равновесия и штамп в процессе деформации слоя не поворачивается. Для поставленных задач с помощью программ аналитических вычислений впервые получены точные интегральные уравнения (ИУ) первого рода с ядрами, представленными в явном аналитическом виде. Изучены основные свойства ядер ИУ, в том числе показано, что числитель и знаменатель символов ядер могут быть представлены в виде разложения по произведениям степеней модулей сдвига слоев и полупространства. Изложена схема решения ИУ прямым методом коллокаций, которая позволяет получать решение задачи практически при любых значениях исходных параметров. Рассчитаны распределения контактных напряжений, размеры области контакта, взаимосвязи перемещения штампа и действующих на него сил в зависимости от геометрических и механических параметров слоев. Проведено сравнение результатов расчетов в частных случаях с ранее известными.
Впервые контактная задача теории упругости при наличии сил трения в области контакта была рассмотрена Л.А. Галиным [1] в 1943 г., в дальнейшем этой теме были посвящены также его работы [2—4] и др.
Имеется обзор публикаций, посвященных контактным задачам для многослойных оснований [5, 6]. Контактные задачи для двухслойных оснований рассматривались ранее ([7—10] и др.).
1. Постановка задач. Рассмотрим на плоскости область у < /ц, состоящую из трех слоев: 0 < у < Н1 (слой 1), -/2 < у < 0 (слой 2) -к2 - Н3 < у < -к2 (слой 3) и полуплоскости у < -к2 - к3 (фиг. 1), где (х, у) — декартовы координаты. Пусть слои и полуплоскость, имеющие разные упругие постоянные, жестко соединены между собой, а грань у = Н1 слоя 1 взаимодействует со штампом, находящимся под действием нормальной силы Р и горизонтальной силы Т = ц Р. Пусть в зоне контакта нормальные и касательные напряжения связаны законом Кулона тху = цау (ц — коэффициент трения).
Будем рассматривать два случая: штамп имеет подошву в виде параболы с радиусом кривизны Я в вершине — задача 1 и штамп имеет форму прямоугольника — задача 2. В задаче 1 зона контакта переменна, а в задаче 2 фиксирована. Рассматривается случай предельного равновесия, сила Р приложена к штампу с некоторым эксцентриситетом е таким образом, что штамп не поворачивается в процессе деформирования слоя.
Задача 1 Задача 2
Фиг. 1
В случае плоской деформации задачи сводятся к соответствующим уравнениям Ламе при следующих граничных условиях:
y = h1, x < -a, x > b: a1y = x1xy = 0
y = h1, -a < x < b: т Xy = Ц^У, v1 = S - f (x),
„12 12 12 1 2 y = 0: v = v , u = u , o y = o y, т xy = т xy,
23232323 V'/
y = -h¿ v = v , u = u , o y = o y, т xy = т xy,
,, 3 4 3 4 3 4 3 4 y = -h2 - h3: v = v , u = u , O y = o y, т xy = т xy
При этом напряжения в полуплоскости y < -h2 - h3 при y ^ -да стремятся к нулю.
Здесь u и V — перемещения в упругих слоях соответственно вдоль осей х и y; a'y и %'xy — нормальные и касательные напряжения (индексы 1, 2, 3 и 4 относятся соответственно
к слоям 1, 2, 3 и полуплоскости; для задачи 1 f (x) = x2/(2R), а для задачи 2 f (x) = 0.
2. Интегральное уравнение. С помощью преобразования Фурье полученные краевые задачи сводятся относительно неизвестных нормальных контактных напряжений под штампом оy = -q(x) к следующему интегральному уравнению (ИУ):
\q(£)k = л98(x), - a < x < b (2.1)
-a
e = -G_, 8(x) J8"^2(задача 1); e = 2R
1 V1 [8 (задача 2)
ядро которого представимо в виде двух слагаемых
k (t) = k (t) -М2 (t) (2.2)
к1 (t) = гAW cos ut du, k2 (t) = Г^^sin ut du Li (u) = 9 = i1-2^
0 u 0 u La(u) 2 (1 -vi)
Здесь 5 — перемещение штампа в вертикальном направлении.
Для функций L¡j (u) (i, j = 1,2) получены явные аналитические выражения, которые представимы в виде разложений по величинам относительных модулей сдвига Gi1 = Gi/G1, где Gi (i = 1, 2, 3, 4) — соответственно модули сдвига слоев 1, 2, 3 и полупространства:
Lj = £ Njm, klm = 022, 031, 040, 112, 121, 122, 130, 131, 140, 202, 211, 212,
k,I,m
220, 221, 222, 230, 231, 240, 302, 311, 312, 320, 321, 330, 402, 411, 420 (2.3)
NkIm(u) = nkim(u)G2k1G31G4m1
Отметим, что L12(u) = (1 - 2y1)L22(m)/2.
Функции n[Im(u) получены в явном виде, содержат гиперболические и степенные функции аргумента, зависят только от коэффициентов Пуассона и относительных
толщин слоев H2 = /h\, H3 = h3/h1. Здесь функции nkIm(u) не приводятся из-за громоздкости, но их вид позволяет изучить основные свойства трансформант ядер ИУ (2.2), в том числе и поведение в нуле и на бесконечности. Показано, что
^ = ^ + + O(u) (u ^ 0), L(u) = 1 (u ) u u
A(1) = 1 -V4 a01) = n, = - 1 - 2v4 , A02) =-2(1 -V 4)n2 (2.4)
(1 -V1)G41 d1 " G41(1 - 2V1) d2
Здесь
d1 = 2G21G31G421(1 - v1)2(1 - v2)(1 - v3x d2 = G421k121(1 - v3) n1 = X nkImGkfi31G41, klm = 012, 102, 110, 111, 112, 120
k,I,m
n2 = —G21H2K134 - G31H3K124 + G41(H2K132 + H3K123 + K231) n012 = H2K132, ПЮ2 = ^K^ nm = К234(1 - 2v4)
n111 = —2(H3v3k124 + H2v2k134 + v1k234), Пц2 = К231, n120 = —H3X424(1 - 2V4)
Kijk = (1 -V i)(1 -v j )(1 - 2 V k)
Отметим, что при ^ ад имеем А-1 ^ 0, А0 ^ 0, а А примет более простой вид
А = п01°31 + ^ + п11°21°31 ; „01 = Нкш, «10 = Н зк12з, пп =к 231 (2.5)
2£21£з1(1 -Vl)2(1 -V 2)(1 -vз)
Формулы (2.3) позволяют путем предельного перехода при О^ ^ ад прийти к задаче для трех слоев на жестком основании. Также аналогично выполняется предельный переход к двум слоям и одному слою на жестком основании. Отметим, что для задачи 2 естественно считать, что Ь = а.
В случае задачи для трех слоев, жестко соединенных между собой и с недеформиру-емым основанием, функции Ц (и) (г = 1,2) принимают более простой вид
Ц = £ Щ,, к1 = 02, 11, 12, 20, 21, 22, 30, 31, 40, = «Ю^ (2.6)
к,1
Функции п]кт = п'кт(и) имеют здесь менее громоздкую структуру, чем в задачах для трех слоев на полупространстве, и могут быть выписаны в явном виде. Они содержат гиперболические и степенные функции аргумента, зависят только от коэффициентов Пуассона и толщин слоев. Формулы (2.6) также позволяют путем предельных переходов О31 ^ ж и О21 ^ ад прийти последовательно к известным задачам для двух слоев или одного слоя на жестком основании. Если положить О21 = О31 = 1, v2 = v3 = V!, получим задачи для одного слоя толщины к = Н1 + к2 + к3, и функции Ц (и) примут известный вид [11, 12].
Заметим, что функции п'1т(и), п'кт(и) с одинаковыми нижними индексами могут иметь одинаковые функции-множители, что позволяет легко проследить отмеченный выше последовательный предельный переход при О31 ^ да и О21 ^ ад и получить ранее известные соотношения [7, 11, 12].
3. Решение интегрального уравнения. Ядро ИУ (2.1) имеет логарифмическую особенность и для случая О4 = ад может быть представлено в виде [12]
к (?) = - 1п |?| + Г (?), Г (?) = (?) -Э^п (?) - ^(?)] (3.1)
г[1 - Ь (и)] 008 и? - е , „ , ч л1 - Ь (и) . ,
Г1 (?) = Р-^-йи, Г2 (?) = Г-^Лт и?йи (3.2)
■' и : и
0 0
Интегралы Г (?) сходятся при любых значениях ? из промежутка -2а/\ < ? < 2Ь/\.
Решение ИУ (2.1) с ядром (3.1), (3.2) получим методом коллокации, воспользовавшись полученными ранее результатами [7]; было приведено [13] соответствующее обоснование.
Проведем дискретизацию ИУ (2.1) с ядром (3.1)—(3.2) по следующей схеме:
N (р - N X+е/2 (р \
£ X 4]к + * 1 кйр = л95 (х), 1 < г < м, (3.3)
У=1, У *1 \ 1 ' хг -Е/2 \ 1
е, 1 = -а + е/2 + е (у - 1), = -а + е/2 + е (г - 1)
qj = q (Е, у) — значения контактных напряжений в узлах коллокации 'у, е = (а + Ь) /Ы — интервал коллокации, N — число узлов коллокации.
Интеграл в равенстве (3.3) в соответствии с соотношениями (3.1) представим в виде суммы двух интегралов
х ,+е/2
х, -е/2
/, =- | 1П ^ = 1| и /2,. = | И ^ к. (3)
ы
, X+£/2 ,
е ,1 „ г _ г х
2Ы ) V Ы
1 у х, -Е/2 4 1
Интеграл /2, имеет значительно более высокий порядок малости при малых е по сравнению с интегралом /11, и поэтому им можно пренебречь в дальнейших расчетах [7].
Окончательно для нахождения значений контактных напряжений q (х) в узлах коллокации х = х, = -а + е/2 + е (, - 1) получим систему линейных алгебраических уравнений
N
а-гА] = Ь,, , = 1,...,N; ау = а1 - 9а,2-, (3.5)
У=1
где
/
т _ ь ау = кт
у - х, Ы
, у, т = 1,2; а,, = /1(-, Ь, = п05 (х,) (3.6)
Отличительная особенность системы (3.5)—(3.6) состоит в том, что она имеет диагональную структуру. Между коэффициентами системы существует связь:
т т . ^ . чг-,1122 /о-7\
а,+1,у+1 = ау, у > I, т = 1,2; а,у = ау,, а,у = -ау, (3.7)
Следовательно, достаточно вычислить только коэффициенты первой строки, а именно, а^- (т = 1,2), все остальные элементы будут их линейными комбинациями, что значительно сокращает время вычисления всех коэффициентов матрицы а] (т = 1,2) системы (3.5), (3.6).
Для приближенного вычисления силы P и момента M, действующих на штамп, имеем соотношения
N Ь N
р = еЕ qk, М = | тху(х, К)йх = х^к (3.8)
к=1 -а к=1
4. Результаты расчетов. На основе изложенного выше подхода для обеих задач был проведен анализ контактных напряжений, действующей на штамп силы, а также размеров области контакта в задаче 1 при разных значениях параметров.
Результаты расчетов были протестированы путем сравнения их с результатами, приведенными [11] для однослойного основания при отсутствии трения. Сравнения проводились при 5 = 0.0002, Я = 1, 021 = 031 = 1, Ы1 = Ы2 = Ы3 для задачи 1 и при 5 = 1, а = 1, 021 = б31 = 1, Ы1 = Ы2 = Ы3 для задачи 2 при некоторых значениях N и
Ы = Ы + Ы2 + Ы3. При X = Ы/а = 1, 2, 4 наблюдалось хорошее совпадение резул
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.