ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2007, том 41, № 3, с. 262-271
УДК 533.72
КОНЦЕНТРАЦИОННО-ТЕПЛОВАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ТЕРМОДИФФУЗИОФОРЕЗА ДВУХ КАСАЮЩИХСЯ ШАРОВ, ПЕРЕМЕЩАЮЩИХСЯ ВДОЛЬ ЛИНИИ ЦЕНТРОВ В БИНАРНОЙ
ГАЗОВОЙ СМЕСИ
© 2007 г. С. Н. Дьяконов, Л. В. Котлярова
ГОУ ВПО "Орловский государственный университет" s.dyakonov@univ-orel.ru Поступила в редакцию 17.03.2006 г.
Изложена эффективная схема изучения тепломассопереноса к поверхности двух соприкасающихся неравных шаровых тел с произвольной теплопроводностью. Решена осесимметричная термодиффузионная задача в квазистационарном приближении при малых числах Пекле на основе объемных уравнений Лапласа с линеаризованными граничными условиями. Возможно решение сходных по математической постановке задач для расчета многих химико-технологических процессов, связанных с испарением или конденсацией, адсорбцией или десорбцией, горением или химическими реакциями на межфазных границах в дисперсной системе.
В реальных аэродисперсных системах частицы находятся на произвольных расстояниях друг от друга. Если эти расстояния сравнимы с характерными размерами летучих капель, то на процесс испарения каждой из них оказывают заметное влияние другие аэрозоли. При этом наиболее вероятны парные сближения, затрудняющие отвод тепла и массы от поверхности каждой капли, что увеличивает продолжительность испарения частиц.
Особенности диффузионного режима свободного испарения и также с внутренними источниками тепла двух крупных неподвижных неравных шаровых капель, находящихся в бинарной газовой смеси на произвольном расстоянии друг от друга, описаны наиболее полно и строго в [1, 2]. Аналитическое решение задачи получено в системе бисферических координат вращения. На примере взаимодействующих водяных тел, возрастающих в пересыщенном парами воды воздухе, установлена значительная зависимость распределений температуры и концентрации летучего компонента в газовой среде от расстояния между каплями. По мере сближения частиц скорость роста каждой уменьшается. При свободном испарении (конденсации) аэрозоли оказываются изотермическими, когда температура не зависит от расстояния между телами.
Результаты данной работы позволяют найти скорость движения двух контактирующих шаров [3]. Это позволяет обобщить выводы по приближенным инженерным формулам для термофоре-за [4-6], где теплопроводности крупных твердых нелетучих тел и неравномерно нагретого простого газа отличаются незначительно, а расчетные
аналитические выражения могут служить контролирующими тестами.
Постановка задачи. Пусть неограниченная неподвижная изотропная бинарная газовая смесь неоднородна в одном направлении по абсолютной температуре Т, численным концентрациям п1, п2 молекул первого и второго сорта с массами т1 и т2. Относительная концентрация С < 1 первого компонента равна доле молекул первого сорта от полного числа всех газовых молекул в данном объеме. Внешние градиенты АТ = (V 7)м, Ас = (УС)М температуры и относительной концентрации - постоянные коллинеарные векторы. В газовую среду плотностью р = п1т1 + п2т2, коэффициентами удельной теплопроводности к, взаимной диффузии В12 компонентов помещаются два твердых изотропных контактирующих шара с радиусами Я1 и Я2. Неравные частицы содержат одинаковое химически чистое летучее вещество с удельной теплотой парообразования Ь, и удельной теплопроводностью к'. Внутренние источники тепла (электромагнитной, химической или радиоактивной природы) отсутствуют. Молекулы летучего вещества при свободном диффузионном испарении образуют первый компонент газовой смеси. Относительная и численная концентрации насыщенного пара этого компонента при температуре Т связаны соотношением С/Т) = пь(Т)/п, где п = п1 + + п2. Во внешней среде доминирует молекулярный механизм переноса тепла и массы к межфазной границе. На динамику высокотеплопроводных тел заметно влияет термодиффузия или эффект Соре: неоднородное поле температуры вызывает переход более тяжелых газовых молекул в более
холодные области и возникает упорядоченное диффузионное взаимное движение молекул каждого сорта относительно центра инерции смеси [7-9]. Выражения для термодиффузионного отношения Кт газовых молекул первого сорта приведены в [8, 9], данные эксперимента в [10]. Зависимость Кт от С < 1 - линейная, коэффициент пропорциональности - функция только температуры Кт = к0(Т)С. Если массы тх, т2 отличаются значительно, то к0(Т) > 0 при т1 > т2; к0(Т) < 0 при т1 < т2 [9, 10].
Применяется правая система тангенциально-сферических координат п, ф с метрическими коэффициентами Н^, Нп, Нф, ортами (е^, еп, еф): 0 < ^ < < < п < +<», 0 < ф < 2п [3]. Начало ортого-
нальной системы вращения связано с точкой контакта частиц; ось г проходит через геометрические центры шаров в направлении вектора АГ||АС. Цилиндрические координаты г, у определяют посредством формул
z = -2П
п
=
Y 2 , t 2 n + S
22 _ 5 + п
^ф =
Y
T = T 0 + ATz, C = C0 + ACz,
п2 D
S,: пг(-kVT + к'VT,) = Lm,П—пг x
x|v с + Kdv T
S,: T - T, = n,( VttVT + VtcT,vC), C - Cs(T,) = n(VccVC + Vct\Vvt).
(2)
(3)
(4)
Здесь соотношение (3) следует из граничного равенства баланса тепла и условия непроницаемости для газовых молекул второго сорта:
п,( - kVT + к' v T) = - Lm, п,
п m2
n,v - ■
2D]2 x
x|V C + KTD V T
n2 m, / KTD„ П2 v --p-1 D,2(v C +T v T
= 0.
Граничные поверхности n = П = cost+ > 0, n = = -П = const- < 0, имеют соответствующие радиусы
R1 = n,1, R2 = Л^1; орты внешней нормали п1 = -en, п2 = en Невозмущенные параметры Т0 и C0 = п10/п0 считаются постоянными во времени (п0 = п10 + п20; Т0, п10, п20 - температура и численные концентрации компонент газовой смеси в плоскости z = 0 в отсутствие агрегата). Квазистационарные распределения температуры T(r), Т1(г), Т2(г) вне и внутри шаров, относительной концентрации C(r) летучего компонента релаксируют быстро по сравнению с характерным временем испарения тел и удовлетворяют при исчезающе малых числах Пекле осесимметричным уравнениям Лапласа
AT = 0, AT, = 0, A T2 = 0, A C = 0. (1)
Вдали и на поверхности S , частицы (/ = 1; 2) выполняются условия [7, 11]
Конвективные плотности пг(«1у) Ф 0, п,(п2у) Ф 0 нормальных потоков газовых молекул описывают эффект Стефана. Пограничные скачки температуры и концентрации обусловлены локальными нормальными к межфазной поверхности градиентами (пгУТ), (пгУС). Газокинетические коэффициенты пропорциональности (Утт, Утс), (УСС, УСТ) порядка средней длины свободного пробега газовых молекул и определяются из решения системы уравнений Больцмана. Они дают оценку влияния слоя Кнудсена на поля у(г), С(г), Т(г), Т1(г), Т2(г), скорость ирН термодиффузиофо-реза умеренно крупных летучих касающихся шаров вдоль линии центров подобно случаю одиночной частицы [12, 13]. Аналитический вид и методика вычисления (УТТ, УТС, УСС, УСТ), когда компоненты бинарной газовой смеси имеют произвольные концентрации и отношения масс молекул, представлены в работах [11, 14].
Пусть а - коэффициент испарения; V - одна четвертая средней тепловой скорости газовых молекул первого сорта. Если в условии (4) сделаны формальные замены
V,
1 nD
12
сс
av п2
V,
1 nD
12
CT
av п2
K
TD■>
то получается граничное соотношение для плотности нормального потока пара летучего компонента, который отводится от межфазной поверхности через слой Кнудсена [3]. Тогда после решения задачи (1)-(4) можно оценить относительное влияние летучести, термодиффузионных эффектов на динамику агрегата твердых умеренно крупных испаряющихся шаров.
Решение концентрационно-тепловой задачи.
В работе [15] получена общая структура решений уравнения Лапласа, регулярных на оси симметрии ^ = 0, исчезающих на бесконечности ^ = п = 0. Условия (2) и тождества 1а и 2а (см. приложения) с учетом ограниченности температуры внутри ча-
2
п
r
оо
2
стиц (Т1 Ф Т2 Ф дают общий вид решений уравнений (1)
В силу интегрального свойства 3а (см. приложение) справедливы выражения:
С(5,п) = Со + А^ = е^У^П) = 52 + 2 А К
0 Т 2 [ АТ
X (1-2| ПЯх
V 52 + П К о
X| (Со + 2Асехр(-|п^) + х ехр(-п^),
Ко
X
\
ХС ( d2
п Xе -
+ Хс(Х,п) к 5
+1- П ^ ЭП ХС (М)
,5
Т(5, п) = То + Атг + V+ п2|Хт(Х, п)Л^)
V + П К о
1- Я Т о+ 2 Ат X) ехр (-I п|Х) +
+ Хт(Х,п) к 5
1(5, п) = Т о^ 52 + п| Х(х, п) ^о(Х5)
75
22 + п К о
1- { Т о ехр (-I п|Х) + Х (Х,п)},5
ХС
Хт
ХС
Хс
Пу Т (5,п) = У 52 + п2 Ко
п X (Х,п) -
-(х 4 + п2 1Э Хг (х'п)
Л2 ' dX ■,'V[X Эп г ,5
Далее для краткости применяют обозначения:
а = Ьту
п Э
12 т- 2
п к'
Ц = -тгIхзг - пД =
dXv dX
где ХС(Х, п) - безразмерная величина; функции Х1(к, п),Х1(Х, п),Х2(Х, п) имеют размерность температуры:
л " . d 2л
= X —2 + -тт- пг X. dX2 dX г
Из равенства изображений следует равенство оригиналов. Поэтому линеаризованные условия (3)-(4) дают связанные друг с другом уравнения (после замен П1 —»- пщ, П2 —П20, пп —»- 0 подстрочный индекс "0" опускается)
(X, п) = ДХ)ехр(пХ) + (X)ехр(-пХ), (п1 + Ь,)Хг(Х,п)|
Хт
хт
п = п1
£ + а -1 Утт(П1 +
к 1 о 2
г21 1 ЭХт ( X
п = п1 ^1IX Эп
X!(X, п) = х-(X)ехр(, Х2(X, п) = х+ (X)ехр(пX).
При невысокой неизотермичности шаров С6,(Тг) разлагается в ряд Тейлора вблизи средней температуры Ткг на границе Бг и удерживаются два первых члена
+ Ц)
П п = п - ЦIX
п = П1
а УтсТ№1 (П1+ Ц)
П1 Xc(X' п) |п = % - Ц X
Cs(Tг) = С(Т^+д-С
(Тг - ТК) = 752+ П2 X Х1 X
1ЭXc(X' п)
(5)
Т = Т
X Эп
п = П1 -
= 2Ч £ +а 1т;-1+П1 X
х Ко
X К« ^ + ЭС
(То - и х
Т = Т
X УтТ]Ат + (а + пУтсТк1)Ас(1-2п X)exp(-пX),
, ,„ Э С. х ехр(-|пМ + --!т7Х
Х"г (X, п) к 5
т = Т
(п 2 + ь2)Хт (X, п)|
п = -П2
"к КТЭ 1 Тг , . т2, а у—2 Утт(П2 + Ь2)
х
е
о
2
о
X
пХМ и п + Ы\ 1ЭХ(Х'п)
эХс (м)
'п = -п2 2IX Эп
п = -п
х-
Эп
= \С) (ТК2) - С0 + -»-т»)
(6)
п = -п2У
дС дТ
X
1 2
а -2 УгсТК2(п2 +
п 2 Хс (А,п)1п = -п2 +
(ЭС)
х( Т0- ТК2) -2 ( дТ
А т -А с IX
Т = т»
211 ЭХс ( X, п ) +ы \ X ^^
п = -п2J
т i i к ктт л
= -2\ к +а тТ-1
( эС
( эт
У„ - Ъ)Ат - (Усс- дС
т = т 1 »2 У V о 1
X
т = т»
+ п2Утт А + (а + п2УтсТ »2)Ас ^
Х Т »2 УТС АС
(1-2п2X) ^ехр( п2X).
X(1-2п2X)ехр( п2X) э С
Хс(^,п)1п = п.-эТ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.