ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2010, том 36, № 10, с. 934-948
МАГНИТНЫЕ ^^^^^^^^^^^^^^^^ ЛОВУШКИ
УДК 533.951.9
КОНВЕКТИВНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ И СОГЛАСОВАННОЕ С НЕЙ МГД-РАВНОВЕСИЕ В ЛОВУШКАХ СО СПАДАЮЩИМ ПОЛЕМ
© 2010 г. М. М. Цвентух
Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, Москва, Россия Поступила в редакцию 04.02.2010 г.
Окончательный вариант получен 25.03.2010 г.
Рассматривается конвективная (перестановочная, желобковая) устойчивость плазмы, согласованная с равновесием, в магнитных ловушках со спадающим полем с большой кривизной силовых линий. Разработаны алгоритмы расчета конвективной устойчивости плазмы согласно необходимому и достаточному кинетическому критерию Крускала—Обермана, при этом конвективная устойчивость итерационно согласуется с МГД-равновесием при заданных давлении и анизотропии в реальной магнитной геометрии. Рассчитаны вакуумные и равновесные конвективно-устойчивые конфигурации ловушек со спадающим полем большой кривизны. Установлено, что достижение высокого давления плазмы в центре при конвективно-устойчивом равновесии ограничено либо расширением сепаратрисы (в случае протяженных участков со слабым полем), либо "филаментацией" градиентного плазменного тока (в случае малых участков со слабым полем, когда основное падение давления происходит вблизи сепаратрисы). Установлено, что кинетическое описание конвективной устойчивости дает более высокие параметры удержания плазмы в ловушках со спадающим полем большой кривизны с позиции равновесия и появления непотенциальных баллонных мод, чем более простая МГД-модель, и позволяет заметно улучшить эти параметры при задании определенного вида анизотропии. Для компактной экспериментальной ловушки Магнетор рассчитано наибольшее достижимое в центре давление, отвечающее в ~ 30%. Показано, что при той анизотропии функции распределения, которая характерна для фоновой ЭЦР-плазмы, предельный градиент давления примерно вдвое выше, чем для изотропной плазмы. С практической точки зрения, показана возможность достижения более высоких параметров удержания горячей, бесстолкновительной плазмы в ловушках со спадающим полем большой кривизны, чем следует из простейшего МГД-рассмотре-ния.
1. ВВЕДЕНИЕ
Принцип стабилизации плазмы плавным спадом давления в ловушках большой кривизны был предложен Кадомцевым в [1]. Суть его заключается в том, что плазма может быть сделана устойчивой относительно конвективных (перестановочных, желобковых) возмущений даже в отсутствие минимума поля и перекрещенности силовых линий (шира), если ее давление спадает наружу не слишком быстро. В наиболее простом МГД-описании [1—5] критический градиент следует из условия [1]:
чрчи < ур(Vи)2/|и|, (1)
где и = — £/В, интегрирование ведется вдоль силовой линии, показатель адиабаты у = 5/3. Границе устойчивости отвечает р ж и-у. Критический спад давления определяется магнитной конфигурацией. Из-за расходимости интеграла и на магнитной сепаратрисе, проходящей через нули поля, условием (1) допускается иметь нулевое давление на сепаратрисе без потери устойчивости.
Заманчивость такого метода в том, что конфигурация плазмы, устойчивой к наиболее опасным
крупномасштабным возмущениям, возникает естественным образом. При этом давление спадает к периферии, плазма оторвана от стенок, а конфигурация стационарна. Магнитная геометрия может быть простой. Пример — пробочная геометрия открытых ловушек. Требуется лишь немалая кривизна силовых линий. Вместе с тем, существует такая проблема. Для получения практически значимого перепада давления из центра на периферию ловушки требуется оптимизация магнитной конфигурации с учетом плазменной конфигурации. Недостаточная кривизна поля не позволит иметь необходимый перепад давления. С другой стороны, если большая кривизна имеется на больших участках со слабым полем, нельзя удержать плазму с высоким давлением. Поле на "слабых участках" не может быть слишком мало и просто потому, что оно должно быть способно удерживать частицы.
Настоящая работа имеет своей целью самосогласованное рассмотрение конвективной устойчивости и равновесия плазмы при конечном давлении.
Описание устойчивости на основе МГД-моде-ли с изотропным давлением [1—5], из которого
следует критерий (1), относится к плазме, в которой парные столкновения частиц происходят чаще, чем обращение их вокруг оси или отражения от пробок. Для горячей плазмы, напротив, характерны редкие столкновения частиц, создающих основное давление. Гидродинамика с анизотропным давлением (модель Чу—Гольдбергера—Лоу, ЧГЛ) [6] дает критический профиль давления, отличный от (1), см. [7]. Согласно теоремам сравнения [8—11], для устойчивости МГД-критерий является достаточным (отвечающий ему критический профиль давления наиболее пологий), а критерий ЧГЛ — необходимым (критический профиль давления наиболее крутой). Необходимый и достаточный критерий, получающийся при кинетическом описании, дает критический профиль, занимающий промежуточное положение. В наиболее полном виде кинетический критерий МГД-устойчивости сформулирован в работе Крускала и Обермана [9]. Кадомцев [12] получил кинетический критерий для плазмы низкого давления, а Розенблют и Ростокер [8] — для плазмы изотропного давления. Отметим, что термин "кинетический" здесь означает использование бесстолкновительного кинетического уравнения при выводе критерия; сама конвективная неустойчивость — гидродинамического типа.
Конвективная устойчивость плазмы низкого давления, ß —»- 0, имеет место, если положительна потенциальная энергия возмущения [12]
W = |ф| 2wdу > 0.
Здесь ф(у)ехр(™9) — возмущение электрического потенциала, 9 — азимутальный угол,
w = mi - T^eF) d,ds> 0, (2)
F(s, ц, у) — функция распределения, s = v2/2 —
энергия, ц = v2/2B — магнитный момент, у — потоковая функция (поперечная координата), J| =
= JV|| dl — продольный адиабатический инвариант, т || = Jdl / vj| — время движения между отражениями от пробок, v|| = (2(s — цВ))1/2 — продольная скорость, интегрирование в Ту и тц ведется вдоль силовой линии между точками отражения частицы. Для простоты полагаем, что давление одной компоненты (например, электронов) много выше, чем другой. Функция распределения F относится к этой компоненте (в общем случае условие устойчивости w > 0 (2) имеет вид w-t + we> 0).
В силу теорем сравнения [8—11] справедливо двойное неравенство \VpMffß <
N KO <N CHOL'
Кинетическое условие устойчивости (2) допускает более резкий спад давления в сторону спадающего поля — к сепаратрисе — в сравнении с МГД-критерием (1) [13—15]. В особенности это касает-
ся непараксиальных конфигураций [10, 11], представляющих здесь основной интерес. При этом, как и в МГД-модели, давление может быть равно нулю на магнитной сепаратрисе без потери устойчивости [13—15]. Отметим, что практическую значимость имеет спад давления не до самой сепаратрисы, а лишь до некоторой поверхности внутри нее. Снаружи от этой граничной поверхности силовые линии проходят через участки с полем слабым настолько, что частицы, двигаясь в нем, покидают ловушку без столкновений.
Расчеты распределений давления плазмы, соответствующих конвективной устойчивости согласно бесстолкновительному кинетическому критерию Крускала—Обермана, проводились в работе [13] для касповой геометрии, в [14] для простой пробочной ловушки с дивертором, в [15] для ряда пробочных ловушек, а также их цепочек. Исследовалось влияние анизотропии, пробочного отношения на ход устойчивого профиля давления. При этом магнитное поле считалось вакуумным, то есть полагалось в —- 0.
Расчеты анизотропного равновесия проводились в ряде работ. Для геометрии пробочных ловушек с сепаратрисой анизотропное равновесие рассчитывалось в [16—18], для антипробкотрона в [19]. В этих работах распределение давления выбиралось произвольно, и согласования с конвективной устойчивостью, например, аналогично МГД-рассмотрению [20—23], не проводилось. Согласование равновесия и конвективной устойчивости, проведенное в работах [20—23], представляло собой итерационный поиск решений уравнения Грэда—Шафранова для распределения давления плазмы, удовлетворяющего (1). В [21— 23] рассматривалась геометрия с внутренними витками, а расчеты проведены при конечном р.
Отметим, что в МГД-модели наиболее опасным, в том числе при конечном р, см. [24], является возмущение в виде желобка. В кинетическом описании наиболее опасное возмущение может быть искажено баллонным эффектом.
Для расчетов равновесия, согласованного с конвективной устойчивостью, численный код Е8РШВ [23] дополнен алгоритмом расчета конвективно-устойчивых распределений давления в соответствии с кинетическим критерием Круска-ла—Обермана. Также проведено соответствующее дополнение кода для расчета равновесия с анизотропным давлением. Рассматриваются осесим-метричные магнитные системы, задаются анизотропия и уровень давления.
G(X, у)
1—
а
^8 ^max ^ (^max ^min)
^min(¥) = 1/Bm
max (V = 1/Bm
Рис. 1. Зависимость б(^) для выделенной силовой линии у.
2. ОПИСАНИЕ ЧИСЛЕННОГО АЛГОРИТМА РАСЧЕТА КОНВЕКТИВНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Взяв функцию распределения В в виде произведения В(в, ц, у) = /(в)С(Х,у)рт(у) (здесь X = = ц/в = 1/В характеризует питч-угол между вектором скорости частицы и силовой линией; С(Х, у) — функция анизотропии 0 < С < 1; рт(у) — профиль, определяющий вместе с С(Х, у) профили продольного и поперечного давлений плазмы; для изотропной плазмы рт = р), критерий устойчивости (2) можно представить в форме, см. [13, 15],
A(у)^ + S(у)pm(у) > 0, д у
(3)
где Ду) и ^(у) определяются параметрами магнитной конфигурации и функцией анизотропии
С(Х,у):
A (у) = jG( X, у) K( X, у) dX, S (у) = jK( X, у) X
d X.
(4)
(5)
(6)
щ^У)+ту) /5 ^ х, у)+2 к двм
_ ду т \ дХ
Входящие в (4), (5) функции суть
К( X, у) = ^, /(X, у) = Гл/1 - ХВй/, ду *
т (X, у) = [й// л/1 - ХВ.
Величина /(X, у) — поделенный на л/2г продольный адиабатический инвариант для частицы с заданным питч-углом X; т(Х, у) — умноженное на
л/2г баунс-время. Согласно (3), границе устойчивости отвечает критический градиент, равный д 1п рт = _ Б (у) д у А (у У соответствующий профиль рт(у) есть
(7)
Pm
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.