научная статья по теме КОНВЕКТИВНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ В СОЕДИНЕННЫХ АДИАБАТИЧЕСКИХ ОТКРЫТЫХ ЛОВУШКАХ В МОДЕЛИ КРУСКАЛА–ОБЕРМАНА Физика

Текст научной статьи на тему «КОНВЕКТИВНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ В СОЕДИНЕННЫХ АДИАБАТИЧЕСКИХ ОТКРЫТЫХ ЛОВУШКАХ В МОДЕЛИ КРУСКАЛА–ОБЕРМАНА»

ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2010, том 36, № 8, с. 724-729

МАГНИТНЫЕ ^^^^^^^^^^^^^^ ЛОВУШКИ

УДК 533.951.8

КОНВЕКТИВНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ В СОЕДИНЕННЫХ АДИАБАТИЧЕСКИХ ОТКРЫТЫХ ЛОВУШКАХ В МОДЕЛИ КРУСКАЛА-ОБЕРМАНА

© 2010 г. В. В. Арсенин*, П. Н. Терёхин*, **

* РНЦ "Курчатовский институт", Москва, Россия ** Московский инженерно-физический институт (Национальный исследовательский ядерный университет), Россия Поступила в редакцию 19.01.2010 г.

С использованием кинетической модели Крускала—Обермана получены условия конвективной устойчивости плазмы в системе из соединенных осесимметричных адиабатических открытых ловушек с противоположными знаками кривизны магнитного поля. Для комбинации непараксиальной простой ловушки и полукаспа найдены границы слоя по потоковой координате у, в котором может находиться устойчивая плазма, и интервал, в котором должно лежать отношение давлений в составляющих ячейках. Расчеты проделаны для различных распределений частиц по питч-углу.

1. ВВЕДЕНИЕ

Конвективной (желобковой) МГД-неустойчи-вости, свойственной плазме, удерживаемой в простой осесимметричной открытой ловушке "пробкотроне") [1], можно избежать, если соединить такую ловушку с другой, имеющей противоположный знак кривизны магнитного поля. Устойчивость достижима, если в ячейках, составляющих цепочку, спад поля в направлении выпуклости его силовых линий удовлетворяет некоторым условиям, а отношение давлений плазмы лежит в определенном интервале [2, 3]. Стабилизация возможна, в частности, в комбинации простейших ловушек: непараксиального пробкотро-на и адиабатической области "полукаспа". В работе [4] условия устойчивости в такой системе получены в рамках модифицированной МГД-мо-дели в предположении, что распределения частиц в составляющих частях близки к изотропным. В

отличие от "подлинной" МГД-модели1, критерий устойчивости согласно которой получен в [5, 6], в модифицированной МГД-модели рассматривается ситуация, когда невозмущенное давление плазмы может не быть постоянным вдоль магнитного поля по всей длине системы, при этом почти постоянно и изотропно в каждой ячейке. Реально в цепочке открытых ловушек распределения анизотропны уже потому, что есть конус потерь. Для описания устойчивости бес-столкновительной плазмы в такой системе применима кинетическая модель Крускала—Оберма-на [7, 8]. Она дает необходимое и достаточное условие устойчивости при любом распределении.

1 В ней предполагается изотропия не только невозмущенно-

го давления, но и его возмущения в колебаниях.

Предмет настоящей работы — анализ желобковой устойчивости плазмы в комбинации ловушек со знакопеременной кривизной, основывающийся на подходе Крускала—Обермана. Расчеты проделаны для той же геометрии поля, что в работе [4].

2. УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЙ

ПЛАЗМЫ ПО КРУСКАЛУ—ОБЕРМАНУ

2.1. Устойчивость плазмы в цепочке ловушек

Рассматривается цепочка из образованных по-лоидальным полем В{Вг,0, В} осесимметричных ловушек, разделенных магнитными пробками. В ловушках удерживается бесстолкновительная плазма. Для простоты примем, что давление одной из компонент (электронов или одного сорта ионов) много больше, чем у остальных компонент. Пусть невозмущенная функция распределения частиц этой компоненты, запертых в ячейке 5, будет Г5(е,ц,у) (е = V2/2 и ц = у11/2В — поделенные на массу частицы энергия и магнитный момент, у — потоковая координата, й у = Вгйп, г — расстояние до оси, йп — элемент длины вдоль нормали к силовой линии, ду/гдг = Вг, д^/гдz = -Вг). Если разделительные пробки слабее концевых, то имеются также популяции пролетных (общих для двух или более ячеек) частиц. Они, а также холодная плазма (если она присутствует), удерживаемая между ловушками амбипо-лярными электростатическими барьерами, обеспечивают высокую электрическую проводимость вдоль В в соединительных областях, так что при желобковом смещении возмущение потенциала постоянно вдоль силовой линии по всей длине

системы. Полагая, что пролетных частиц мало, их вкладом в потенциальную энергию возмущения Ж пренебрежем.

Ограничимся рассмотрением случая низкого

давления плазмы р = 8пр/В < 1. Тогда в модели Крускала—Обермана имеем [9]

ЖК0 = £ж/0, (1)

ЖК0 = | к (у )|Ф(у )|2^ , (2)

) = сГ^-1 ^в. (3)

су ^оу т5 су дв у

Здесь ф( у) — амплитуда возмущения электрического потенциала ф = ф(у)ехр(¡т§) (Э — азимутальный угол), С > 0 — постоянная;

//в,ц,у) = |(2(е - у.В))1/2Ш — продольный адиабатический инвариант частицы, запертой в ячейке 5 (интегрирование вдоль силовой линии между точками поворота); т5(е,ц,у) = = |(2(в - цВ))1/2й1 — баунс-время. В случае распределений, близких к изотропным, когда

~ Г/б,у) (для оправданности такого приближения нужно, чтобы пробочное отношение было велико), для каждой ячейки справедливо соотношение ^ > ^ИНБ = Си~ъ/ъи;(и55/3р5)', где и5 = | В ~хй1, р5 — давление в ячейке, и получают-

5

ся достаточные условия устойчивости, выписанные в [4]. Мы используем индексы КО и ИНБ для величин, фигурирующих в модели Крускала— Обермана и в МГД-модели, соответственно.

Предполагая, что в ячейке распределение по энергиям на всех силовых линиях одинаковое (это ограничение общности в действительности несущественно, оно тоже делается ради сокращения записи), функцию удобно представить в виде

Г, = С 1/(е)О,(^/е, у )и,(у), (4)

где С 5 — нормировочная константа; О 5 характеризует распределение по питч-углу; и/у) описывает "заселение" магнитных поверхностей плазмой.

Вместо I введем другую продольную координату — скалярный потенциал х (Ух = В); координаты (у, х) ортогональны.

Условие устойчивости относительно произвольно локализованных по у возмущений

X^ ^ 0 (5)

можно представить в виде (см., например, [10, 11]) du

X+ Sus • D > 0,

где

1/B m

1/Bs m

) = J G(X,vX,V)dX,

1/Bs m

S ( V) = J

1/BS,

dGhs + (5 G +xdG) dv V2 s dX! Ts

dX,

Ds = J/s(8)S3/2ds .

0

(6)

(7)

(8) (9)

Здесь введена переменная X = ц/s,

h-(X ) -iJ-2 £ (F1^ B)

= _ r 2 B dBdx •W1 B dy B2'

T(X, V) = J-

dX

(10)

(11)

i&JT-bB'

Bs min(v) и Bs max(y) — минимальное и максимальное значения поля на силовой линии у = const в ячейке s, интегрирование в (10), (11) — между точками поворота.

Неравенство (6) можно переписать в форме

X DsAs exp - J^dy'

As

V У*

j ^ •

dy

us ■ exp

V У*

Л

(12)

> 0,

выбор у, произволен.

В отсутствие электрической связи между ловушками условием устойчивости для отдельной ловушки было бы

_d_

s dy

us exp

f v

5 J >'

V v.

> 0.

(13)

Нейтрально (безразлично) устойчивый профиль (отвечающий знаку равенства в (13)), для каждой ловушки свой, есть

(

u*(y) = const • exp

J >'

(14)

V V.

2.2. Пара ловушек с полой плазмой

Выписанные соотношения относятся к цепочке из любого числа ловушек. Далее будем иметь дело с комбинацией из двух ячеек: простой ло-

s

r 18

16

14

12

10

8

6

4

2

z

Рис. 1. Комбинация непараксиальной простой ловушки и полукаспа. Пунктиром показана область соединительной плазмы.

П 10

8

6

4

2

'1,2

Vin

Ve

V

вушки (индекс 1) и полукаспа 2, рис. 1. В простой ловушке (в ней величина A1 > 0) для нейтрально устойчивого профиля (14) производная

du*/dу < 0, а в полукаспе (где A2 < 0) du*/dу > 0.

Нас интересует ситуация полой (такой, что исключается область неадиабатичности в каспе) плазмы, занимающей слой уin < у < уех. Покажем, что при выполнении определенных требований к геометрии ловушек 1, 2 и при согласовании профилей u1( у) и u2( у) можно добиться устойчивости одновременно на внутренней и внешней границах.

Примем, что профили функций

us exp

v

Г. f

одинаковы:

uxexp

j ay •

V V* Л

u2 exp

V v*

I ^y '

= Ц(у*)П (y ),

^(у*)П (y ).

(15)

Тогда (12) сводится к

где

K( у ) 0, d у

K = 2 Ks,

Ks( V ) = Dsus( v *) As( v )exp

- J A v '

v y *

(16)

(17)

(18)

Рис. 2. а) — Профиль П (у). Штриховая линия — случай резких границ; б) — профили и12(у) при трапециевидной форме П (у).

Пусть П (у) обращается в нуль на границах плазмы у/п и уех и имеет единственный максимум при у/п <у0 < Уех, рис. 2а. Устойчивость обеспечена, если К( у) проходит при у = у 0 через нуль

К(у о) = 0, (19)

и

К > 0 при у 1п < у < у о, К < 0 при у0 < у < уех.

(20)

2.3. Случай резких границ

Для наглядности удобно рассматривать случай, когда максимум П (у) уплощен и профиль П имеет форму трапеции с резким спадом в тонких слоях 5у Ыех < (у ех - у ы) около границ (штриховая линия на рис. 2а). Положим для определенности у * = у ы, тогда профили и*2 в области у ы + 5у ы < у < у ех - 5 уех, отвечающие такой форме П, будут

<2( ¥) = «1,2/я еХР

J ^ dW '

V Win

А:

(21)

где и1ш = и*2( у ы + 8у П) — положительные постоянные. При этом в слое у ы + 5у ы < у < у ех - 5у ех имеем безразличную устойчивость (^12 = 0), а

КО

вклад приграничных слоев, где йП/йу ф 0, в ж

0

s

положителен, если (малыми изменениями величин К12 на интервалах 5уп, 5у ех пренебрегаем)

ЦциМУ^ + В2и2^(У ») > 0,

ех

)ехр

Г ^ йу'

1 А1 ^

V г

ех

)ехр

Уех

(22)

(23)

I А1 ^'

V V*

< 0.

Неравенства (22), (23), представляющие собой не что иное, как запись критерия Розенблюта— Лонгмайра ([1], условие (49)) для внутренней и внешней границ, могут быть выполнены, если

( Чех ^

А1

4(у ех)ехр

V Чт

(

-А2(у ех)ехр

йу

-А^у ы)'

(24)

(

4(у ех)ехр

№ йу

(Ц У

V 4«,

-А2(у ех)ехр

(^ й у

Р^ш < 4(у ¡„) . Биш -А2(у,в)

(25)

будет обращенная к нулю поля выпуклая граница в каспе.

Трапециевидной форме П (у) отвечают профиль и1( у) (и соответствующий профиль давления на поверхности минимумов поля р1 = (р1± + р1|)/2 ж и1), спадающий в интервале

(у¡п + 8у;и,Уех - 8уех), и профиль и2(у) (и Р2), нарастающий в этом интервале, рис. 2б. Именно благодаря этому градиент давления на участках неблагоприятной кривизны на границах оказывается достаточно мал, чтобы выполнялся критерий Розенблюта—Лонгмайра.

2.4. Переход к выражениям МГД-вида

Если

ограничено снизу величиной

V Чп )

и при этом отношение Б2и2;п/(Б1и1;п) находится в пределах

Устойчивы одновременно обе границы.

Поскольку множители Б1 и Б2 пропорциональны средней энергии частиц в ячейках 1 и 2, ограничения (25) означают, что в некотором интервале, определ

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»