ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2010, том 36, № 8, с. 724-729
МАГНИТНЫЕ ^^^^^^^^^^^^^^ ЛОВУШКИ
УДК 533.951.8
КОНВЕКТИВНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ В СОЕДИНЕННЫХ АДИАБАТИЧЕСКИХ ОТКРЫТЫХ ЛОВУШКАХ В МОДЕЛИ КРУСКАЛА-ОБЕРМАНА
© 2010 г. В. В. Арсенин*, П. Н. Терёхин*, **
* РНЦ "Курчатовский институт", Москва, Россия ** Московский инженерно-физический институт (Национальный исследовательский ядерный университет), Россия Поступила в редакцию 19.01.2010 г.
С использованием кинетической модели Крускала—Обермана получены условия конвективной устойчивости плазмы в системе из соединенных осесимметричных адиабатических открытых ловушек с противоположными знаками кривизны магнитного поля. Для комбинации непараксиальной простой ловушки и полукаспа найдены границы слоя по потоковой координате у, в котором может находиться устойчивая плазма, и интервал, в котором должно лежать отношение давлений в составляющих ячейках. Расчеты проделаны для различных распределений частиц по питч-углу.
1. ВВЕДЕНИЕ
Конвективной (желобковой) МГД-неустойчи-вости, свойственной плазме, удерживаемой в простой осесимметричной открытой ловушке "пробкотроне") [1], можно избежать, если соединить такую ловушку с другой, имеющей противоположный знак кривизны магнитного поля. Устойчивость достижима, если в ячейках, составляющих цепочку, спад поля в направлении выпуклости его силовых линий удовлетворяет некоторым условиям, а отношение давлений плазмы лежит в определенном интервале [2, 3]. Стабилизация возможна, в частности, в комбинации простейших ловушек: непараксиального пробкотро-на и адиабатической области "полукаспа". В работе [4] условия устойчивости в такой системе получены в рамках модифицированной МГД-мо-дели в предположении, что распределения частиц в составляющих частях близки к изотропным. В
отличие от "подлинной" МГД-модели1, критерий устойчивости согласно которой получен в [5, 6], в модифицированной МГД-модели рассматривается ситуация, когда невозмущенное давление плазмы может не быть постоянным вдоль магнитного поля по всей длине системы, при этом почти постоянно и изотропно в каждой ячейке. Реально в цепочке открытых ловушек распределения анизотропны уже потому, что есть конус потерь. Для описания устойчивости бес-столкновительной плазмы в такой системе применима кинетическая модель Крускала—Оберма-на [7, 8]. Она дает необходимое и достаточное условие устойчивости при любом распределении.
1 В ней предполагается изотропия не только невозмущенно-
го давления, но и его возмущения в колебаниях.
Предмет настоящей работы — анализ желобковой устойчивости плазмы в комбинации ловушек со знакопеременной кривизной, основывающийся на подходе Крускала—Обермана. Расчеты проделаны для той же геометрии поля, что в работе [4].
2. УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЙ
ПЛАЗМЫ ПО КРУСКАЛУ—ОБЕРМАНУ
2.1. Устойчивость плазмы в цепочке ловушек
Рассматривается цепочка из образованных по-лоидальным полем В{Вг,0, В} осесимметричных ловушек, разделенных магнитными пробками. В ловушках удерживается бесстолкновительная плазма. Для простоты примем, что давление одной из компонент (электронов или одного сорта ионов) много больше, чем у остальных компонент. Пусть невозмущенная функция распределения частиц этой компоненты, запертых в ячейке 5, будет Г5(е,ц,у) (е = V2/2 и ц = у11/2В — поделенные на массу частицы энергия и магнитный момент, у — потоковая координата, й у = Вгйп, г — расстояние до оси, йп — элемент длины вдоль нормали к силовой линии, ду/гдг = Вг, д^/гдz = -Вг). Если разделительные пробки слабее концевых, то имеются также популяции пролетных (общих для двух или более ячеек) частиц. Они, а также холодная плазма (если она присутствует), удерживаемая между ловушками амбипо-лярными электростатическими барьерами, обеспечивают высокую электрическую проводимость вдоль В в соединительных областях, так что при желобковом смещении возмущение потенциала постоянно вдоль силовой линии по всей длине
системы. Полагая, что пролетных частиц мало, их вкладом в потенциальную энергию возмущения Ж пренебрежем.
Ограничимся рассмотрением случая низкого
давления плазмы р = 8пр/В < 1. Тогда в модели Крускала—Обермана имеем [9]
ЖК0 = £ж/0, (1)
ЖК0 = | к (у )|Ф(у )|2^ , (2)
) = сГ^-1 ^в. (3)
су ^оу т5 су дв у
Здесь ф( у) — амплитуда возмущения электрического потенциала ф = ф(у)ехр(¡т§) (Э — азимутальный угол), С > 0 — постоянная;
//в,ц,у) = |(2(е - у.В))1/2Ш — продольный адиабатический инвариант частицы, запертой в ячейке 5 (интегрирование вдоль силовой линии между точками поворота); т5(е,ц,у) = = |(2(в - цВ))1/2й1 — баунс-время. В случае распределений, близких к изотропным, когда
~ Г/б,у) (для оправданности такого приближения нужно, чтобы пробочное отношение было велико), для каждой ячейки справедливо соотношение ^ > ^ИНБ = Си~ъ/ъи;(и55/3р5)', где и5 = | В ~хй1, р5 — давление в ячейке, и получают-
5
ся достаточные условия устойчивости, выписанные в [4]. Мы используем индексы КО и ИНБ для величин, фигурирующих в модели Крускала— Обермана и в МГД-модели, соответственно.
Предполагая, что в ячейке распределение по энергиям на всех силовых линиях одинаковое (это ограничение общности в действительности несущественно, оно тоже делается ради сокращения записи), функцию удобно представить в виде
Г, = С 1/(е)О,(^/е, у )и,(у), (4)
где С 5 — нормировочная константа; О 5 характеризует распределение по питч-углу; и/у) описывает "заселение" магнитных поверхностей плазмой.
Вместо I введем другую продольную координату — скалярный потенциал х (Ух = В); координаты (у, х) ортогональны.
Условие устойчивости относительно произвольно локализованных по у возмущений
X^ ^ 0 (5)
можно представить в виде (см., например, [10, 11]) du
X+ Sus • D > 0,
где
1/B m
1/Bs m
) = J G(X,vX,V)dX,
1/Bs m
S ( V) = J
1/BS,
dGhs + (5 G +xdG) dv V2 s dX! Ts
dX,
Ds = J/s(8)S3/2ds .
0
(6)
(7)
(8) (9)
Здесь введена переменная X = ц/s,
h-(X ) -iJ-2 £ (F1^ B)
= _ r 2 B dBdx •W1 B dy B2'
T(X, V) = J-
dX
(10)
(11)
i&JT-bB'
Bs min(v) и Bs max(y) — минимальное и максимальное значения поля на силовой линии у = const в ячейке s, интегрирование в (10), (11) — между точками поворота.
Неравенство (6) можно переписать в форме
X DsAs exp - J^dy'
As
V У*
j ^ •
dy
us ■ exp
V У*
Л
(12)
> 0,
выбор у, произволен.
В отсутствие электрической связи между ловушками условием устойчивости для отдельной ловушки было бы
_d_
s dy
us exp
f v
5 J >'
V v.
> 0.
(13)
Нейтрально (безразлично) устойчивый профиль (отвечающий знаку равенства в (13)), для каждой ловушки свой, есть
(
u*(y) = const • exp
J >'
(14)
V V.
2.2. Пара ловушек с полой плазмой
Выписанные соотношения относятся к цепочке из любого числа ловушек. Далее будем иметь дело с комбинацией из двух ячеек: простой ло-
s
r 18
16
14
12
10
8
6
4
2
z
Рис. 1. Комбинация непараксиальной простой ловушки и полукаспа. Пунктиром показана область соединительной плазмы.
П 10
8
6
4
2
'1,2
Vin
Ve
V
вушки (индекс 1) и полукаспа 2, рис. 1. В простой ловушке (в ней величина A1 > 0) для нейтрально устойчивого профиля (14) производная
du*/dу < 0, а в полукаспе (где A2 < 0) du*/dу > 0.
Нас интересует ситуация полой (такой, что исключается область неадиабатичности в каспе) плазмы, занимающей слой уin < у < уех. Покажем, что при выполнении определенных требований к геометрии ловушек 1, 2 и при согласовании профилей u1( у) и u2( у) можно добиться устойчивости одновременно на внутренней и внешней границах.
Примем, что профили функций
us exp
v
Г. f
одинаковы:
uxexp
j ay •
V V* Л
u2 exp
V v*
I ^y '
= Ц(у*)П (y ),
^(у*)П (y ).
(15)
Тогда (12) сводится к
где
K( у ) 0, d у
K = 2 Ks,
Ks( V ) = Dsus( v *) As( v )exp
- J A v '
v y *
(16)
(17)
(18)
Рис. 2. а) — Профиль П (у). Штриховая линия — случай резких границ; б) — профили и12(у) при трапециевидной форме П (у).
Пусть П (у) обращается в нуль на границах плазмы у/п и уех и имеет единственный максимум при у/п <у0 < Уех, рис. 2а. Устойчивость обеспечена, если К( у) проходит при у = у 0 через нуль
К(у о) = 0, (19)
и
К > 0 при у 1п < у < у о, К < 0 при у0 < у < уех.
(20)
2.3. Случай резких границ
Для наглядности удобно рассматривать случай, когда максимум П (у) уплощен и профиль П имеет форму трапеции с резким спадом в тонких слоях 5у Ыех < (у ех - у ы) около границ (штриховая линия на рис. 2а). Положим для определенности у * = у ы, тогда профили и*2 в области у ы + 5у ы < у < у ех - 5 уех, отвечающие такой форме П, будут
<2( ¥) = «1,2/я еХР
J ^ dW '
V Win
А:
(21)
где и1ш = и*2( у ы + 8у П) — положительные постоянные. При этом в слое у ы + 5у ы < у < у ех - 5у ех имеем безразличную устойчивость (^12 = 0), а
КО
вклад приграничных слоев, где йП/йу ф 0, в ж
0
s
положителен, если (малыми изменениями величин К12 на интервалах 5уп, 5у ех пренебрегаем)
ЦциМУ^ + В2и2^(У ») > 0,
ех
)ехр
Г ^ йу'
1 А1 ^
V г
ех
)ехр
Уех
(22)
(23)
I А1 ^'
V V*
< 0.
Неравенства (22), (23), представляющие собой не что иное, как запись критерия Розенблюта— Лонгмайра ([1], условие (49)) для внутренней и внешней границ, могут быть выполнены, если
( Чех ^
А1
4(у ех)ехр
/А
V Чт
(
-А2(у ех)ехр
йу
-А^у ы)'
(24)
(
4(у ех)ехр
№ йу
(Ц У
V 4«,
-А2(у ех)ехр
(^ й у
Р^ш < 4(у ¡„) . Биш -А2(у,в)
(25)
будет обращенная к нулю поля выпуклая граница в каспе.
Трапециевидной форме П (у) отвечают профиль и1( у) (и соответствующий профиль давления на поверхности минимумов поля р1 = (р1± + р1|)/2 ж и1), спадающий в интервале
(у¡п + 8у;и,Уех - 8уех), и профиль и2(у) (и Р2), нарастающий в этом интервале, рис. 2б. Именно благодаря этому градиент давления на участках неблагоприятной кривизны на границах оказывается достаточно мал, чтобы выполнялся критерий Розенблюта—Лонгмайра.
2.4. Переход к выражениям МГД-вида
Если
ограничено снизу величиной
V Чп )
и при этом отношение Б2и2;п/(Б1и1;п) находится в пределах
Устойчивы одновременно обе границы.
Поскольку множители Б1 и Б2 пропорциональны средней энергии частиц в ячейках 1 и 2, ограничения (25) означают, что в некотором интервале, определ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.