УДК 550.383
КОНВЕКЦИЯ В МОДЕЛЯХ АНЕЛАСТИК ДЛЯ ЖИДКОГО ЯДРА ЗЕМЛИ
© 2013 г. М. Ю. Решетняк
Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва Поступила в редакцию 31.01.2013 г.
Для модели жидкого ядра Земли в приближении анеластик рассмотрено влияние адиабатического охлаждения на конвекцию. Показано, что даже небольшая величина адиабатического охлаждения приводит к существенному изменению режима конвекции, смещая максимум интенсивности конвекции во внутреннюю часть жидкого ядра. Как и в модели Буссинеска, наблюдается одновременно прямой и обратный каскады кинетической энергии, а также прямой каскад энтропии.
Ключевые слова: геодинамо, каскадные явления, адиабатическое охлаждение, энтропия. БО1: 10.7868/80002333713050050
ВВЕДЕНИЕ
Конвекция в ядрах планет является источником энергии наблюдаемых планетарных магнитных полей. Согласно современным представлениям, в быстро вращающихся ядрах планет выдерживается геострофический баланс, когда градиент давления уравновешивается силой Ко-риолиса [Pedlosky, 1987]. Как следует из линейного анализа, на пороге возбуждения конвекции при быстром вращении отношение горизонтального масштаба течений к масштабу вдоль оси вращения составляет lc ~ E1/3 [Busse, 1970], где число Экмана для Земли Е ~ 10-15 чрезвычайно мало. Столь малая величина отношения сил вязкости к силам вращения, задаваемая Е, приводит к высокой степени анизотропии течений [Hejda, Reshet-nyak, 2009]. Несмотря на тот факт, что амплитуда тепловых источников в ядре превышает на несколько порядков критическое значение, степень анизотропии остается весьма высокой.
В спектральном пространстве вращение приводит к появлению локальных максимумов в спектрах кинетической энергии и флуктуации температуры, соответствующие масштабу lc. На пороге возбуждения этот максимум в спектре является глобальным. При дальнейшем увеличении интенсивности тепловых источников, появляется дополнительная крупномасштабная составляющая, и максимум на lc становится локальным. Более того, в диапазоне масштабов lc до L (L — масштаб жидкого ядра) происходит заполнение спектра, но направление передачи кинетической энергии по спектру оказывается обратным: от масштаба lc до масштаба L. Напомним, что для обычной трехмерной конвекции без вращения наблюдается традиционный прямой каскад энергии от больших масштабов к малым. Обратный каскад
энергии в геосрофической турбулентности наблюдался как в плоской геометрии [Reshetnyak, Hejda, 2008], так и в сферической [Reshetnyak, Hejda, 2012]. Другими словами, помимо известного а-эффекта [Krause, Rädler, 1980], приводящего к появлению крупномасштабного планетарного (дипольного) магнитного поля за счет энергии турбулентности, возможен и другой синэнерге-ти-ческий эффект, чисто гидродинамический, когда крупномасштабные течения берут энергию от турбулентности. Данный эффект хорошо известен в двумерной турбулентности [Lesieur, 1990] и связан с сохранением энстрофии.
Вообще говоря, существование обратных каскадов сопряжено с принципиальной трудностью, связанной с необходимостью отбора поступающей на большой масштаб энергии, где диссипация мала. Если в простейших каскадных моделях турбулентности [Фрик, 2010] можно было ограничиться искусственным отбором энергии на большом масштабе за счет Рэллеевского трения, то в самосогласованных 3D моделях, возможно существование каскадов энергий вдоль оси вращения z и в плоскости, перпендикулярной z, в разных направлениях. Более того, следует учитывать передачу не только кинетической энергии, но и тепловой энергии по спектру. Сравнение потоков тепловой и кинетической энергий важны еще и по той причине, что вращение приводит к ослаблению каскада кинетической энергии, и его роль может быть мала по отношению к потоку всей энергии: тепловой и кинетической.
Поскольку все перечисленные выше работы по обнаружению обратных каскадов кинетической энергии были основаны на приближении Буссинеска, не позволяющего адекватно ввести тепловую энергию, далее мы остановимся на мо-
дели анеластик (anelastic), учитывающую сжимаемость среды. Впервые эта модель для жидкого ядра Земли была детально рассмотрена в работе [Braginsky, Roberts, 1995] и далее использована в трехмерных вычислениях в работе [Glatzmaier, Roberts, 1996]. Данная модель отличается от модели Буссинеска не только сжимаемостью, но и появлением отрицательных источников энергии в правой части уравнения теплопереноса: так называемого адиабатического охлаждения, влияние которого на свойства конвекции, мы также рассмотрим ниже, используя трехмерную численную модель конвекции в приближении анеластик.
ФИЗИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Основная идея модели анеластик, состоит в том, чтобы пренебречь звуковыми волнами в уравнениях конвекции для сжимаемой, вязкой среды, см. подробнее [Braginsky, Roberts, 1995; Jones, 2007]. Далее принимается, что средняя плот-_ 1 ность р в сферической оболочке (rICB < r < гСМВ)
зависит только от радиуса r, что приводит к следующей форме уравнения неразрывности: V • (р V) = = 0, где V — поле скорости, (r, 0, ф) — сферическая система координат.
Тепловая конвекция во вращающейся с угловой скоростью Q вокруг оси z сферической оболочке описывается безразмерным уравнением Навье-Стокса и уравнением для энтропии S:
Pr-1Eр — = - Pr-1EV-(pV ® V) - VP- plz • V -
dt
- Rp — S1r + EpV2V + EpV(V • V), dr 3
p^ + p( V •V) S =
(1)
= pV2S + IdTP dS + Qd(r2 p d
T dr dr Tr2dA dr
В уравнениях (1) в качестве единицы длины использован радиус жидкого ядра L, так что гСМВ = 1 и радиус твердого ядра rICB равен 0.35. Скорость V, полное давление Р и характерное диффузионное время t измерены в единицах kS/L, p(kS/L)2 и L2/kS соответственно, где kS — турбулентный диффузионный коэффициент для S, Pr = v , E = —-— —
kS 2Q L2 безразмерные числа Прандтля и Экмана, v — кинематическая вязкость. Для адиабатического состояния, принимаемого для жидкого ядра Земли, по аналогии с [Glatzmaier, Roberts, 1996], прини-
11СВ — граница жидкого и твердого ядер, СМВ — граница
ядро-мантия.
маем нормированные профили для средней плотности р = 1.148 — 0.237Г2 и адиабатической температуры T = ру, где у = 1.35 — параметр Грю-найзена.
Интенсивность тепловых источников задается
величиной R = , где 5Т = TICB — ТСМВ, a ЪБ— Q kS
характерная амплитуда вариаций энтропии. При диффузионном обезразмеривании R не включает масштаб L, хотя для модифицированного числа
Рэллея [Jones, 2000] Ra = аgoЪ T'L, такая зависи-
2 ^^ k
мость от ~L существует. Это связано с тем, что для коэффициента объемного теплового расширения
cp 1 dT г
а = —- - —, где Cp — удельная теплоемкость при g Tdr
постоянном давлении, и g — ускорение силы тяжести, имеем а ~ C, что для больших скачков
gL'
температуры T приводит к требуемой зависимости от L в Ra. До дальнейшего обсуждения связи между ЪТ и ЪБ, примем эти единицы измерения T и S независимыми.
Последний параметр Q — это мера адиабатиче-
с kT
ского охлаждения Q = —p—, где кТ — коэффици-
ЪSkS
ент термодиффузии. В отличие от [Glatzmaier,
Roberts, 1996] сила плавучести — R р — S 1r в урав-
dr
нении Навье-Стокса пропорциональна только флуктуации энтропии S, но не зависит от флуктуации давления [Braginsky, Roberts, 1995; Anufriev et al., 2005].
Поскольку мы не рассматриваем далее детали, связанные с ростом твердого ядра, уравнение для примеси также не рассматривается, и можно использовать упрощенные граничные условия для S: SICB = 1, SCMB = 0 [Jones et al., 2011] и условия непроскальзывания и непроникновения для V.
Для решения уравнений (1) использовался MPI-код [Решетняк, 2012], адаптированный для сжимаемой среды, основанный на стандартном разложении по сферическим функциям и полиномам Чебышева, а также разложению соленои-дального поля р V на полоидальную и тороидальную компоненты, после чего использовались операторы ротора и двойного ротора, на уравнение Навье-Стокса для исключения давления.
РАДИАЛЬНЫЕ ПРОФИЛИ И ВРЕМЕННАЯ ЭВОЛЮЦИЯ
Несмотря на тот факт, что первая численная трехмерная модель анеластик в геодинамо [Glatz-maier, Roberts, 1996] появилась уже через год после модели Буссинеска [Glatzmaier, Roberts, 1995], на протяжении многих лет это был единственный пример использования полных термодинамических уравнений [Braginsky, Roberts, 1995]. Одна из причин была технического плана, связанная с введением дополнительного уравнения для давления, которое в ранних моделях не исключалось. Также, в первых моделях решались все уравнения одновременно, что при решении линейной системы уравнений, сводилось к появлению матрицы большого размера, и соответственно, большим численным затратам. В дальнейшем перешли к последовательному решению уравнений, и с этого момента дополнительное уравнение Пуассона для Р уже не приводило к существенному увеличению объема вычислений.
Другая причина предпочтения более простой модели Буссинеска состояла в малости эффекта сжимаемости жидкого железа в ядре Земли. Поскольку точность ряда величин, включая скорость вращения планеты, эффекты вязкости до сих пор отличаются на порядки от требуемых геофизических величин, пренебрежение двадцати процентным скачком плотности по толщине жидкого ядра не считалось серьезным нарушением (см. рис. 1a).
Следующее отличие, возникающее в модели анеластик связано с предположением об адиаба-тичности жидкого ядра. Так, для модели Буссинеска использовалось два вида граничных условий: заданные температуры или тепловые потоки на твердых границах при наличии тепловых источников в основном объеме ядра. Такие граничные условия соответствуют гиперболическому или параболическому профилю температуры при отсутствии конвекции. Для модели же анеластик форма кондуктивного профиля температуры задавалась адиабатой T.
Уравнение энтропии в (1) отличается от уравнения для температуры в приближении Бусси-
fdS ,
неска двумя членами в правой части:f 1 —, гдеf 1 =
dr
= 1dT и f2 = T dr
1 d f 2-dT] „ r r
---r p — . Чтобы быть уве-
Tr2 dr V drJ
ренными, что мы интерпретируем решение нелинейной задачи (1) с конвекцией правильно, рассмотрим влияние этих двух членов на решение простой сферически
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.