МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <6 • 2008
УДК 532.517.013.4:532.529.2:536.25:551.465.4+551.558
© 2008 г. Л. Х. ИНГЕЛЬ
КОНВЕКЦИЯ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СРЕДЕ НАД ТЕРМИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Теоретически исследуется линейная стационарная задача о конвекции во вращающейся вокруг вертикальной оси среде над термически неоднородной горизонтальной поверхностью. Наибольшее внимание уделено случаю однородной среды, но обращается внимание также и на некоторые эффекты стратификации и особенности конвекции в бинарных смесях (например, соленой морской воде). При быстром вращении (больших значениях числа Тейлора) конвективные ячейки сильно вытянуты по вертикали, хотя содержат и тонкий горизонтальный экманов-ский пограничный слой. Показана существенная роль краевых условий на горизонтальной поверхности (помимо условия прилипания, рассматриваются также более общие условия, к которым может приводить модель квадратичного турбулентного трения). В случае бинарных смесей эффекты дифференциальной диффузии в сочетании с эффектами вращения могут приводить к возникновению "вынужденных солевых пальцев" - глубокому проникновению конвекции в сколь угодно устойчиво стратифицированную среду. При этом конвективные движения могут заметно воздействовать на фоновые вертикальные распределения температуры и примеси. Обращается внимание на своеобразное проявление аналогии эффектов вращения и стратификации: конвекция в не вращающейся устойчиво стратифицированной среде у термически неоднородной вертикальной поверхности аналогичным образом глубоко проникает в среду, но - в горизонтальном направлении; так что решение при повороте системы координат на 90° совпадает с рассматриваемым здесь случаем вращающейся нестратифицированной жидкости.
Ключевые слова: конвекция, вращающаяся жидкость, линейное приближение, аналитические решения, бинарные смеси.
В нередко цитируемой работе [1] рассмотрена весьма полезная модель конвекции в устойчиво стратифицированной среде над термически неоднородной горизонтальной поверхностью. Исследование периодической по горизонтали линейной задачи позволило получить физически прозрачное решение в замкнутом аналитическом виде. Аналогичные задачи проанализированы и для сред, неоднородно нагреваемых сверху (см., например, [2]). Несмотря на простоту (в частности, линейность) этой модели, она оказалась весьма содержательной и плодотворной, и различные ее обобщения до сих пор позволяют получать нетривиальные результаты. Упомянем в этой связи недавние работы [3-6], в которых обнаружены новые эффекты в гидродинамике бинарных смесей, особенно при различии типов краевых условий для разных субстанций. В настоящей работе в рамках аналогичной модели исследуется влияние вращения на конвекцию и некоторые смежные вопросы. Следует отметить, что конвекции у термически-неоднородных горизонтальных поверхностей, в том числе и с учетом вращения, вообще говоря, посвящена обширная литература (например, [7, 8], а также библиография в этих и упомянутых выше изданиях). Настоящая работа содержит ряд новых результатов.
Одно из возможных приложений рассмотренных ниже задач относится к теории зарождения атмосферных вихрей. В частности, закручивание конвективных движений определенных масштабов в поле кориолисовых ускорений может способствовать возникновению "начальных вихрей", которые, как отмечается в литературе [9], в свою
очередь, в благоприятных условиях могут усиливаться и перерастать в тропические циклоны. Таким образом, представляет интерес расчет завихренности течений, возникающих у термически неоднородной горизонтальной поверхности во вращающейся среде. Другой пример приложений - циркуляции в приповерхностном слое водоемов, связанные с горизонтальными неоднородностями баланса тепла или соли на поверхности. Это может быть вызвано, например, наличием на поверхности пленок поверхностно-активных веществ.
Для определенности ниже будет рассматриваться полуограниченный слой среды г > 0, вращающийся вокруг направленной вертикально вверх оси г. Среда в общем случае может быть стратифицированной и двухкомпонентной (стратифицированной не только по температуре, но и по концентрации примеси, которая вносит вклад и плавучесть -например, соленая вода или важный воздух). В рассматриваемой линейной теории результаты, полученные для случая тяжелой примеси (соли), легко пересчитываются на случай примеси с положительной плавучестью (водяного пара), а задачи с неоднородным нагревом среды сверху или охлаждением снизу, с точностью до обозначений, формально эквивалентны.
1. Постановка задачи и уравнения для амплитуд. Рассматривается полуограниченный слой среды г > 0, вращающийся вокруг направленной вертикально вверх оси г. Согласно обычно используемому приближению, предполагаем, что плотность среды линейно зависит от возмущений температуры Т. При наличии возмущений концентрации примеси я (для определенности будем говорить о солености) зависимость плотности от них также предполагается линейной:
р = Ро( 1- аТ + вя)
где р0 - средняя (отсчетная) плотность среды; а - термический коэффициент расширения среды, в - коэффициент ее соленостного сжатия. Линеаризованная система уравнений динамики, переноса тепла и примеси в приближении Буссинеска во вращающейся системе координат имеет вид [2, 10]:
^ = - — Ур + vV2w - / (ег х и) + g(а Т - в я )ег, V« = 0 1 -о
1Т
17 + 1Т« • ег
кУ2Т,
1я
1г
(1.1)
+ У я« • ег
XV2 я
Здесь и - вектор возмущения поля скорости; ? - время, р - возмущение давления, ег - единичный вектор в направлении вертикальной оси г, V - кинематический коэффициент вязкости, к - коэффициент температуропроводности, X - коэффициент диффузии примеси, / = 20 - параметр Кориолиса, О - угловая скорость вращения вокруг вертикальной оси, g - ускорение свободного падения. Постоянные значения фоновых вертикальных градиентов каждой из субстанций уТ и уя предполагаются такими, что фоновое состояние устойчиво [11].
Для стационарной двумерной задачи система уравнений имеет вид
п 1Р
0 = - тг- + V
1х
22
1 и + 1 и
д х2 д г2
+ /и, о
22
1 V + 1 V
1 х2 1 г2
- /и
(1.2)
п 1Р
0 = - т— + V
1г
22
1 У + 1 У
1 х2 1 г2
, ^ П ч 1 и 1У п + ^Т- вя), + ж = 0
(1.3)
'111+ 1 я + 1 я
у ТУ = к Ч1 х2 1 г2) = Ч1 х2 1г2у
Р/-0
(1.4)
На нижней границе заданы стационарные двумерные периодические термические неоднородности:
Э Т
С Рок
dz
-Q coskx (z = 0)
(1.5)
где с - теплоемкость среды, Q > 0 - амплитуда потока тепла, к = 2п/Ь - волновое число, Ь - заданный горизонтальный масштаб термической неоднородности. Для других переменных в простейшем случае заданы условия
Э 5
w = u = и= ^ = 0 ( z = 0) о z
(1.6)
но будут рассмотрены также и некоторые другие варианты краевых условий. Предполагается, что вдали от поверхности (при z ^ все возмущения затухают. Ищем периодические по горизонтали решения
u (x, z) = U(z) sin kx, v(x, z) = V(z) sin kx, w (x, z) = W(z) cos kx
P( x, z) = O(z) cos kx, T( x, z) = 0( z) cos kx, s (x, z) = S( z) cos kx
Система уравнений для амплитуд имеет вид
-kO
Í 2
d U ,2,, —2--k U dz
+ fV, 0
í Ц- k2 v
dz
- fU
(1.7)
dO
dz
2
d W 2
^-W- k2W
dz
+ g(a0 - pS), kU + dW
dz
(1.8)
Y TW = к
( 2 d02
—2 - k 0
dz2
YsW = X
2
d S ,2c —2 - k S dz
(1.9)
Исключая из последней системы все неизвестные кроме Ж, получаем уравнение
Í 2 dZ2
\3
- 1
d2W f2
W = - Ta—-W + RW, Ta = --f—- •
dZ2 v k
R = RT + Rs
\ N
vk4 f K + X
1 í NT
N
Л f i-K-^ ^ = RT (1- р) Kvk4 f XajTJ
(1.10)
Здесь введена безразмерная переменная X = кг; Та - число Тейлора, НЕ - экманов-ский вертикальный масштаб (характерная толщина пограничного слоя во вращающейся жидкости); NT = (а^)1'2, Ns = (-Р£У5)1/2 - "термическая" и "соленостная" частоты плавучести (Брента-Вяйсяля). Безразмерный параметр R является некоторым аналогом и обобщением числа Рэлея [11, 3] на случай двухкомпонентной среды
RT =
NT
Kvk'
4'
R=
Ns
Xvk
4
5 xayr
Безразмерный параметр £ - критерий дифференциально-диффузионной неустойчивости [11]. При х ^ к (случай характерный, например, для соленой морской воды)
стратификация примеси входит в R с гораздо большим весом, чем температурная стратификация.
Решение уравнения (1.10) стандартным образом следует искать в виде линейной комбинации экспонент типа exp(okz). Характеристическое уравнение имеет вид
(о2-1 )3 = - Та о2 + R (1.11)
С учетом затухания при z ^ «>, решение для вертикальной скорости представляет собой линейную комбинацию трех экспонент
3
w (x, z) = ^ Cj exp (kOjZ) cos kx
j = 1
где отобраны корни Oj с отрицательными действительными частями (здесь предполагается, что эти корни различны); Cj - постоянные интегрирования.
Свойства решений для полей скорости и давления могут сильно различаться в зависимости от значений определяющих параметров R и Та. После того как найдено поле вертикальной скорости, из решения уравнений (1.9) находятся поля температуры и концентрации примеси, которые зависят и от безразмерного параметра
2. Случай однородной однокомпонентной среды. В случае R < 1, Та ^ 1 конвекция практически не зависит от стратификации и вращения и определяется, помимо термических неоднородностей, лишь диссипативными факторами; корни характеристического уравнения: ~ о2 ~ о3 ~ -1 (при нулевых R и Та последние равенства точные). Решение в этом случае описывает конвективные валы с вертикальным масштабом порядка горизонтального [5]. Отметим, что в работе [5] на нижней границе задавалось возмущение температуры, а не потока тепла, но это в данном контексте не принципиально.
Течения при отсутствии вращения Та = 0 подробно изучены в литературе, в частности в [1, 2]. При достаточно сильной устойчивой стратификации в однокомпонентной среде,
когда RT > 1, конвективные ячейки заключены в тонком слое Az ~ hL = (kvL2/NT )1/6 ("масштаб Линейкина" [1]). В этом пределе хорошо выполняется использованное в [1, 2] приближение гидростатики.
В настоящей работе наибольшее внимание уделяется эффектам вращения. Прежде всего, подробно проанализируем случай нестратифицированной однокомпонентной среды, в котором параметры yT, ys, R и переменн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.