ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2011, том 51, № 11, с. 2033-2041
УДК 519.63
КОВАРИАНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БАЗИСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ СХЕМ НА ПЛОСКОСТИ1
© 2011 г. В. А. Коробицын
(634050 Томск, пр-т Ленина, 36, ТГУ) e-mail: kva635133@mail2000.ru Поступила в редакцию 29.04.2010 г.
Методом базисных операторов построены согласованные разностные аппроксимации дифференциальных операторов векторного и тензорного анализа в криволинейных координатах на плоскости. Они получены как преобразование базисных аппроксимаций в декартовой прямоугольной системе. Такой подход конструирует теоретически обоснованные дифференциально-разностные схемы механики сплошной среды в переменных Лагранжа, законы сохранения которых соответствуют непрерывному случаю. Библ. 13. Фиг. 1.
Ключевые слова: криволинейные системы координат, преобразование координат, симметрии решений, разностные схемы, законы сохранения.
1. ВВЕДЕНИЕ
1. При численном моделировании конкретных физических процессов выбор системы координат определяется рядом зачастую противоречивых факторов. Это — формы расчетных областей и вид уравнений в частных производных, требования точности и простоты алгоритма, симметрия полей, начальных данных, граничных условий, решений и пр. При тензорном преобразовании уравнений механики сплошной среды сохраняется алгебраическая структура уравнений, разделяя криволинейные направления и различные физические процессы. И здесь возможны два пути. В первом, представленная в декартовых координатах исходная система дифференциальных уравнений преобразуется к выбранным криволинейным координатам, и полученная система аппроксимируется в дискретном пространстве (см. [1]). На втором пути преобразуется не система дифференциальных уравнений, а ее дискретная аппроксимация в декартовых координатах: дифференциально-разностная схема (ДРС) или разностная схема (см. [2]). Результаты этих аппроксимаций будут различаться, как различаются дискретные элементы объема. Неинвариантный в первом случае, с криволинейными ребрами и гранями, и декартовый преобразованный инвариантный во втором, где ребра ячеек — отрезки прямых (в случае первого порядка аппроксимации).
В [3] автор развивал основы дискретного анализа в криволинейных системах координат на основе первого подхода. Разработан метод базисных операторов для построения формализованной системы дискретных операций произвольного порядка аппроксимации векторного и тензорного анализа. Используются произвольные, как ортогональные, так и неортогональные системы координат в пространствах двух и трех измерений.
Метод базисных операторов развивает метод опорных операторов (см. [4], [5]), как идеи построения согласованных дискретных операторов векторного анализа. Отличается метод стремлением к созданию формализованной процедуры, аналогично непрерывному случаю, когда система дискретных операторов векторного и тензорного анализа выражается через дискретные операторы — аналоги дифференциальных операторов первых производных.
Настоящая работа развивает дискретный анализ на основе второго подхода. Рассмотрены преобразования согласованных дискретных аппроксимаций первых производных при переходе от декартовых координат к произвольной криволинейной системе. Преобразованные аппроксимации первых производных применим для конструирования ДРС газовой динамики. Основное преимущество этого пути нам видится именно в возможности использования в криволинейных координатах работоспособных и теоретически обоснованных разностных схем в декартовых ко-
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 08-01-00484-а).
ординатах. Теоретически обоснованными мы называем ДРС и разностные схемы, которые имеют тот же набор законов сохранения, что и аппроксимируемые ими дифференциальные уравнения (см. [6]). Ценность этого подхода, для численного анализа задач механики сплошной среды состоит в возможности сквозного расчета в декартовых координатах течений в областях со сложными криволинейными границами. Постановка и реализация граничных условий осуществляется в локальных системах координат с преобразованием в декартову систему.
2. Определим дискретные уравнения, теоретически обоснованные свойства которых мы сохраним при переходе к криволинейным координатам. В [6] построен и исследован класс полностью консервативных ДРС и разностных схем уравнений динамики сплошной среды в переменных Лагранжа в декартовой прямоугольной системе координат на плоскости, произвольного порядка аппроксимации. Для аппроксимаций 2-го порядка на подвижных сетках ячеек и узлов такие схемы широко используются в численных расчетах. Строятся они различными методами: интегроинтерполяционным, на основе уравнений Лагранжа первого и второго рода, вариационным, опорных операторов. Полная консервативность требует, чтобы алгебраическим следствием дискретных уравнений были сеточные аналоги (квадратурные) интегральных соотношений в форме основных законов сохранения — массы (объема), импульса, энергии, в том числе полной энергии.
Класс ДРС из [6], допускает, как алгебраическое следствие, дополнительные законы сохранения момента импульса и движения центра масс. Более того, у ДРС газовой динамики для идеального политропного газа р = (у — 1)ре, при показателе адиабаты у = 1 + 2/п, п = 2 — размерность пространства, выполняются два дополнительных квадратурных закона сохранения, подобно непрерывному случаю. Соответствующая этой ДРС разностная схема также воспроизводит дополнительные законы для модифицированного уравнения состояния политропного газа.
Анализ инвариантности ДРС газовой динамики в лагранжевых переменных относительно групп преобразований выявил условия, при которых схема «наследует» законы сохранения дифференциальной системы (см. [7]). Автором установлено, что инвариантность выражения для физического объема ячейки относительно группы галилеевых переносов — необходимое и достаточное условие соответствия каждому галилееву переносу закона сохранения (см. [8]). Именно эта теорема требует при выборе формулы для физического объема ячейки в криволинейных координатах сохранять инвариантность объема при невырожденном переходе от декартовых координат (хьх2) = (х,у) к произвольным криволинейным ¡' : х1 = х1 (д1, д2), I = 1,2.
Важным свойством разностной схемы является ее способность не нарушать симметрию решений относительно прямых, кривых, плоскостей и поверхностей. При таких способностях двумерная разностная схема будет воспроизводить одномерный характер течений дискретной среды, если это следует из физики процесса и дифференциальной модели, и допускается сеточным пространством.
2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ
В области Q на плоскости (х,у), с достаточно гладкой границей, вводится не вырожденная лагранжева сетка ячеек и сетка узлов вей4. Соседние ячейки имеют общие ребра,
ребра ограничены узлами. Узлы ребер ячейки О образуют шаблон ячейки ю(О) с . Каждому узлу соответствует шаблон О(ю) с Он узла. Узлы и ячейки нумеруются двумя символами /,у, которые меняются с шагом 1. Площадь каждой ячейки определяется однородной формулой ¥п = V(х,у), (х,у) ~ ю(О).
Положив в основу построения разностных операторов на лагранжевой сетке инвариантное выражение для физического объема (площади) ячейки Vn в декартовых координатах, приходим к дискретному инвариантному оператору DIV. Он определяет закон изменения
V-ldV/dt = V-1 ^ ( дхш + ут дV|дут) = БшЖх + БПуЖу = Б1У \У, х, = ЖхЬ , = 1,2;
ш(П)
— декартова компонента вектора скорости \ = (Жх,Жу) = (№х1,Жх2) материального узла ю. Разностные операторы БПх1 = , БПх2 = БПу в пространстве декартовых переменных =
= —^X , , Vю, ^ Ип — аппроксимируют дифференциальные операторы d/dxj. Операторы DQxi согласованы с разностными операторами
А^Ф = И-1 X д—Тфп' Нп ^ н<°, (2.1)
П(ш) 'm
посредством формулы суммирования по частям:
X —nVDnxW +X —Dnxty = X (V9V ¿0, (2.2)
ü.'h <ü'h rh
где ю'Л, ^h — произвольные связные согласованные сеточные подобласти из ®h, Qh соответственно, V;, l — аппроксимации орта нормали и длины граничного элемента.
Возможность однозначного разрешения уравнения (2.2) относительно одного из операторов Düxi, Dmxi на невырожденных согласованных сетках является основным требованием для осуществления формализованной процедуры построения дискретных операторов векторного и тензорного анализа, инвариантных относительно преобразований в различных криволинейных системах координат.
Вид правой части в (2.2) существенно зависит от конкретного выбора операторов Dn, Dm и влияет на аппроксимацию граничных условий в краевых задачах. Так как его конкретный вид не влияет на дальнейшее изложение, полагаем правую часть нулевой.
Пусть система криволинейных координат (q1, q2) на плоскости (x, y) задана обратимым преобразованием q' = q' (x1,x2), i = 1, 2. Запишем производную по времени
d—n/dt = X д— % qß = —я DIVW, W15 = qß, Wxa = %W
»со)dxa д q dq
где We — контравариантная компонента вектора W скорости материального узла ю. Суммирование проводилось по повторяющимся греческим индексам а, ß, ... = 1, 2. Оператор Dj^qlW' — дискретный аналог дифференциального оператора g-
05 d(g 0-5W')/dq' на сетке Q.h в переменных q :
DnqW' = D0xß (W' Öxp/dq'), DIVW = DknqaWa.
Оператору D^qi соответствует согласованный оператор Dlkqi, в полном соответствии с условием XV^DkW + X—WDkw = JJd&pg °'5d(g0-W)ldq' + ^dQW^^dq' + JJü(hN)dQ = 0. (2.3)
kh Щ Q Q Q
Подставляя D^ и используя (2.2), получаем выражение для оператора D^-ф = dxjdq1 Daxaq>. Такая запись преобразования компонент вектора объявляет, что это — ковариантный вектор
вИАБф = (D>kq1^>, Dkq2q>). Он появляется как вектор в декартовой системе координат GRADp = = e aDmxa p = R aDkqa p, представленный ковариантными компонентами в криволинейной системе. e(- — орты декартовой системы. R * — взаимные координатные векторы в узлах, ортогональные к линиям qs = const1. В каждом узле определяются основные координатные векторы, касательные к координатным линиям R * = SR/ dqs, R — радиус-вектор узла.
В пространстве координат q ,' = 1,2; определим операторы Dn1 = Dnx (xt ^ q') ~ d/d
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.