Механика
Механика деформируемого твердого тела
Либов Д.Ю., аспирантКиевского национального университета имени Тараса Шевченко (Украина)
КРАЕВОЙ РЕЗОНАНС ПРИ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КОЛЕБАНИЯХ УПРУГОГО
ЦИЛИНДРА КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
Рассмотрено явление краевого резонанса при гармонических колебаниях упругого цилиндра, возбуждаемых неосесимметричной нагрузкой на торцах. Представлено решение граничной задачи.Исследовано влияние коэффициента Пуассона и типа симметрии колебаний на характеристики краевой моды.
Ключевые слова: краевой резонанс, неосесимметричная загрузка, колебания упругого цилиндра, граничная задача, коэффициент Пуассона.
PERIPHERY RESONANCE AT NON-AXIALLY SYMMETRIC VIBRATION OF FINITE LENGTH ELASTIC CYLINDER
The phenomenon of the periphery resonance at symmetric vibration of elastic cylinder excited by the non-axisymmetric load at the ends has been considered. The solution of the boundary value problem has been represented. The influence of Poisson's ratio and symmetry type of vibrationonedge mode characteristics has been investigated.
Key words: periphery resonance, non-axially symmetric vibration, vibration of elastic cylinder, boundary value problem, Poisson тНо.
Вступление. Закономерности процесса распространения гармонических волн в упругом цилиндре были предметом большого количества теоретических и экспериментальных исследований, ведущихся уже более 125 лет [1]. На данный момент собрана [2] обширная информация о свойствах однородных и неоднородных нормальных волн бесконечного изотропного цилиндра. Физический смысл неоднородных волн с комплексными значениями постоянной распространения ярко проявился в связи с явлением краевого резонанса [3]. При интерпретации осесимметричного волнового поля полубесконечного цилиндраоказалось, что амплитуды неоднородных мод могут десятки раз превышать амплитуду падающей на торец волны. Однако о явлении резонанса на неоднородных модах можно говорить только условно, поскольку присутствует связь посредством граничных условий на торце неоднородных мод и продольной распространяющейся моды. Но, как показано в [2], при определенных значениях коэффициента Пуассона бегущая волна не возбуждается самоуравновешенной нагрузкой. Поэтому при колебаниях цилиндра, вызванных действием на торцах самоуравновешенных сил, возможно «чистое» проявление резонанса на неоднородных волнах. Подобный по свойствам краевой резонанс наблюдался экспериментально автором работы [4], посвященной исследованию неосесимметричных мод колебаний алюминиевых цилиндров. В статье [5] рассмотрено влияние коэффициента Пуассона, геометрических параметров и окружной гармоники на краевой резонанс при неосесимметричных антисимметричных относительно срединной плоскости колебаниях цилиндра. Цель данной
статьи - дополнить эти данные случаем проявления краевой моды при симметричных колебаниях цилиндра.
Неосесимметричные волновые движения в бесконечном цилиндре. Информация о поведении корней дисперсионного уравнения, описывающего процесс распространения
неосесимметричных нормальных волн и е (г, в, г, ^) = Vе (г)ехр[( 1в + Кг + (I) в бесконечном упругом изотропном цилиндре, представлена на рис. 1. Здесь отражена зависимость собственной частоты = (а / е2 (( - круговая частота, а - радиус цилиндра,
С2 - скорость сдвиговых волн) от постоянной распространения К для коэффициента Пуассона V = 0.344 и номера круговой гармоники 1 = 2. Такая зависимость изображает четыре низшие дисперсионные ветви р(1, т), где т - номер ветви. Сплошные линии
обозначают действительные и чисто мнимые участки ветвей, штриховые - проекции комплексных ветвей на действительную и мнимую плоскость. Спектры для круговых порядков 1 > 3 и других значений V имеют такой же качественный характер как на рис. 1 [2].
72
^4(2,2)
А(2,3) •72 .Е
/Р(2,1&2) '2,4)
Р(2, V
Зтк 2024 У\ск
Рис. 1.Дисперсионный спектр. V = 0.344 , 1 = 2.
При рассмотрении неосесимметричных колебаний волновода, следует обратить внимание на следующую особенность. Постоянная распространения К есть комплексной в диа-
* * *
пазоне у2 < У2 р, где у2 р ~ 2.317 - критическая частота. Таким образом, ниже частоты у2 р
бесконечный цилиндр заперт. Вместе с этим полубесконечный волновод имеет резонанс у2 « 2.135 [2]. Факт наличия краевого резонанса в цилиндрическом волноводе обуславливает
интерес к исследованию влияния коэффициента Пуассона и типа симметрии колебаний на частоту такого резонанса в цилиндре конечной длины.
Неосесимметричные колебания цилиндра конечной длины. Исследуем задачу о неосесимметричных колебаниях конечного упругого изотропного цилиндра 0 < г < 1, г < И = Н / а . Рассматриваем нормальное симметричное относительно средин-
0 < в < 2п,
ной плоскости г = 0 возбуждение торцов
С
<х>
С = 2^еоБ(1в)^ g
]=1
с = тгв = тгл = 0 г =1;
11 (V).
7 Л (V)'
т.
Т
гв
0.
г = ± И.
(1)
Здесь Х^ - ненулевые корни уравнения/ДА) = 0, / ^ - функция Бесселя I -го порядка. Временной множитель ехр(1Ш) опущен.
Общее решение задачи, имеющее достаточную функциональную полноту для удовлетворения граничных условий (1), строится методом суперпозиции [2] и имеет вид
ur (r, в, z) = cos(le) ue(r ,в, z) = - sin(ie) uz (r ,в, z) = cos(ie)
Je (yxr) l Jt (Y2r) " ( V " ( ) xoYi \ + z0- ;v 27 + ZU(k.>r>zl>r>z)
JI (Yi) r JI (Y2) «=1 j=1
-x
IV/ 17 ' "l
Tt (Yir) , „ Y JI
0 Jt + ™ Jp7 + ±Ui(к.,r,zl^y,r,z)
r Jl(Yl) Jl(Y2) n=1 y=i
(2)
Xu; (к, r, z )+£up (, r, z)
n=\ j=1 _
Коэффициенты Uc, Up совпадают с приведенными в [5], с тем отличием, что применены замены cosh ^ sinh, sinh ^ cosh, cos ^ - sin, sin ^ cos, а также использована последовательность Kn = Ml / h .
Выполнение с помощью (2) граничных условий для напряжений Jr, Тг0, Tzr, Tzff, Jz приводит к бесконечной системе линейных уравнений
гР(кп + z.C(к. + ZyjDjn = 0, n = 0ДД.
y=i
^ (3)
T(кп ,m) + znQ(Kn ^ + Z yjGjn = 0 n = 0Д,2,к>
j=1
x 2Г2А2 3i (Y) -1
•A-i
0 o2 2 o2 fí2
■ + Z [xnKnj + znLnj ] + yyR(¿j >= gj > j = 1,2K,
n=1
2 2 2 _ 212 P(0,о) = 3Yi) _ 1 _ 12 + С(0, о) = [з 1 _ 1 _ 1]1, D.0 = 2 ;
0(0, о) = 3е fo) _ 1 _ 12 + Z2L; T (0, о) = [з (Yi) _ 1 _ 1]1. g.0 = ^ •
Здесь /0, у1 и Djn, Gjn, K ., L., P, С, T, 0 (n > l); R, 3 совпадают с данными в [5]. При этом в R(Xj ,о) необходимо заменить tanh ^ coth.
Для неизвестных системы справедливы асимптотические равенства [2]
lim xn = lim y. = a0 = const, lim z^ = const. (4)
Асимптотические поведения неизвестных (4) используются для корректной редукции бесконечной системы (3).
Краевой резонанс. Структура спектра собственных частот при V = 0.344 и 1 = 2 отражена на рис. 2. Рассчитанные спектры для круговых порядков 1 > 3 и других V не имеют качественных отличий от данных рис. 2. В определенной мере это можно объяснить
отсутствием качественного изменения поведения нормальных мод бесконечного цилиндра при 1 > 2 и У> 0. Для иллюстрации возможностей теоретической модели, на графике точками обозначены экспериментальные данные работы [4]. Как можно видеть, результаты вы-
Важной характеристикой спектра есть наличие горизонтальной прямой Y2 = 72 E ~ 2.134, соответствующей краевому резонансу. Форма колебаний такого резонанса
имеет зоны относительно больших смещений сконцентрированных около торцов цилиндра.
*
Следует отметить, что распространяющиеся моды в частотном диапазоне Y2 <Y2 F отсутствуют. Поэтому для неосесимметричного деформирования цилиндра имеем «чистое» проявление краевого резонанса для любого V .
Обратим внимание на еще одну отличительную особенность краевой моды, связанную с отсутствием распространяющихся волн в рассматриваемой области частот. Для неосесимметричного деформирования частоты симметричного (рис. 2) и антисимметричного [5] краевого резонанса совпадают, в то время как в спектре осесимметричных колебаний [2] имеются «дублеты», т.е. две очень близкие частоты, соответствующие краевому резонансу.
ЛИТЕРАТУРА
1. Мелешко В. В., Бондаренко А. А., Довгий С. А., Трофимчук С. А., ван Хейст Г. Я. Ф. Упругие волноводы: история и современность. I // Мат. методы и физ.-мех. поля. -2008. - 51, № 2. - С. 86-104.
2. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. -Киев: Наук. думка, 1981. - 284 с.
3. Oliver /.Elastic wave dispersion in a cylindrical rod by a wide-band short-duration pulse technique // J. Acoust. Soc. Am. - 1957. - 29, № 2. - P. 189-194.
4. McMahonG. fF.Experimentalstudyofthevibrationsofsolid, isotropic, elasticcylinders // J. Acoust. Soc. Am. - 1964. -36, № 1. -P. 85-92.
5. ЛибовД.
Ю.Краевойрезонанспринеосесимметричнойдеформацииупругогоцилиндраконечнойдлин ы // ВестникКиевскогоуниверситета. Серия: Физ.-мат. науки. - 2013. -№ 3. - C. 176-179.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.