ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2009, том 429, № 3, с. 322-324
УДК 517.9
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
КРИТЕРИИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ОДНОРОДНЫХ КЛАССОВ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ НЕУСТОЙЧИВЫХ
ИНТЕРВАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ © 2009 г. В. В. Дикусар, Г. А. Зеленков, Н. В. Зубов
Представлено академиком С.К. Коровиным 03.07.2009 г. Поступило 06.07.2009 г.
Известно, что изучение робостной устойчивости систем первого приближения является крайне актуальной задачей как в теоретическом, так и в практическом плане [2]. Не менее важной проблемой является поиск критериев и определение границ робастной неустойчивости этих систем.
В данной работе получен аналог известной теоремы Харитонова на случай однородных классов эквивалентности неустойчивых интервальных полиномов. В. Л. Харитонов установил, что для устойчивости интервального полинома необходимо и достаточно, чтобы четыре его угловых полинома были устойчивы [5]. Основной результат наших исследований заключается в том, что получены критерии существования однородных классов эквивалентности неустойчивых интервальных полиномов. Это означает, что понятие робастности, использовуемое для устойчивых полиномов, можно распространить на однородные классы неустойчивых полиномов. Полученные условия несколько сложнее, чем у В.Л. Харитонова, но они позволяют, как и в случае устойчивых полиномов, бесконечномерную задачу свести к конечномерной задаче.
Определение 1. Полином степени п с вещественными коэффициентами
ф(^) = а0 + а1 s + ... + а^ , а0 Ф 0, ап Ф 0,
не имеющий нулевых и чисто мнимых корней, принадлежит классу (п, ^-эквивалентности, если к его корней (с учетом их кратностей) лежат в правой полуплоскости [1].
О п р е д е л е н и е 2. Интервальный полином с вещественными коэффициентами
/($) =
Га0 + а+ ... + ап$п, а1 < а1 < а,-, г = 0, 1, ..., п, 1
а0 ■ а0 > 0, ап ■ ап > 0
(1)
называется и н т е р в а л ь н ы м п о л и н о м о м класса (п, к)-э к в ив а л ен тн о с ти, если любой полином из этого семейства принадлежит классу (п, к)-эквивалентности.
Определение 3. У г л о вы ми полиномами, _/2(^), /3(^), интервального полинома (1) будем называть угловые полиномы Харитонова, задаваемые равенствами
_ 2 _ 3
/($) = а0 + а1$ + а 2$ + а3 $ + ...,
_ 2—3
/2 ($) = а0 + а1 $ + а2$ + а3 $ + ...,
— — 2 3
/3 ($) = а0 + а1 $ + а2$ + а3 $ + .■■,
_ _ 2 3
/4 ($) = а0 + а+ а2$ + а3$ +____
(2)
Вычислительный центр им. А.А. Дородницына Российской Академии наук, Москва
£0 ~ т «2
Теорема. Для того чтобы интервальный полином (1) был интервальным полиномом класса (п, к)-эквивалентности, необходимо и достаточно чтобы:
1) угловые полиномы (2) принадлежали классу (п, к)-эквивалентности;
2) для всех положительных корней ю полиномов
ч - 2-4
g(ю) = а0 - а2ю + а4ю - ...,
/ \ - 2 4
g(ю) = а0-а2ю + а4ю -...,
7/ \ - 3 - 5
п(ю) = а1ю - а3ю + а5Ю - ...,
1 / \ - 3 5
п(ю) = а1ю - а3ю + а5ю - ..., выполнялись соотношения если П(ю) = 0 или П(ю) = 0, то g(ю) ■ g(ю) > 0;
_ " " _ (3)
если g(ю) = 0 или g(ю) = 0, то П(ю) ■ П(ю) > 0.
Доказательство. Необходимость. Пусть интервальный полином (1) являет интервальным полиномом класса (п, к)-эквивалентно-сти. Тогда угловые полиномы (2) принадлежат этому классу, так как входят в это семейство. Далее очевидно, что концы всех радиусов-векторов
/(/ю) = g (ю) + /П (ю), получающихся из полиномов / («), входящих в интервальный полином (1),
КРИТЕРИИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ОДНОРОДНЫХ КЛАССОВ
323
подстановкой в них ж = /ю, принадлежат прямоугольнику Г(ю) комплексной плоскости с вершинами, образованными угловыми радиусами-векторами:
/ (/ ю) = Г^ю) = ¿(ю) + /к(ю), / (/ ю) = Г 2(ю) = ¿(ю) + /к(ю), /з (/ю) = Г з(ю) = ¿(ю) + /к(ю).
/4 (/ю) = Г 4(ю) = ¿(ю) + /к(ю).
Это утверждение вытекает из очевидных неравенств
¿(ю)< ¿(ю)< ¿(ю), к(ю)< к(ю)< к (ю), (4)
которые справедливы у этих полиномов для всех ю е [0, +да). В справедливости первого неравенства можно убедиться, умножив неравенства, заданные в определении (2),
а0 < а0 < а0, -а2 < -й2 < -а2, а4 < а4 < а4, ... ,(5)
соответственно на 1, ю2, ю4, ..., а затем сложив. Второе неравенство доказывается аналогично.
При изменении ю от 0 до +да прямоугольник Г(ю) перемещается по комплексной плоскости, а его стороны остаются параллельными осям координат. При этом согласно принципу аргумента угловые радиусы-векторы Г1(ю), Г2(ю), Г3(ю), Г4(ю) поворачиваются против часовой стрелки на угол п
- (п — 2к), так как соответствующие им угловые
полиномы принадлежат классу (п, ^-эквивалентности. При достаточно больших значениях величины ю прямоугольник Г(ю) прекращает "вращаться" и остается в одном из квадрантов, так как
п
Лг^Шю) ^ - (п — 2к) при ю ^ +да,] = 1, 2, 3, 4. 2
Докажем, что прямоугольник Г(ю) при своем перемещении не может пересекаться с началом координат ни по одной из своих сторон. Это и будет эквивалентно выполнению условий (3).
Заметим, что ни одна из вершин прямоугольника Г(ю) не может пересекаться с началом координат, ибо это будет означать, что угловой полином имеет мнимый корень.
Допустим, например, что имеет место пересечение прямоугольника Г(ю) по своей нижней стороне с началом координат. Это означает, что для некоторого со справедливы соотношения
к(ю) = 0, ¿(ю)< 0, ¿(ю)> 0.
Покажем, что существует полином g (ю), такой что коэффициенты этого полинома удовлетворяют интервальным ограничениям (5) и, следовательно, условиям (4) ^ (ю) < g (ю) < g (ю), и, кроме того, выполняется равенство g (ю) = 0.
Для этого рассмотрим полином g(t, ю) с коэффициентами, зависящими от параметра
¿(ю) = а0 + *(а0 - а0) - (а2 + t(а2 - а2))ю2 +
+ (а4 + *( а4 - а4 ))ю4 - (а6 + *( а6 - а6 ))ю6 + ...
Нетрудно видеть, что для любого фиксированного t е [0, 1] коэффициенты этого полинома удовлетворяют интервальным ограничениям (5) и, соответственно, условиям (4). Это означает, что
полином / (ж) = g (?, —ж/) + /к (—ж/) входит в семейство интервальных полиномов (1), принадлежащих классу (п, £)-эквивалентности.
Далее рассмотрим линейную функцию одной переменной g(t, ю ). Поскольку справедливы неравенства g(0, ю ) = g (ю ) < 0 и g(1, ю ) = g(ю ) > 0, то существует * е (0, 1), такое что g( 1, ю) = 0. Отсюда вытекает, что полином / (ж) = g (1 , —ж/) +
+ /к (—ж/) имеет мнимый корень / ю , так как вещественная и мнимая часть его годографа Михайлова в этой точке равна нулю g (1, ю ) = к (ю ) = 0. Это противоречит тому, что полином / (ж) = g (1,
—ж/) + /к (—ж/) принадлежит классу (п, £)-эквива-лентности, как было установлено выше.
Заметим, что нами параллельно доказано более сильное утверждение о том, что для любого ю е [0, +да) множество значений годографов Михайлова семейства интервальных полиномов (1), принадлежащих классу (п, £)-эквивалентности, полностью заполняет прямоугольник Г(ю).
Достаточность. Выполнение условий теоремы означает, что прямоугольник Г(ю), содержащий все радиусы-векторы / (/ю) = g (ю) + /к (ю), получающиеся из полиномов / (ж), входящих в интервальный полином (1), подстановкой в них ж = /ю,
при изменении ю от 0 до +да поворачивается про-
п
тив хода часовой стрелки на угол - (п — 2к), не пересекаясь с началом координат. Это означает, что все годографы Михайлова полиномов этого семейства, являющиеся кривыми, образованными концами этих радиусов-векторов при изменении
ю от 0 до +о>, поворачиваются против хода часо-п
вой стрелки на угол - (п — 2к), не пересекаясь с
началом координат, т.е. согласно принципу аргумента принадлежат классу (п, ^-эквивалентности. Теорема доказана.
Замечание 1. Теорему Харитонова [5] можно рассматривать как частный случай данной теоремы, так как устойчивые полиномы соответствуют классу (п, 0)-эквивалентности, а условия (3)
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 429 № 3 2009
3*
324
ДИКУСАР и др.
теоремы будут вытекать из монотонности "вращения" прямоугольника Г(ю) против хода часовой стрелки при изменении ю от 0 до +да.
Замечание 2. Для проверки принадлежности угловых полиномов к классу (п, £)-эквива-лентности достаточно применить метод понижения порядка [4], но для проверки соотношений (3) необходимо найти все вещественные корни
полиномов g(ю), к (ю), g(ю), к (ю), тогда как для
устойчивых полиномов (теорема Харитонова) это не требуется.
Замечание 3. Полученный критерий легко можно обобщить на случай, когда коэффициенты интервального полинома будут зависеть от пара-
метров [2], однако в этом случае проверка условий (3) станет весьма затруднительной.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Неронов В.Ф. Критерии существования выпуклых множеств неустойчивых многочленов // Тр. ИСА РАН. 2005. Т. 17. № 1.
2. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.
3. Михайлов А.В. // АиТ. 1938. Т. 3. С. 27-81.
4. Блистанова Л.Д., Зубов И.В., Зубов Н.В., Севе-рцев Н.А. Конструктивные методы теории устойчивости и их применение к задачам численного анализа. СПб.: Изд-во НИИ химии СПбГУ, 2002.
5. Харитонов В.Л. // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. № 11. С. 2086-2088.
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 429 № 3 2009
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.