научная статья по теме КРИТЕРИИ УПРАВЛЯЕМОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ Математика

Текст научной статьи на тему «КРИТЕРИИ УПРАВЛЯЕМОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ»

МАТЕМАТИКА

КРИТЕРИИ УПРАВЛЯЕМОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ © 2010 г. А. В. Зубов, В. В. Дикусар, Н. В. Зубов

Представлено академиком С.К. Коровиным 27.10.2008 г. Поступило 08.07.2009 г.

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2010, том 430, № 1, с. 13-14

УДК 517.9

В настоящей работе для линейных стационарных управляемых систем решена задача определения минимального числа управляющих воздействий, при которых открытую систему можно сделать полностью управляемой.

Рассмотрим линейную стационарную управляемую систему

X = АХ + Ви + Д ^, (1)

где В— постоянная матрица размера п х р; и = (м1, и2, ..., ир)Т — вектор управлений и1 е Х2[0, Т], I = 1, 2, ...,р; Д?) е КС[0, Т] — кусочно-непрерывная вектор-функция, определенная на интервале [0, Т].

Известно [1], что система (1) будет полностью управляемой тогда и только тогда, когда выполняется критерий Калмана, т.е. среди столбцов матриц

В, АВ, А2 В,..., Ап - 1В (2)

будет п линейно-независимых.

Поставим задачу поиска минимального числа управляющих воздействий, при которых замкнутая система (1) может быть сделана полностью управляемой, т.е. задачу структурной минимизации системы управления. Формально это означает, что при заданной матрице А необходимо найти минимальное число Я линейно-независимых векторов В1, В2, ..., ВЯ, являющихся столбцами матрицы В, таких что замкнутая система (1) будет полностью управляемой.

Определение. Назовем характеристикой полной управляемости системы (1) (матрицы А) величину Я = тах р{,

I = 1, 2, ...,к

где р^ — число линейно-независимых собственных векторов, соответствующих собственному числу Х (/ = 1, 2, ..., к) матрицы А.

Нетрудно видеть, что характеристика полной управляемости системы (1) совпадает с макси-

Вычислительный центр им. А.А. Дородницына Российской Академии наук, Москва

мальной геометрической кратностью собственных чисел матрицы А.

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1. Если ранг г матрицы В меньше характеристики Я полной управляемости системы (1), то эта система не является полностью управляемой.

Доказательство теоремы основано на разложении столбцов матрицы В по каноническому базису Жордана матрицы А.

Те о р е м а 2 (алгоритм минимизации). Если характеристика полной управляемости матрицы А равна Я, то можно выбрать Я линейно-независимых векторов В1, В2, ..., ВЯ, являющихся столбцами матрицы В, так что система (1) будет полностью управляемой.

Алгоритм минимизации целиком базируется на разбиении канонического базиса Жордана матрицы А на Я непересекающихся групп, каждая из которых содержит корневые векторы матрицы А определенной высоты, взятые по одному для каждого собственного числа (/ = 1, 2, ..., к) матрицы А. Каждый вектор В1 (/ = 1, 2, ..., Я) выбирается в виде разложения по одной из этих групп базисных векторов, причем коэффициенты этого разложения, стоящие при корневых векторах максимальной высоты, отличны от нуля и выбраны так, чтобы все компоненты этого вектора ВI были вещественными.

Следствие. Если характеристический многочлен матрицы А совпадает с его минимальным многочленом, то характеристика полной управляемости для этой системы равна единице и, следовательно, система (1) может быть сделана полностью управляемой с помощью скалярного управления.

Замечание 1. Предложенный алгоритм позволяет минимизировать системы управления на этапе их конструирования и выбирать параметры системы управления (векторы В1, В2, ., ВЯ) оптимальными в том или ином плане.

14

ЗУБОВ и др.

Замечание 2. Полученный результат легко редуцировать на линейные стационарные системы наблюдения так, что в работе также решена задача определения минимального числа выходов, при которых открытая система может быть сделана полностью наблюдаемой. Действительно, для линейной стационарной системы наблюдения X = АХ, Y = СХ, где C — постоянная матрица размера г х п, Y = (у1, у2, ..., уг)т — вектор наблюдений (выходы системы), ее наблюдаемость эквивалентна полной управляемости двойственной системы X = ATX + CTU. Таким образом, минималь-

ное число входов, при которых исходная система наблюдаема, совпадает с характеристикой полной управляемости матрицы A (А7).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.

2. Гантмахер Ф.Д. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.

3. Дикусар В.В., Зеленков Г.А., Зубов Н.В. Методы анализа робастной устойчивости и неустойчивости. М.: Изд-во ВЦ РАН, 2007. 234 с.

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 430 № 1 2010

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком