ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 4, 2013
УДК 539.374
© 2013 г. Щеглов Б.А., Рузанов Ф.И.
КРИТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ОДНООСНОГО РАСТЯЖЕНИЯ ОРТОТРОПНОГО
МЕТАЛЛА
Рассмотрено пластическое течение тонкого однородного образца при одноосном растяжении. Определены критические состояния в момент начала образования шейки и длина шейки в момент разрушения. Эти состояния зависят от коэффициентов анизотропии и механических свойств металла.
Основная задача при исследовании сложной вытяжной штамповочной операции (перехода) заключается в определении величин деформаций, при которых процесс формообразования этого перехода сопровождается появлением сосредоточенных деформаций, после образования которых возможны разрывы металла. Величины соответствующих критических деформаций зависят от механических свойств металла, уровня его анизотропии и его напряженно-деформированного состояния, обеспечивающих удовлетворительную штампуемость деталей сложной формы.
Анизотропные металлы обладают симметрией механических свойств. Наиболее характерными для металлов являются следующие типы симметрии: материал, у которого имеются три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии механических свойств называют ортотропным; материал, через каждую точку которого можно провести плоскость, где механические свойства одинаковы, называют трансверсально-изотропным. Для описания пластических свойств таких материалов Р. Мизес предложил квадратичное условие пластичности [1—3].
Наиболее важной характеристикой анизотропии свойств металлов в условиях плоского напряженного состояния является коэффициент анизотропии ra. Он равен отношению логарифмических деформаций по ширине b и толщине h образца, подвергнутого растяжению под углом а к оси x¡, т.е. ra = sb/st, где sb = ln(b/b0), et = ln(h/h0). Будем использовать также обратную ему величину Ra = 1/ra. Для изотропного металла ra = 1 и не зависит от направления а, так как sb = st. Основным направлением является направление прокатки x¡ в плоскости листа. Этот коэффициент в любом направлении в плоскости листа находят по формуле, предложенной Р. Хилом [1, с. 366], т.е.
= 1 + ( 2N/H - G/H - F/H - 4) ( sin а ) 2 ( cos а ) 2 (1)
Га 2 2 , (1)
(F/H) ( sin а)2 + (G/H) ( cos а)2
где а — угол между направлением прокатки x и направлением X растяжения образца; N, G, F, H — параметры анизотропии, входящие в квадратичное условие пластичности, которое в форме, предложенной Р. Хиллом, имеет вид
2/(^) = F(ay - az)2 + G(az - ах)2 + H(ax - ау)2 +
2 2 2 2 + 2L T2yz + 2Mx¡x + 2 Nxly = 2а]( hs),
где ae (hS) — функция упрочнения; ae — эквивалентное напряжение, равное интенсивности напряжений при отсутствии анизотропии; hS — параметр деформационного
упрочнения, например, hS = ^ 2dsijdsij — параметр Одквиста [2, с. 77], т.е. накопленная пластическая деформация октаэдрических сдвигов. При простом нагружении ее можно оценивать эквивалентными деформациями se. В несжимаемых материалах
Ее = ( 2/Тз )Jsf + s^ + £2, (3)
где £j — главные деформации, т.е. se = 2s: = —s3 при двухосных растяжениях, когда £2 = s2.
Деформация является геометрическим понятием, ее интенсивность не связана с анизотропией и может быть критерием для сравнения эквивалентных напряжений CTe(se) и при наличии анизотропии. Деформированные состояния с одинаковыми главными деформациями одинаковы. Состояния с одинаковыми двумя первыми инвариантами тензора деформаций эквивалентны при различающихся главных деформациях.
Обозначим R0 = G/H = 1/r0, R90 = F/H = 1/r90 — основные коэффициенты анизотропии. В изотропных материалах все направления равноправны. Поэтому F = G = H = 1, L = M = N = 3 и ra = 1 согласно (1).
Эквивалентная деформация при одноосном растяжении вдоль оси X равна se = Aas'a,
где sa — удлинение вдоль этой оси; Aa s (2/V3 )J 1 + Ra + Я2а /(1 + Ra). При одноосных растяжениях вдоль осей x и y имеем эквивалентные деформации eex = A0s^ и sey = Ä90e'y. При таких испытаниях зависимости напряжений от деформаций обычно аппроксимируют степенными функциями деформационного упрочнения Gj = Cj(s0j + sy) , j = x, y. Если аналогично аппроксимировать зависимость эквивалентных напряжений ( j = e) от эквивалентных деформаций, то получим равенства показателей упрочнения nx = ny = ne и значений s0x = s0y = s0e, определяющих приблизительно пределы текучести GSj « Cjslj . Кроме того получим соотношения для прочностных коэффициентов
2 2 2 2 2
С2 = ( Я/2 )( 1 + Ro) Cl = ( H/2 )( 1 + R90 ) cy, C2/Cy2 = ( 1 + Rgo) / ( 1 + R0 ).
Усилия Qj при одноосных растяжениях связаны с условными G0j и истинными Gj напряжениями зависимостью Qj = G0jb0h0 = Gjbh. Вследствие несжимаемости пластичного образца отсюда следует Gj = G0j(1 + 5у), где Sj — относительные удлинения, связанные с логарифмическими деформациями sj = ln(1 + 5у). При максимальных усилиях имеем âtQj = 0 и dtGj/Gjk + dtb/bk + dth/hk = 0. Отсюда следует dtGj/Gjk = sjk и sjk = n — s0j, т.е. критические деформации sjk при максимальных усилиях растяжения определяются параметрами функций деформационного упрочнения.
Из (1) следует, что определение ra в различных направлениях в плоскости листа сводится к определению отношений параметров анизотропии R0 = G/H, R90 = F/H и N/H. Для определения этих отношений необходимо испытать образцы, вырезанные под углами 0, 45° и 90° относительно направления прокатки.
Введем основную координатную систему ортотропного материала 1, 2, 3 и повернутую систему 1', 2, 3' (рис. 1). Ось 3 направлена перпендикулярно плоскости чертежа, а направления осей 3 и 3' совпадают. Оси 1, 2, 3 совпадают с главными осями анизотропии. Ось xl имеет направление прокатки листового металла.
Рассмотрим процесс одноосного растяжения тонкого однородного образца толщиной h, вырезанного из ортотропного листового металла под углом а к направлению
H-H
Рис. 1
Рис. 3
Рис. 1. Одноосное растяжение образца. вырезанного из ортотропного металла под углом а к направлению прокатки
Рис. 3. Возникновение линий скольжения
главной оси анизотропии х1. Нагружение образца осуществляется поперек оси 1 нормальными напряжениями ст11.
Предположим, что в данный момент времени в деформируемом образце реализуются однородные напряженное и деформированное состояния с компонентами тензоров напряжений ст11, ст22 = ст33 = 0 и пластических деформаций еп, е22 и £33 = —(е11 + £22).
Используем соотношения теории течения, подчиняющейся модели Р. Хилла [2, с. 377]. При одноосном нагружении вдоль оси прокатки 1 они имеют вид
ае(£е ) = стпЛ/А ( G + H), dtze = д t su/jA ( G + H), 0,622/d,6n = -H/( G + H) = -1 / ( 1 + R ), д,е12 = 0,
(4)
где д,() = д( )/д?; А = (3/2)/(^ + G + Н) = 3/[2(1 + Я0 + Я90)Н] — инвариантная величина; д(£п = 31и1 и д(£22 = д2и2 — скорости продольных и поперечных пластических деформаций; ц — компоненты вектора скорости в направлениях х; д/ — операторы частных производных, т.е. ду( ) = д( )/дХ;. Для изотропного металла А = 1/2.
Известно, что компоненты тензора второго ранга в системе хр — хд, повернутой на угол а относительно оси х1 вычисляются по формуле ам = ар1адта1т, где применяется суммирование по повторяющимся индексам; адт — косинус угла между осями хд и хт. Поэтому скорости удлинений вдоль повернутых осей равны д (ер = д?е11 ео82а + д(£22 8т2а и д(Е? = д(£118Ш2а + д(Е22 ео82а. Отсюда следует, что если д(ер = 0, то
tg а0 = (1 + G/H) =1 + R0, т.е. в изотропном металле при R0 = 1 в направлении
I A A-A
U
a, a,
l2
I A
Рис. 2. Возникновение шейки на образце
a0« ±54°40' и нормальном к нему направлении в0 « ±35°20' отсутствуют скорости удлинения. Этим определяются направления характеристик [2, с. 347 и 367], вдоль которых допускаются разрывы поля скоростей Uj и удлинения отсутствуют. Эти характеристики ортогональны. В реальном металле разрывы в полях скоростей Uj связаны с большими сдвигами [2, с. 180], вследствие чего возникают линии скольжения (slip bands, flow layers, Luder'lines), неудачно иногда называемые шейками (necks) [2, с. 367]. Полосы линий скольжения наискосок пересекают шейку. При больших пластических деформациях они исчезают и разрушение происходит вследствие достижения критических деформаций удлинения и сдвига.
Скорости деформаций сдвига в повернутой системе координат x—y равны dtexy = (dts22 — dtsn )sina ■ cos a. Отсюда следует, что tg ам = 1 для направления максимального сдвига ам, т.е. максимальный сдвиг происходит всегда под углом ам = ±45° к оси x1 образца независимо от анизотропии.
Кроме соотношений (2) и (4) имеем условие несжимаемости
д(£11 + д(£22 + д(£33
0.
(5)
Первое критическое состояние возникает при максимальном усилии растяжения. Затем начинает развиваться шейка (рис. 2) с неоднородным вдоль осей 1 и 2 напряженным и деформированным состояниями. По мере развития шейки при уменьшающейся нагрузке приближается второе критическое состояние, определяющее разрушение.
Для вывода соотношений, характеризующих состояние образца при уменьшающейся нагрузке, рассмотрим систему уравнений, следующую из (2)—(5). Поскольку касательные напряжения отсутствуют, то условие равновесия вдоль оси растяжения усилием Q(t) = bha11 имеет вид
д( bha11)/дх1 = 0.
Из уравнений (4) следует связь между скоростями деформаций д1 U1 + (Ro + 1 )d2U2 = 0.
(6)
l2 + dl2
1
2
l
ш
a
Согласно [2, с. 366] касательное напряжение вдоль оси одноосного растяжения не действует, поэтому имеем ст12 = 0 и
23(е12 = д2^ + д1и2 = 0. (8)
Согласно [2, с. 349] уравнение несжимаемости при плоском напряженном состоянии имеет вид
д,Н + д1 (ки1) + д2( к и2) = 0. (9)
2 2 2 2 Из (7) и (8) получаются два волновых уравнения д11 = С0д22 , где С0 = Я0 + 1,
] = 1, 2. Их решения, удовлетворяющие (7) и (8), имеют вид
= -М40 + Ч2(С0Х1/3 + Х1)], ^2 = -Х2[(^0 + №/3)/С02 + ?2х2], (10)
где коэффициенты д0(?) и q2(t) определяются достигнутым состоянием и могут зависеть от времени. Их отношение определяет неоднородность поля скоростей. Эти решения удовлетворяют краевым условиям
v1(x1 = 0, х2) = v2(x1, х2 = 0) = 0, dt£11(x1 = 0 x2) = д1 u1(x1 = 0, x2) = f(x2) = ?0 + ?2x2,
2 (И)
т.е. отсутствию скоростей на осях и квадратичному распред
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.