ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2009, том 429, № 5, с. 610-613
ФИЗИКА
УДК 533.9
КРУПНОМАСШТАБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ТОКАМАКЕ ПРИ БОЛЬШОМ ГРАДИЕНТЕ ТЕМПЕРАТУРЫ ПЛАЗМЫ
© 2009 г. Член-корреспондент РАН A. Б. Михайловский, A. И. Смоляков, A. П. Чуриков, В. Д. Пустовитов
Поступило 24.06.2009 г.
Как известно, плазменные неустойчивости являются одним из главных препятствий на пути реализации магнитных термоядерных реакторов. Непременным требованием для такого реактора является отсутствие в нем магнитогидродинами-ческих неустойчивостей. При этом возникает вопрос о возможности существования устойчивых ветвей колебаний (мод) плазмы, которые могли бы возбуждаться высокоэнергичными частицами. Этому вопросу посвящена настоящая работа.
Исследование, проводимое в настоящей работе, основывается на использовании метода Крус-кала и Шварцшильда (КШ) [1, 2], первоначально примененного к задаче о желобковой неустойчивости плазмы с резкой границей в поле тяжести. Предметом нашего анализа являются геодезические акустические моды (ГАМ) [3, 4], альфвенов-ские моды и желобковые моды в токамаке.
РЕШЕНИЯ ТИПА КШ В ИДЕАЛЬНОЙ
МАГНИТОГИДРОДИНАМИКЕ В ПРЕНЕБРЕЖЕНИИ ПРОДОЛЬНЫМ ТОКОМ И МАГНИТНОЙ ЯМОЙ
Пренебрегая продольным током, исходим из уравнения замыкания токов (ср. с [4, 5])
V! • к = 0, (1)
где ^ — поперечный ток, определенный в приближении стандартной идеальной магнитогидродинамики (МГД) уравнением вида
pnc, д\р С. vr
I, = b x—E + — b x Vp. Bn dt в
(2)
B
Здесь Ь = — — единичный вектор вдоль равновесного магнитного поля B, у± = V - Ь(Ъ • V) — поперечный градиент, р0 — равновесная массовая плот-
Институт ядерного синтеза Российского научного центра "Курчатовский институт", Москва
Университет Саскачеван, Саскатун, Канада Сызранский филиал Самарского государственного технического университета
ность плазмы, c — скорость света,
V _ cb х Уф _
в
скорость дрейфа в скрещенных полях, ф — электростатический потенциал, р — возмущенное давление плазмы. Подстановка (2) в (1) дает
V1 ^ + — [Vp х VlnB] • b = П.
dt cpn
(3)
Предполагаем, что р определяется уравнением баланса тепла (см. подробнее [4, 5])
dp _ Tc^pf [ф х v ln в]. b + c^pnV V = n, dt B
(4)
где с„ — квадрат скорости звука, Vц = (Ь • V) — продольный градиент, V — продольная скорость плазмы, определенная уравнением продольного движения
Ро f = -V. Р.
(5)
Введем координаты r,0,Z, так что r — расстояние от магнитной оси в плоскости Z = const, 0 и Z — полоидальный и тороидальный углы. Рассмотрим возмущения, локализованные в окрестности рациональной магнитной поверхности r = rn, предполагая, что там можно пренебречь магнитным широм. Введем локальные радиальную координату х = r - rn, полагая x rn, и коор-
с'
динату y
rn W - ■
qn
, где qn = q(rn), q — коэффици-
ент запаса устойчивости. Все возмущенные вели-
чины зависят от y как exp(ikyy), где ky =
m
m —
полоидальное волновое число, и от t как exp(—¡Ш). Тогда (3) принимает вид
-гю
-i2
k 2
Я 2 ky дх
Ф + 2B\sp 1 дШВ - ikypsjnB) о. 6
, cpn \dxrn д0 drn )
В свою очередь, комбинируя (4) и (5), получаем
-irol 1 -
1 2 2\ ki c
2
ro
_2cSPoc| дфiдlnB - ik фдlnB
B удх rn д0 y drn
= 0,
(7)
r
КРУПНОМАСШТАБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ТОКАМАКЕ
611
где к1 = —, Я — большой радиус токамака. Под-дЯ
ставляя р из (7) в (6) и усредняя по 8, приходим к волновому уравнению
ох(вОф - &ф = о,
ох \ дх/
где
В = 1 -
ЗдоУк2
2 ,2 2" ю - к1 сí
(8)
(9)
Полагаем, что при х = х0 скорость звука сх испытывает скачок от сл до с2, где 1 соответствует внутренней (х < х0), а 2 — внешней области (х > х0). Характерный размер переходного слоя а между этими областями полагается малым, а ■ х0. Электростатический потенциал в окрестности этого слоя предполагается постоянным. Тогда решения (8), убывающие вдали от х = х0, определяются формулой
ф(х) = Ф0 ехр(-к|х - х0|), (10)
где ф 0 — константа,
к = |ку|. (11)
При ф, непрерывном в переходном слое, получаем интегрированием (8)
(в щ) = 0,
\ дх! -5
(12)
1
где а ■ 5 ■ —. Подставляя (10) в (12), приходим
| ку |
к дисперсионному уравнению
В + В2 = 0,
или в явном виде
2 2 , 2 2 2 ,2 1 — g0cs1k1___д0с!2к1 _ 0
1 ТО Т 1 О V./.
(13)
2 ,22 ю - к1 сл
2 ,22 ю - к1 с52
(14)
Возьмем с2 сл, что может удовлетворяться в случае скачка температуры на транспортном барьере. Тогда (14) дает
®2 = с^к12(1 + д0).
(15)
Это — искомое дисперсионное уравнение для крупномасштабных ГАМ.
ИДЕАЛЬНАЯ МГД, УЧИТЫВАЮЩАЯ ПРОДОЛЬНЫЙ ТОК В ПРЕНЕБРЕЖЕНИИ МАГНИТНОЙ ЯМЫ
При учете продольного тока уравнение (1) заменяется на следующее [4, 5]:
V! • + = 0, (16)
где
н =
с
4п
— - к 2 , 2 кУ
ах
(17)
а — продольная компонента вектора-потенциала. Согласно продольному закону Ома,
аА = -/сУцф. (18)
В результате приходим к волновому уравнению (8) со следующим обобщением уравнения (9) для в:
;2 2 2 2, 2 В = 1 _ ^ —2д0ск22, (19)
ю ю _ к1 сí
2 Б2
где vA =- — квадрат скорости Альфвена,
4пр0
к Ли
д0Я
продольное волновое число, п — то-
роидальное волновое число.
Повторяя выкладки, получаем дисперсионное уравнение (13) с В вида (19), т.е. обобщение дисперсионного уравнения (14):
/2 2 2 2,2 22,2 1 _ кХА _ доCslkl _ д0с^1 _ 0
1 п п п п п ~ ~ и.
2 2 , 2 2 2 , 2 2 ю ю _ к1 сл ю _ к1 сл
(20)
Одно из замечательных свойств этого дисперсионного уравнения состоит в том, что при кцУА » ск из-за скачка температуры появляются локализованные (собственные) альфвеновские моды с частотами, существенно большими, чем частота ГАМ,
(21)
2 ,22 ю = к V а
КИНЕТИКА В ПРЕНЕБРЕЖЕНИИ МАГНИТНОЙ ЯМОЙ
Обращаясь к [4, 6], можно найти, что функция В должна быть следующей
В
,2_ Т
=1 - ^ - щ Г11+12 \
ю Ю ^ 13)
(22)
где ю, =-V-2, Т и М, — температура и масса
М¡Я д0
ионов,
I = ю г /0 а
В =
п0 -"ю - к1Уу м/^у
Ю С
п„ Л
п0 •'ю - к1Уи
13 = 1 +1 -Ю
т п0 -"ю- к^
(23)
(24)
(25)
Т
т — —е, Те — температура электронов, /0 — функция Т
М(&- + V2) V2
распределения ионов, м = —5—--^, б, = —и, V,
2Т, 2 ^
и у — поперечная и продольная скорости частиц, йу = Тогда получается дисперсионное
уравнение (13) с В вида (22). При Та » Т2 и ма-
612
МИХАИЛОВСКИИ и др.
лом
из такого дисперсионного уравнения по- При условии, обратном (32),
ку а
лучается (ср. с (21))
2 ,22, ю = к V а +
где vTi1 =
0(1) - ¡4% |
/ \1/2 г2Тж ч М ,
ю
ехр
2 Л
ю
, 2 2 к1 VmJ
(26)
А (г Щ - ф- %
дх\ дх! ю
вф = 0,
(27)
где
1 - 4о-2 » 1, т
членом с ГАМ в (31) можно пренебречь, так что получается
Г)1ку1к12 Р01/
к1 ^Ти
, 0 (1) — член порядка единицы
2 /22, Ю = к, Vа +■
Р0
1 (»2 -1)
(34)
(при т - 1). Мнимый член описывает затухание Ландау альфвеновских мод, обусловленное резонансными ионами.
ЭФФЕКТ МАГНИТНОЙ ЯМЫ
Обращаясь к [4 ] и учитывая магнитную яму, находим, что волновое уравнение (8) модифицируется следующим образом:
Это дисперсионное уравнение описывает крупномасштабные альфвеновские волны, модифицированные эффектом магнитной ямы, т.е. гибрид между альфвеновскими и желобковыми модами.
В рамках кинетического подхода следует учитывать затухание Ландау. Тогда вместо (26) и (34) при наличии магнитной ямы получается
2 /22, Го|ку | к/ р01/ 2 ю = кц vA +
- л/л^ю2] -
р0
5
((-1)
ю
VI к11
ехр
ю
, 2 2 к1 ^ТИ
(35)
Для простоты член с »¿Ю^О^) в правой части равенства (35) опущен.
в =
2гр0
Р0 »02^2
(( -1),
(28)
р0 — равновесное давление плазмы, штрих — радиальная производная. Здесь, как и в [4], предполагается, что магнитные поверхности являются круглыми.
Ищем решение (27) вдали от переходного слоя в виде (10), получая (11). Вследствие температурного скачка функция о аналогична 5-функции. Поэтому вместо (12) следует использовать
Г
дф дх.
-Ф0 |
Ойх = 0.
(29)
С учетом (28) отсюда получаем 2?р|ку
Г1 + Г2 - 2 2 „2 ю Р0»0 Я
( - 1)(Р01 - Р02) = 0. (30)
При Г вида (19) и е,2 ■ ел, р02 ■ р01 уравнение (30) дает
1 -
, 2 2 к|| V а
ю
2 2,2 »0 СЛк1 2 ,22 ю - к1 сл
Г0|ку|к2 р0Ц2
Ю2Р0
( -1) = 0. (31)
Поскольку рассматриваются моды с т » 1, параметр г0|ку | является большим. При этом добавка ГАМ в (31) является существенной только при достаточно слабой магнитной яме,
1 -2^1 1 - »0
т
(32)
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Мы дополнили набор собственных мод в тока-маке рядом новых решений, которые можно назвать решениями типа КШ, обусловленными большим градиентом температуры плазмы. Простейший случай таких решений характеризуется дисперсионным уравнением (15), описывающим МГД-версию ГАМ в пренебрежении магнитной ямой и продольным током. Учет продольного тока приводит к гибриду между ГАМ и альфвенов-скими модами, характеризуемыми уравнениями (20), (21). При переходе от МГД к кинетике мы приходим к гибриду между альфвеновскими модами и кинетическими ГАМ, один из простейших случаев которых дается (26).
Мы показали, что магнитная яма приводит к довольно сильному влиянию на решения типа КШ. При этом эффект ГАМ оказывается важным лишь при условии (32). В противном случае, т.е. при условии (33), эффект ГАМ оказывается несущественным, так что в МГД-случае мы приходим к дисперсионному уравнению (34), описывающему гибрид между альфвеновскими и желобковы-ми модами. В случае кинетики мы получили дисперсионное уравнение (35), описывающее затухание Ландау этих мод.
Очевидно, сделанное выше предположение о большом градиенте температуры плазмы является приближением, необходимым для развития нашего аналитического подхода. Это приближение может быть адекватным при наличии транспортного барьера в токамаке. С другой стороны,
КРУПНОМАСШТАБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ТОКАМАКЕ
613
можно предположить, что изучаемые моды должны иметь место также при более плавных профилях температуры. Представляется, что для изучения мод типа КШ при плавных профилях температуры необходимы численные расчеты, аналогичные [7].
Результаты настоящей работы могут быть использованы в качестве отправного пункта при исследовании генерации соответствующих мод энергичными частицами, что, как и в случае с [8, 9], представляет интерес для объяснения МГД-актив-ности в токамаках.
Мы благодарны С.Е. Шарапову за полезные обсуждения.
Работа поддержана Российской программой поддержки ведущих научных школ,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.