МИКРОЭЛЕКТРОНИКА, 2013, том 42, № 3, с. 186-193
КВАНТОВЫЕ ^^^^^^^^^^^^^^ КОМПЬЮТЕРЫ
УДК 382.680
КВАНТОВАЯ КОРРЕКЦИЯ ОШИБОК В КРЕМНИЕВЫХ ЗАРЯДОВЫХ КУБИТАХ
© 2013 г. А. А. Мельников1, 2, Л. Е. Федичкин1, 2, 3
1Физико-технологический институт Российской АН 2Московский физико-технический институт (ГУ) 3НИКС
E-mail: melnikov@phystech.edu Поступила в редакцию 12.06.2012 г.
Рассмотрено взаимодействие квантового регистра с шумящим окружением, приводящее к фазовым и битовым ошибкам. Произведено моделирование 5- и 9-кубитовых алгоритмов коррекции ошибок для различных случаев действия среды. Показано, что использование квантовой коррекции при небольших уровнях шума приводит к квадратичному уменьшению вероятности ошибки. Установлена эффективность применения 5-кубитового алгоритма исправления ошибок для кубита на сдвоенной квантовой точке в кремнии.
Б01: 10.7868/80544126913020087
ВВЕДЕНИЕ
Одной из основных проблем, стоящих на пути построения полноценного квантового компьютера, является декогерентизация квантовой системы [1, 2]. Из-за контакта с окружением квантовый регистр более не находится в чистом состоянии, описываемом волновой функцией у. Регистр переходит в смешанное состояние, описываемое матрицей плотности р [3—5]. Таким образом, в результате взаимодействия кубитов с окружением возникают искажения их квантового состояния. Для того чтобы обеспечить надежную работу квантового компьютера, необходимо найти способ предотвращения, например [6, 7], или исправления этих ошибок. Теория квантового исправления ошибок [8—15] — важный элемент в квантовой теории информации. Метод коррекции ошибок позволяет восстанавливать состояние квантовой системы после действия шумов.
В данной работе мы рассмотрим схемы коррекции ошибок [16, 17] для кубита на сдвоенной
квантовой точке в кремнии. Задачей схем коррекции является увеличение времени хранения (либо вероятности передачи по каналу с шумом) одно-кубитового состояния, описываемого матрицей плотности pin (эрмитов, положительный оператор с единичным следом). Процесс исправления ошибок мы разделим на три этапа: кодирование, действие шумов и декодирование (рис. 1), полагая, что процедуры кодирования и декодирования идеальны. Рассмотрим каждый из этих этапов отдельно.
На этапе кодирования происходит добавление некоторого числа дополнительных кубитов (ан-цилл) для защиты сообщения от шума. Таким образом, даже если часть информации в закодированном сообщении будет испорчена, избыточность позволит восстановить всю исходную информацию при декодировании сообщения. В процессе кодирования при помощи квантовых гейтов происходит сцепление состояния pin с дополнительными кубитами (анциллами), которые первона-
Pin -
П - 1 <
' |0Х0| , |0Х0|
Кодирование
Шумы
- pout
Декодирование
у n - 1
Рис. 1. Этапы процесса исправления ошибок.
чально находятся в состоянии |0)(0|. Преобразование является унитарным, то есть
pin ®|0)(0| ® ^ U(pin ®|0(0 ® |0(О
На этапе действия шумов происходит контакт квантового регистра с окружающей средой. Эволюцию такой системы кубитов будем описывать с помощью квантовой операции [5] (квантового канала [18, 19], супероператора [20]) S, т.е. р ^ Sp. Квантовая операция над системой из n кубитов есть линейное отображение S : H2„ ^ H2„, которое сохраняет след (картина Шредингера) и вполне положительно [18, 19]. Линейное отображение S : Hd ^ Hd является квантовой операцией
[21] тогда и только тогда, когда 3Eb E2, ..., En с Hd,
ХеЕ = /;
Sp = X ЕрЕ/:
(1)
достигается на чистых состояниях. Для процедуры без исправления ошибок:
D = sup||рOUt -Pi1)|1
е,ф
(2)
т.е. воздействие шума имеет представление операторной суммы (представление Крауса [22]).
В процессе декодирования испорченные квантовые состояния анализируются, и на основе результатов анализа выполняются определенные преобразования над системой. Было показано [5], что в качестве такого анализа можно использовать принцип выбора по большинству из классической теории информации.
Для оценки качества исправления будем использовать понятие меры декогерентности Б [23]. По определению мера декогерентности есть максимальная по всем состояниям системы операторная норма для оператора рои1 — рь, где рои1 — состояние кубита после действия шумов и процедуры коррекции. Операторная норма эрмитова оператора А определяется как ||А|| = шаха е феС(А)М [18, 19], здесь 8рес(А) — спектр оператора А. Было показано [23], что максимум операторной нормы
где 9 и ф — параметры, полностью описывающие чистое состояние. Взяв большое количество состояний со сферы Блоха, можно добиться достаточно точного значения меры декогерентности при численном моделировании.
МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ ОШИБОК
Предположим, что мы хотим передать кубит информации по каналу с битовой (классической) ошибкой. Пусть с вероятностью р > 0 окружающая среда изменяет |0) на |1), а |1) на |0), с вероятностью 1 — р кубит передается без ошибки. В классической теории информации такому каналу соответствует двоичный симметричный канал [5]. Такое действие удобно записать, используя пред-
2-1
aJ а=0
—О в
ставление Крауса (1). В качестве базиса {Д пространстве Иа для d = 2 (один кубит) удобно выбрать матрицы Паули {I, X, У, 2}. Тогда операторная сумма в рассматриваемом случае записывается в виде:
Sp(1) = (1 - p)Iр(1)I + pXр(1)X.
(3)
Отметим, что в случае ошибки (3) мера декогерентности равна D = supe, v||Sp(1) — р(1)|| = p. Поэтому 0 < p < 1 является вероятностью декогерентиза-ции одного кубита. Матрица плотности p(k) описывает квантовый регистр из k кубитов.
Перейдем к рассмотрению трех кубитов. Моделировать окружающую среду в случае независимого действия на кубиты удобно с помощью последовательного применения (3):
Sp(3) = (1 - p)3Ip(3)I + (1 - p)2pXp(3)X1 + (1 - p)2pX2p(3)X2 + (1 - p)2pXзр(3)Хз +
+ (1 - p)p2X1X2P (3)X2X1 + (1 - p)p2X1X3P (3)X3X1 + (1 - p)p2X2X3P (3)X3X2 + p3X1X2X3P(3)X3X2Xb
(4)
Оператор X является оператором Паули X, действующим на /-ый кубит.
Рассмотрим тип схемы исправления битовой ошибки, в котором присутствуют только унитарные операторы [24]. Для исправления битовой ошибки был использован опыт коррекции ошибок в классической информации. Битовую ошибку можно исправить при помощи кодирования тремя кубитами:
|0 ^ |ОО0, |1> ^
(5)
Несмотря на ошибку, путем декодирования возможно получить правильный результат. Рассмотрим процедуру декодирования: при инверсии первого кубита инвертируются все кубиты, при инверсии каждого из двух других кубитов инвертируются лишь они. Для исправления первого кубита необходимо инвертировать его только в случае, когда оба других равны |1). Схему, исправляющую битовые ошибки, можно представить на рис. 2. По результатам моделирования (рис. 3) процесса исправления классической ошибки (4) мы установили, что мера декогерентности совпа-
Рш
|0Х0| |0Х0!
X
* г Г 1 г \ с г * л V. л ) \
V и Ч р
) V. V
роиг
Рис. 2. Схема коррекции битовой ошибки.
дает с мерой декогерентности в случае двоичного симметричного канала и равна
В = 3р2(1 - р) + р3 = 3р2 - 2р3.
Стоит отметить, что шумы увеличивают энтропию системы. При этом исправление ошибок уменьшает энтропию. В случае схемы с синдромами энтропия уменьшается в процессе измерения и не меняется в процессе отбрасывания двух ненужных кубитов. В случае схемы без измерений энтропия уменьшается в момент отбрасывания дополнительных кубитов.
В [16] было показано, что код способен скорректировать любую квантовую ошибку, если он способен корректировать фазовую и битовую ошибки. Битовая ошибка есть унитарное преобразование р ^ X р X ^ фазовая ошибка есть преобразование р ^ Z pZ ^ Исправление фазовой ошибки отличается от исправления битовой лишь базисом, в котором происходит воздействие среды на кубиты. На базе уже предложенного 9-кубитового кода [16] возможно построить код исправления ошибок без процедур исправления [25] (рис. 4).
Было установлено, что минимальное число ку-битов, необходимое для исправления произвольной ошибки в одном кубите, равно пяти. Приме-
ром 5-кубитового кода коррекции является код ДиВинченцо—Шора [17]. На базе этого кода была построена схема, использующая только унитарные операторы в процессе коррекции [25] (рис. 5). Оператор Я, применяемый в схеме, можно записать в матричном виде:
' № л (^10> / (^|0) X )'
(^15 0 X )'
1X
(^Ц X )Т
X )Т.
Вектор Ж определяет все возможные ошибки
{1, ХЪ X2, X5, Y2, Y5, ^
Произвольную ошибку мы будем рассматривать на примере деполяризующего канала [5]. Операторную сумму в этом случае запишем в виде:
Я =
(6)
8р« = (1 - 3 р) /р«/ + р (Хр(1)Х + 7р(1)7 + Zp(1)Z).
(7)
.2
Здесь 0 < р < - — вероятность декогерентизации
каждого кубита. На рис. 6 представлены результаты коррекции с помощью алгоритмов Шора и ДиВинченцо—Шора.
КУБИТ КАК ДВОЙНАЯ КВАНТОВАЯ ТОЧКА
Двойные квантовые точки как перспективный элемент квантовых компьютеров были введены в работе [26]. Двойная квантовая точка — это две квантовые точки с одним электроном, связанные туннельным образом. Двумя нижними собствен-
ными квантовыми состояниями являются симметричное и антисимметричное. Самое главное достоинство двойной квантовой точки состоит в том, что с помощью уменьшения туннельной связи можно добиться малой величины энергетической щели между этими состояниями. Как было показано, это приводит к существенному подавлению взаимодействия кубита с фононами [27, 28].
Сами точки вырезаны из двумерного электронного газа полем затворов и управляются потенциалами на затворах. Электроны в точках взаимодействуют друг с другом только через прямое
1.0 0. 0.6 0.4
0.2 0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Р
Рис. 3. Декогерентизация в случае битовых и фазовых ошибок.
кулоновское взаимодействие. Обменное взаимодействие отсутствует, так как нет перекрытия волновых функций. Авторы доказали возможность выполнения с помощью таких кубитов некоторых квантовых логических операций, что открывает перспективы создания компьютера с большим количеством кубитов.
Мы рассматриваем электрон в потенциале сдвоенной ямы. Такая структура может быть изготовлена как две к
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.