ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 144, № 1 июль, 2005
© 2005 г. А. Кунду*
КВАНТОВЫЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МНОГОАТОМНЫЕ МОДЕЛИ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ С УЧЕТОМ И БЕЗ УЧЕТА ПРИБЛИЖЕНИЯ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ВОЛНЫ
Построены и с помощью алгебраического бете-анзаца точно решены новые интегрируемые многоатомные модели, описывающие взаимодействие излучения с веществом с учетом и без учета приближения вращающейся волны (ПВВ). Модели, в которых учитывается ПВВ, строятся единообразным способом с помощью подхода, основанного на первичной модели (ancestor model). В случае рациональной Д-матрицы получаются модели стандартного типа, описывающие взаимодействие излучения с веществом, в то время как случай тригонометрической Д-матрицы соответствует их д-деформациям. Модели без учета ПВВ получаются для эллиптической Д-матрицы в пределе модели Годена и большого спина.
Ключевые слова: интегрируемые многоатомные модели, приближение вращающейся волны, взаимодействие излучения с веществом.
1. ВВЕДЕНИЕ
Интересно отметить, что все реальные системы, такие как системы в квантовой оптике, индуцированные резонансным взаимодействием между атомом и квантованным лазерным полем, системы в резонаторной КЭД как в области СВЧ, так и в оптической области [1], [2], системы, состоящие из захваченного иона, взаимодействующего со своим движением центра масс и облучаемого лазерным пучком [3], [4], и т.п., содержащие сложные взаимодействия излучения с веществом (ИВ), можно успешно описывать с помощью простых моделей, таких как модели Джейнса-Каммингса (ДжК) [5] и Ба-ка-Сукумары (БС) [6]. Многие теоретические предсказания, сделанные на основании этих моделей, такие как вакуумное расщепление Раби, осцилляция Раби и ее квантовый коллапс и возрождение и т.д., были проверены в ходе экспериментов с мазерами и лазерами.
Квантованное поле излучения в таких простейших ИВ-моделях берется в виде одной бозонной моды: h — be~lulft + в то время как атом рассматривается как
* Saha Institute of Nuclear Physics, Theory Group, 1 / AF Bidhan Nagar, Calcutta 700 064, India. Б-mail: anjan@tnp.saha.ernet.in
квантовые интегрируемые многоатомные модели
111
АТОМНЫЕ ¡ИСТВИЕ
1М И БЕЗ
волны
«е интегри-: зеществом с р зссорых учи-"ээзанного на ; случаются вом, в то --с-эрмациям. с-^-ле модели
ощейся волны,
в квантовой оп-' квантованным ■ ив оптичес-» ' гтвующего со ~ . содержа-»письтать к ЛжК) [5] и Бане на основании и ее кванторе с мазерами и
Г
я в виде од-;иается как
> ПХ) 064, Ьй.
+ ст^е
двухуровневая спиновая система с вектором поляризации 5 = а" е Поэтому взаимодействие (к ■ 5) содержит, вообще говоря, как быстро (с частотой ш/ + и>а), так и медленно (с частотой \и>/ — и>а |) осциллирующие компоненты. Однако быстро осциллирующей частью, как правило, пренебрегают, рассматривая аппроксимацию — и а | «и/, которая соответствует приближению вращающейся волны (ПВВ) и делает эту модель решаемой. Добавление членов, соответствующих свободному полю и атомному возбуждению, приводит к хорошо известной модели ДжК:
НджК = + шаа2 + +Ьа+).
(1)
Однако этого приближения, которое применимо только вблизи точки резонансаш/ « сиа, следует избегать в общем случае [7], когда должны появляться дополнительные члены, связанные с противоположно вращающейся волной (ПрВВ):
Япрвв =/3(Ь^ст++Ьа-).
(2)
Далее, для более точного описания физических ситуаций необходимо найти обобщения исходных моделей, т.е. рассмотреть их д-деформации [8], [9], ввести высшие нелинейности [4], [10], учесть многоатомность [2], [10], [11], рассмотреть межатомные взаимодействия и т.д. Однако если точные решения для моделей ДжК и Б С, а также для их простых многоатомных расширений известны [12]—[14], то это, по-видимому, уже не так для большинства упомянутых выше обобщений. Точнее, интегрируемые модели как без учета ПВВ, так и с явным учетом межатомных взаимодействий не известны для большинства ИВ-моделей, если не считать нескольких недавних попыток таких построений в [15], [16]. Более того, хотя д-деформация, связанная с введением в систему анизотропии и специфической нелинейности, рассматривалась ранее для нескольких моделей [8], [9], их многоатомные и интегрируемые варианты неизвестны. Поэтому нахождение схемы построения интегрируемых ИВ-моделей, имеющих упомянутые выше желаемые свойства, действительно представляет собой сложную задачу.
2. ОСНОВНЫЕ ЦЕЛИ И СТРАТЕГИЯ НАШЕГО ПОСТРОЕНИЯ
Чтобы разрешить эту проблему, мы предлагаем в данной работе новые классы интегрируемых ИВ-моделей с учетом и без учетв ПВВ, которые являются точно решаемыми с помощью анзаца Бете. На основе собранных знаний [17] о решении квантового уравнения Янга-Бакстера (КУЯБ) в работе [18] была предложена единая конструкция интегрируемых моделей, связанная с лежащими в их основе алгебраическими структурами. Применяя подход, основанный на первичном операторе Лакса, мы предлагаем общую интегрируемую систему, различные редукции которой могут порождать ряд интегрируемых ИВ-моделей с явным учетом межатомных взаимодействий. Этот подход охватывает новые многоатомные обобщения моделей ДжК, Б С и модели захваченного иона (ЗИ), а также их интегрируемые д-деформации с использованием квантовой группы. Более того, поскольку построение наших моделей основано на алгебре Янга-Бакстера (ЯБ) общего вида, мы можем также решить их единообразным способом с помощью бе-те-анзаца. Результаты, касающиеся наших моделей, учитывающих ПВВ, были недавно
опубликованы в работе [19], и мы намереваемся дать здесь краткий обзор, а затем представить новые результаты, полученные для моделей без учета ПВВ.
Наша стратегия при построении моделей с учетом ПВВ заключается в том, чтобы начать с комбинации бозонного оператора Лакса Ь3(А), описывающего излучение или осциллирующую моду, и Л/ц спиновых операторов Лакса Ь^(А), соответствующих системе многих атомов. По построению глобальный оператор монодромии должен удовлетворять КУЯБ
R{А - ц)Т{А) ® Т(ц) = (J ® Т(ц)){Т(А) ® I)R{А - ц),
что приводит к условию интегрируемости [т(А),т(р)] = 0 и к набору взаимно коммутирующих сохраняющихся операторов [Са,Съ\ — 0, получаемых из разложения т(А) = trT(A) = Х^а СаАа [20]. Для построения бозонного оператора Лакса мы начнем с оператора Лакса общего вида [18], связанного с квадратичной алгеброй или ее квантовой деформацией и порождающего через различные бозонные реализации L3(А) различные интегрируемые системы. ИВ-модели стандартного типа, которые мы строим, связаны с алгебрами типа алгебр Ли, однако квадратичными, а также с рациональной Д-матрицей спиновой ХХХ-цепочки [20], в то время как их q-деформации связаны с квантовой квадратичной алгеброй и тригонометрической Д-матрицей XXZ-цепочки [21].
Однако при построении интегрируемых ИВ-моделей без учета ПВВ описанный выше подход не работает из-за трудности бозонизации алгебры Склянина. Поэтому для таких моделей, которые связаны с эллиптической Д-матрицей спиновой X X Z-цепочки, нам придется изменить стратегию и перейти к пределу модели Годена, а также к пределу больших спинов.
3. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ИВ-МОДЕЛИ С УЧЕТОМ ПВВ
Вначале сосредоточимся на стандартных ИВ-моделях и напомним, что в рациональном случае первичный (2 х 2)-оператор Лакса имеет вид [18]
(c?(A + 53)+ci 5- \
(3)
при этом операторы в удовлетворяют квадратичной алгебре
е-] = 2т+53 +тп~, [я3^*] = ±в±, [т^, •] = 0, (4)
где центральные элементы тп^ выражаются через элементы, входящие в (3): гп+ = — С1С2 + с?с2- Заметим, что алгебра (4) определяется самим КУЯБ, решение которого определяет рациональную Д-матрицу. Элементы т±, с" могут иметь тривиальные собственные значения и в общем случае не могут быть устранены простым преобразованием алгебры к «¿(2). На самом деле определенные способы выбора этих
кабзор, а затем пред-
тся в том, чтобы ~> излучение или тствукмцих сис-должен удовле-
взаимно ком-из разложения ора Лакса мы I алгеброй или ее Ь реализации Ь3(Х) ^шторые мы стро-* с рациональ-I связаны : XXZ-u.eu.04-
I списанный выше ! для таких Г^-пепочки, нам I также к пределу
ш пвв
1«гго в рациональ-
(3)
(4)
в (3): ш+ = ЯБ, решение иметь три-простым выбора этих
квантовые интегрируемые многоатомные модели
113
элементов в случае общего положения ограничивают уравнение (4) до различных известных алгебр, таких как его подалгебры, без возникновения какого бы то ни было сингулярного предела. Например, можно получить
в = в € ви(2) при тп+ = 1, т~ = О,
(5а) (56) (5в)
(х,р) (канонические переменные) при тп+ —т~ =0, (5г)
8€ви(1,1) при т+ = — 1, т =0, в —>■ (Ь, Ь^) (бозоны) при т+ = 0, т~ = —1,
и в соответствующих случаях из (3) получаются соответствующие операторы Лакса. В случае (5а), выбирая с„ = 1 и с\ = — с\ = мы находим из (3) хорошо известный спиновый оператор Лакса А), ] € [1, Л^], описывающий атомов с параметрами неоднородности с^-, в то время как другие случаи могут приводить к различным типам бозонных операторов Лакса, связанных с излучательной модой. Комбинируя спиновый и бозонные операторы Лакса:
Г(А) = £'(А)Ц£/(А),
з
мы можем теперь с помощью описанной выше стандартной процедуры построить набор коммутирующих сохраняющихся операторов. Самый простой из них имеет вид
з
а старшие учитывают все более старшие многочастичные взаимодействия. Следующий сохраняющийся оператор в наборе аСыа-1, где а - произвольная константа взаимодействия, можно определить как гамильтониан нашей обобщенной ИВ-системы:
#ив = На + + Не. = ш/в3 +
н5в = а + з-Б} + (с? + с°)535|),
(6)
Нзз = а 5>? + с1)Б! 5? + +
г<]
Здесь Нзз описывает ИВ-взаимодействие, а Нзз - взаимодействие вещества с веществом ; вз, ] = 1,2,..., ЛГа, соответствуют набору Ыа атомов, каждый из которых имеет 2в -I-1 уровней, и удовлетворяют ви(2)-алгебре. С другой стороны, в обозначает излу-чательную или колебательную моду и удовлетворяет более общей алгебре (4). В уравнениях (6) частота излучения ш/ и атомные частоты и>а^, ] = 1,2,..., Ыа, определяются параметрами неоднородности оператора Лакса как
ш/ = £ го,- = а(сЧ - Сз)^-, Ша] = и; - и)] + + с\). (7)
з
Заметим, что эрмитовость этого интег
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.