КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2014, том 52, № 4, с. 322-336
УДК 521.1,629
КВАТЕРНИОННАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ В НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ И АСТРОДИНАМИКЕ И УПРАВЛЕНИЕ ТРАЕКТОРНЫМ ДВИЖЕНИЕМ. II1
© 2014 г. Ю. Н. Челноков
Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского Институт проблем точной механики и управления РАН ChelnokovYuN@gmail.com Поступила в редакцию 20.03.2012 г.
Рассматриваются проблемы регуляризации в небесной механике и астродинамике. Приводятся основные регулярные кватернионные модели небесной механики и астродинамики. Показывается, что эффективность аналитического исследования и численного решения краевых задач оптимального управления траекторным движением космических аппаратов может быть повышена за счет использования кватернионных моделей астродинамики.
Во второй части статьи рассматриваются особенности типа сингулярности (деления на ноль), порождаемые использованием в небесной механике и астродинамике классических уравнений в угловых переменных (в частности, в углах Эйлера) и устраняемые с помощью использования параметров Эйлера (Родрига—Гамильтона) и кватернионов Гамильтона. Рассматриваются основные регулярные в указанном смысле кватернионные модели небесной механики и астродинамики: уравнения траекторного движения, записанные в неголономном, орбитальном и идеальном сопровождающих трехгранниках, для описания вращательного движения которых используются параметры Эйлера и кватернионы поворотов; кватернионные уравнения ориентации мгновенной орбиты небесного тела (космического аппарата). Выводятся новые кватернионные регулярные уравнения возмущенной пространственной задачи двух тел (траекторного движения КА), построенные с использованием идеальных прямоугольных координат Ганзена и кватернионных переменных и имеющие наряду с известными достоинствами регулярных уравнений Кустаанхеймо—Штифеля свои дополнительные достоинства.
БО1: 10.7868/80023420614030029
1. ПРОБЛЕМА УСТРАНЕНИЯ ОСОБЕННОСТЕЙ В УРАВНЕНИЯХ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ И АСТРОДИНАМИКИ, ПОРОЖДАЕМЫХ
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ В МОДЕЛЯХ ОРБИТАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ УГЛОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
В первой части статьи [2] была рассмотрена проблема регуляризации дифференциальных уравнений возмущенной пространственной задачи двух тел, заключающаяся в устранении особенности, возникающей в уравнениях задачи двух тел при соударении второго тела с центральным телом (при равенстве нулю расстояния г между телами). Такого рода сингулярность в начале координат создает не только теоретические, но и практические (вычислительные) трудности.
1 Статья носит обзорный характер и основана на материалах пленарного секционного доклада "Кватернионная регуляризация в астродинамике и управление траекторным движением", сделанного на X Всероссийском Съезде по фуда-ментальным проблемам теоретической и прикладной механики [1] (секция I "Общая и прикладная механика").
Наряду с указанной особенностью другие особенности типа сингулярности (деления на ноль) имеют классические модели небесной механики и астродинамики, записанные во вращающихся системах координат и использующие углы Эйлера для описания углового движения этих систем координат, а также модели, описывающие в угловых переменных мгновенную ориентацию орбиты или плоскости орбиты небесного тела, космического аппарата.
Отметим, что этих особенностей не имеют классические модели орбитального движения, записанные в декартовых координатах или в векторной форме. Такие модели обладают большой компактностью и наглядностью. Однако во многих случаях они оказываются мало эффективными как для аналитического, так и численного исследования движения небесных тел и космических аппаратов, а также для решения задач оптимального управления траекторным движением КА.
Эффективность решения задач небесной механики и астродинамики во многих случаях по-
вышается за счет использования уравнении движения, записанных в тоИ или иной вращающейся системе координат и использующих такие понятия как форма, размеры, ориентация мгновенной орбиты движущегося тела. В такого рода уравнениях движения появляются переменные, характеризующие угловое движение используемой вращающейся системы координат или ориентацию мгновенной орбиты (плоскости орбиты) движущегося тела. В качестве таких переменных в механике и астродинамике традиционно используются углы Эйлера или направляющие косинусы.
Использование углов Эйлера приводит к появлению в уравнениях движения громоздких тригонометрических выражений и дополнительных особых точек, в которых уравнения вырождаются. Так, в состав широко используемых уравнений Ньютона—Эйлера для оскулирующих элементов (медленно изменяющихся переменных) входят дифференциальные уравнения для угловых элементов: долготы восходящего узла Qu, наклона (наклонения) орбиты I, углового расстояния перицентра от узла юп1г. Эти уравнения имеют вид [3, 4]
ß« = ( r/c) P3sin Z cosecI, I = (r/c) P3cos Z,
®nir = -(C/(^0)[P1COSф1г - (1 + ^r/c2)P2sinф1г] -
- (r/C)P3SinZctgI, (ptr = c/r + (c/(цО) ^ X [^i COS (tr - ( 1 + ЦГ/C2)P2 sin(tr] ;
c = (^Por) 1/2, r = Por/( 1 + eorCOs(tr) ,
ц = f( m + M),
где Z = ®ntr + (tr — аргумент широты, (tr — истинная аномалия, f — гравитационная постоянная, М и m — массы первого (центрального) и второго (изучаемого) тел, r—расстояние между телами; por и eor — параметр и эксцентриситет мгновенной орбиты второго тела, p — проекции вектора возмущающего или управляющего ускорения центра масс второго тела (или их суммы) на оси подвижной (орбитальной) системы координат, верхняя точка означает производную по времени.
Уравнения (1.1) вырождаются, когда угол I наклона мгновенной орбиты второго тела становится равным 0 или я, а также при еот = 0, когда орбита является круговой.
Использование направляющих косинусов позволяет устранить указанную особенность уравнений движения второго тела, однако приводит к существенному повышению размерности системы уравнений движения и к потере геометрической наглядности. Этих недостатков использования углов Эйлера и направляющих косинусов удается избежать, если в качестве параметров ориентации используемой вращающейся систе-
мы координат выбрать параметры Эйлера (Род-рига—Гамильтона). В этом случае для описания ориентации этой системы координат удобно использовать гиперкомплексную переменную — кватернион поворота, компонентами которого являются параметры Эйлера. При этом в составе уравнений траекторного движения появляется дифференциальное кватернионное уравнение углового движения используемой вращающейся системы координат (или мгновенной орбиты (плоскости орбиты) второго тела), имеющее компактную, симметричную и невырождающуюся структуру.
Регулярные модели орбитального движения, в которых используются параметры Эйлера, рассматривались, например, А. Deprit (1976) [5], В.А. Брумбергом (1980) [6], В.Н. Брагазиным, В.Н. Вранцем, И.П. Шмыглевским (1986, 1992) [7, 8]. В статье рассматриваются регулярные в указанном смысле кватернионные модели небесной механики и астродинамики, предложенные автором статьи. Эти уравнения не имеют особенностей, порождаемых использованием углов Эйлера, и удобны для решения ряда задач небесной механики и астродинамики.
2. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ
ЗАДАЧИ ДВУХ ТЕЛ И ТРАЕКТОРНОГО (ОРБИТАЛЬНОГО) ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
В основе небесной механики лежит векторное ньютоновское дифференциальное уравнение возмущенной пространственной задачи двух тел
d2r/dt2 + цг 3г = p(t, г, dr/dt),
r = г
(2.1)
где г — радиус-вектор центра масс изучаемого тела, проводимый из центра масс центрального тела, ц = /(т + М), р — вектор возмущающего ускорения второго тела.
В механике космического полета космический аппарат рассматривается как материальная точка В переменной массы т = т(?). Движение КА изучается в инерциальной системе координат ОХ1Х2Х3 (X) с началом в центре О притяжения. Управляемое движение КА в ньютоновском центральном поле сил тяготения описывается векторным дифференциальным уравнением, аналогичным уравнению (2.1) [4, 9]:
j2 ,..2 -3 | |
d r/dt + ц r г = p; r = |г|, P = Рд + Pf, Рд = ( T/m) e = T/m,
(2.2)
где г — радиус-вектор центра масс КА, проводимый из центра притяжения, ц = /М, М — масса притягивающего тела, рд — вектор ускорения центра масс КА от тяги реактивного двигателя
(управление), Т = Те — вектор реактивной тяги, Ти е — величина и единичный вектор тяги, р^ — вектор возмущающего ускорения центра масс КА от других внешних сил (включая силы, обусловленные нецентральностью гравитационного поля и гравитационные силы, действующие со стороны третьего тела).
Векторное дифференциальное уравнение второго порядка (2.1) ((2.2)) эквивалентно двум векторным дифференциальным уравнениям первого порядка
dv/й? + цг г = р, йг/й? = V,
(2.3)
й \\ -3
— + Ю Х V + Ц г г
йр н
р,
й г
— + ю Х г = V. (2.4) й?'
п п
Здесь ю = ю1п1 + ю2п2 + ю3п3 — вектор абсолютной угловой скорости системы координат п, ю, — проекция ветора ю на координатную ось п,;
(й v/dt)п = Т/1П1 + ^2 П2 + V Пз, ( йг / й?) п = Г П1 — локальные производные от векторов v и г. Запишем уравнения (2.4) в скалярном виде:
(2.5)
(2.6)
v2 + ю3 v1 - ю^3 = р2, т/3 + ю1 v2 - ю2у1 = р3;
Г = У1, гю3 = v2, — гю2 = v3.
Подставляя соотношения (2.6) в уравнения (2.5) и дополняя полученные уравнения кинематическими уравнениями вращательного движения системы координат п в параметрах Родрига— Гамильтона [10—12], будем иметь [13—19]:
где v — вектор абсолютной скорости центру масс второго тела (КА) (в системе координат X).
Введем в рассмотрение систему координат П1П2П3 (п) с началом в центре масс второго тела (точке В). Ось п1 этой системы координат направим вдоль радиуса-вектора г центра масс второго тела (КА). Угловое положение системы координат п в системе координат X будем задавать нормированным кватернионом поворота [10, 11]
Х = ^0 + ¡1 + ^2¡2 + ^3¡3 ,
цх||2 = + + ^2 + = 1,
где i1, i3 — векторные мнимые единицы Гамильтона; {) = 0, 3) — компоненты кватерниона ориентации X (параметры Родрига—Гамильтона (Эйлера) [10—12]), одинаковые в базисах X и п.
Будем считать, что векторы г, v, p определены своими проекциям
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.